【数学】2018届一轮复习人教A版第八章立体几何与空间向量第8讲立体几何中的向量方法（二）—求空间角学案 11页

第8讲　立体几何中的向量方法(二)——求空间角 最新考纲　1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题；2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.‎ 知 识 梳 理 ‎1.异面直线所成的角 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则 a与b的夹角β l1与l2所成的角θ 范围 ‎(0，π)‎ 求法 cos β＝ cos θ＝|cos β|＝ ‎2.求直线与平面所成的角 设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝.‎ ‎3.求二面角的大小 ‎(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝__〈，〉.‎ ‎(2)如图②③，n1，n2 分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.(　　)‎ ‎(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.(　　)‎ ‎(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.(　　)‎ ‎(4)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是[0，π].(　　)‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2.(选修2－1P104练习2改编)已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为(　　)‎ A.45° B.135°‎ C.45°或135° D.90°‎ 解析　cos〈m，n〉＝＝＝，即〈m，n〉＝45°.‎ ‎∴两平面所成二面角为45°或180°－45°＝135°.‎ 答案　C ‎3.(2014·全国Ⅱ卷)在直三棱柱 ABC－A1B‎1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A‎1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，设BC＝2，则B(0，2，0)，A(2，0，0)，M(1，1，2)，N(1，0，2)，所以＝(1，－1，2)，＝(－1，0，2)，故BM与AN所成角θ的余弦值cos θ＝＝＝.‎ 答案　C ‎4.正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且＝1，N为B1B的中点，则||为(　　)‎ A.a B.a C.a D.a 解析　以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则A( a，0，0)，C1(0，a，a)，N.‎ 设M(x，y，z)，‎ ‎∵点M在AC1上且＝1，‎ ‎(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)‎ ‎∴x＝a，y＝，z＝.‎ 得M，∴||＝＝a.‎ 答案　A ‎5.已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若 cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为________.‎ 解析　设l与α所成角为θ，∵cos〈m，n〉＝－，∴ sin θ＝| cos〈m，n〉|＝，∵0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.‎ 答案　30°‎ ‎6.(2017·郑州预测)过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为________.‎ 解析　如图，建立空间直角坐标系，设AB＝PA＝1，则A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，由题意，AD⊥平面PAB，设E为PD的中点，连接AE，则AE⊥PD，‎ 又CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE，从而AE⊥平面PCD.所以＝(0，1，0)，＝分别是平面PAB，平面PCD的法向量，且〈，〉＝45°.故平面PAB与平面PCD所成的二面角为45°.‎ 答案　45°‎ 考点一　利用空间向量求异面直线所成的角 ‎【例1】 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB＝2，AD＝2，PA＝2.求：‎ ‎(1)△PCD的面积.‎ ‎(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.‎ 解　(1)因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，‎ 所以PA⊥CD.又AD⊥CD，PA∩AD＝A，‎ 所以CD⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，从而CD⊥PD.因为PD＝＝2，CD＝2，‎ 所以△PCD的面积为×2×2＝2.‎ ‎ (2)法一　如图1，取PB中点F，连接EF，AF，则EF∥BC，从而∠AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角.‎ 图1‎ 在△AEF中，由于EF＝，AF＝，AE＝PC＝2.所以AF2＋EF2＝AE2，∠AFE＝90°，‎ 则△AEF是等腰直角三角形，所以∠AEF＝.