江西省南昌市2020届高三模拟考试数学（理）试题 12页

南昌市第二次模拟测试卷 理科数学 本试卷共4页，23小题，满分150分。考试时间120分钟．‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码．‎ ‎2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．‎ ‎3．非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效．‎ ‎4．考生必须保证答题卡整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．复数，则等于（ ）‎ A．2 B．‎4 C． D．‎ ‎2．集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知是三条不重合的直线，平面相交于直线c，，则“相交”是“相交”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．已知，则不等式的解集是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知中角所对的边分别为，若，则角A等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知为不共线的两个单位向量，且在上的投影为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．函数的图象大致为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．直线被圆截得最大弦长为（ ）‎ A． B． C．3 D．‎ ‎9．函数的部分图象如图所示，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊杆——桔槔，后发展成辘轳．19世纪末，由于电动机的发明，离心泵得到了广泛应用，为发展机械提水灌溉提供了条件．图形所示为灌溉抽水管道在等高图的上垂直投影，在A处测得B处的仰角为37度，在A处测得C处的仰角为45度，在B处测得C处的仰角为53度，A点所在等高线值为‎20米，若BC管道长为‎50米，则B点所在等高线值为（参考数据）‎ A．‎30米 B．‎50米 C．