‎ 因此，异面直线BC与AE所成的角的大小是.‎ 法二　如图2，建立空间直角坐标系，则B(2，0，0)，C(2，2，0)，‎ E(1，，1)，＝(1, ，1)，＝(0，2，0).‎ 图2‎ 设与的夹角为θ，则 cos θ＝＝＝，所以θ＝.‎ 由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是.‎ 规律方法　(1)利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：①选好基底或建立空间直角坐标系；②求出两直线的方向向量v1，v2；③代入公式|cos〈v1，v2〉|＝求解.‎ ‎(2)两异面直线所成角的范围是θ∈，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角.‎ ‎【训练1】 (2016·上海卷)将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.‎ ‎(1)求三棱锥C－O‎1A1B1的体积；‎ ‎(2)求异面直线B‎1C与AA1所成的角的大小.‎ 解　(1)连接A1B1，因为＝，∴∠O‎1A1B1＝∠A1O1B1＝，∴△O‎1A1B1为正三角形，∴S△O‎1A1B1＝·O‎1A1·O1B1·sin 60°＝.‎ ‎∴VC－O‎1A1B1＝·OO1·S△O‎1A1B1＝×1×＝，‎ ‎∴三棱锥C－O‎1A1B1的体积为.‎ ‎(2)以O为坐标原点建系如图，则A(0，1，0)，A1(0，1，1)，‎ B1，C.∴＝(0，0，1)，＝(0，－1，－1)，‎ ‎∴cos〈，〉＝＝‎ ＝－，‎ ‎∴〈，〉＝，‎ ‎∴异面直线B‎1C与AA1所成的角为.‎ 考点二　利用空间向量求直线与平面所成的角 ‎【例2】 (2016·全国Ⅲ卷)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点.‎ ‎(1)证明MN∥平面PAB；‎ ‎(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.‎ ‎(1)证明　由已知得AM＝AD＝2.‎ 取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TN∥BC，TN＝BC＝2.‎ 又AD∥BC，故TN綉AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.‎ 因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB.‎ ‎(2)解　取BC的中点E，连接AE.‎ 由AB＝AC得AE⊥BC，‎ 从而AE⊥AD，且AE＝＝＝.‎ 以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.‎ 由题意知，P(0，0，4)，M(0，2，0)，C(，2，0)，N，＝(0，2，－4)，＝，＝.‎ 设n＝(x，y，z)为平面PMN的法向量，则 即可取n＝(0，2，1).‎ 于是|cos〈n，〉|＝＝.‎ 所以直线AN与平面PMN所成的角的正弦值为.‎ 规律方法　利用向量法求线面角的方法：‎ ‎(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；‎ ‎(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.‎ ‎【训练2】 (2017·福州质检)如图，三棱柱ABC－A1B‎1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝1，BB1＝2，∠ABB1＝60°.‎ ‎(1)证明：AB⊥B‎1C；‎ ‎(2)若B‎1C＝2，求AC1与平面BCB1所成角的正弦值.‎ ‎(1)证明　连接AB1，在△ABB1中，AB＝1，BB1＝2，∠ABB1＝60°，‎ 由余弦定理得，AB＝AB2＋BB－2AB·BB1·cos∠ABB1＝3，‎ ‎∴AB1＝，∴BB＝AB2＋AB，‎ ‎∴AB1⊥AB.‎ 又△ABC为等腰直角三角形，且AB＝AC，‎ ‎∴AC⊥AB，∵AC∩AB1＝A，‎ ‎∴AB⊥平面AB‎1C.又B‎1C⊂平面AB‎1C，‎ ‎∴AB⊥B‎1C.‎ ‎(2)解　∵AB1＝，AB＝AC＝1，B‎1C＝2，‎ ‎∴B‎1C2＝AB＋AC2，∴AB1⊥AC.‎ 如图，以A为原点，以，，的方向分别为x轴，y轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B1(0，0，)，‎ B(1，0，0)，C(0，1，0)，‎ ‎∴＝(－1，0，)，‎ ＝(－1，1，0).‎ 设平面BCB1的一个法向量为n＝(x，y，z)，‎ 由得令z＝1，得x＝y＝，‎ ‎∴平面BCB1的一个法向量为n＝(，，1).‎ ‎∵＝＋＝＋＝(0，1，0)＋(－1，0，)＝(－1，1，)，‎ ‎∴cos〈，n〉＝＝＝，‎ ‎∴AC1与平面BCB1所成角的正弦值为.‎ 考点三　利用空间向量求二面角(易错警示)‎ ‎【例3】 (2017·金丽衢十二校联考)如图，在三棱柱ABC－A1B‎1C1中，B1B＝B‎1A＝AB＝BC，∠B1BC＝90°，D为AC的中点，AB⊥B1D.‎ ‎(1)求证：平面ABB‎1A1⊥平面ABC；‎ ‎(2)求直线B1D与平面ACC‎1A1所成角的正弦值；‎ ‎(3)求二面角B－B1D－C的余弦值.‎ ‎(1)证明　取AB中点为O，连接OD，OB1，‎ ‎∵B1B＝B‎1A，∴OB1⊥AB.‎ 又AB⊥B1D，OB1∩B1D＝B1，①‎ ‎∴AB⊥平面B1OD，‎ ‎∵OD⊂平面B1OD，∴AB⊥OD.‎ ‎∵∠B1BC＝90°，即BC⊥BB1，‎ 又OD∥BC，∴OD⊥BB1，又AB∩BB1＝B，‎ ‎∴OD⊥平面ABB‎1A1，‎ 又OD⊂平面ABC，‎ ‎∴平面ABC⊥平面ABB‎1A1.‎ ‎(2)解　由(1)知，OB，OD，OB1两两垂直.②‎ 以O为坐标原点，的方向为x轴的方向，||为单位长度1，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.‎ 由题设知B1(0，0，)，D(0，1，0)，‎ A(－1，0，0)，C(1，2，0)，C1(0，2，).‎ 则＝(0，1，－)，＝(2，2，0)，＝(－1，0，).‎ 设平面ACC‎1A1的一个法向量为m＝(x，y，z)，则由得可取m＝(，－，1).‎ ‎∴cos〈，m〉＝ ‎＝＝－，‎ ‎∴直线B1D与平面ACC‎1A1所成角的正弦值为.③‎ ‎(3)解　由题设知B(1，0，0)，则＝(－1，1，0)，＝(0，1，－)，＝(1，1，0).‎ 设平面BB1D的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则由 得可取n1＝(，，1).‎ 同理可得平面B1DC的一个法向量为n2＝(－，，1)，‎ ‎∴cos〈n1，n2〉＝ ‎＝＝.‎ ‎∴二面角B－B1D－C的余弦值为.④‎ 规律方法　利用向量计算二面角大小的常用方法：‎ ‎(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.‎ ‎(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.‎ 易错警示　对于①：用线面垂直的判定定理易忽视面内两直线相交；‎ 对于②：建立空间直角坐标系，若垂直关系不明确时，应先给出证明；‎ 对于③：线面角θ的正弦sin θ＝|cos〈，m〉|，易误认为cos θ＝|cos〈，m〉|；‎ 对于④：求出法向量夹角的余弦值后，不清楚二面角的余弦值取正值还是负值，确定二面角余弦值正负有两种方法：‎ ‎1°通过观察二面角是锐角还是钝角来确定其余弦值的正负；‎ ‎2°当不易观察二面角是锐角还是钝角时可判断两半平面的法向量与二面角的位置关系来确定.‎ ‎【训练3】 (2017·浙江五校联考)如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，PA＝PB，O为AB的中点，OD⊥PC.‎ ‎(1)求证：OC⊥PD；‎ ‎(2)若PD与平面PAB所成的角为30°，求二面角D－PC－B的余弦值.‎ ‎(1)证明　如图，连接OP.‎ ‎∵PA＝PB，O为AB的中点，‎ ‎∴OP⊥AB.‎ ‎∵侧面PAB⊥底面ABCD，‎ ‎∴OP⊥平面ABCD，‎ ‎∴OP⊥OD，OP⊥OC.‎ ‎∵OD⊥PC，∴OD⊥平面OPC，‎ ‎∴OD⊥OC，‎ 又OP⊥OC，OP∩OD＝O，∴OC⊥平面OPD，‎ ‎∴OC⊥PD.‎ ‎(2)解　法一　在矩形ABCD中，由(1)得OD⊥OC，∴AB＝2AD，不妨设AD＝1，则AB＝2.‎ ‎∵侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，‎ ‎∴DA⊥平面PAB，CB⊥平面PAB，△DPA≌△CPB，‎ ‎∴∠DPA为直线PD与平面PAB所成的角，‎ ‎∴∠DPA＝30°，∠CPB＝30°，PA＝PB＝，‎ ‎∴DP＝CP＝2，∴△PDC为等边三角形.‎ 设PC的中点为M，连接DM，则DM⊥PC.‎ 在Rt△CBP中，过M作NM⊥PC，交PB于点N，连接ND，则∠DMN为二面角D－PC－B的一个平面角.‎ 由于∠CPB＝30°，PM＝1，故在Rt△PMN中，MN＝，PN＝.∵cos∠APB＝＝，‎ ‎∴AN2＝＋3－2×××＝3，‎ ‎∴ND2＝3＋1＝4，‎ ‎∴cos∠DMN＝＝－，‎ 即二面角D－PC－B的余弦值为－.‎ 法二　取CD的中点E，以O为原点，OE，OB，OP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O－xyz.在矩形ABCD中，由(1)得OD⊥OC，∴AB＝2AD，不妨设AD＝1，则AB＝2.‎ ‎∵侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，‎ ‎∴DA⊥平面PAB，CB⊥平面PAB，△DPA≌△CPB，‎ ‎∴∠DPA为直线PD与平面PAB所成的角，‎ ‎∴∠DPA＝30°，∠CPB＝30°，PA＝PB＝，‎ ‎∴B(0，1，0)，C(1，1，0)，D(1，－1，0)，P(0，0，)，从而＝(1，1，－)，＝(0，－2，0).‎ 设平面PCD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，‎ 由得可取n1＝(，0，1).‎ 同理，可取平面PCB的一个法向量为n2＝(0，－，－1).‎ 于是cos〈n1，n2〉＝＝－，‎ ‎∴二面角D－PC－B的余弦值为－.‎ ‎[思想方法]‎ ‎1.利用空间向量求空间角，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化.主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算.‎ ‎2.合理建立空间直角坐标系 ‎(1)使用空间向量解决立体几何问题的关键环节之一就是建立空间直角坐标系，建系方法的不同可能导致解题的简繁程度不同.‎ ‎(2)一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；如果不存在这样的三条直线，则应尽可能找两条垂直相交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点.‎ ‎(3)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角.‎ ‎2.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cos θ＝|cos〈a，n〉|.‎ ‎3.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补. ‎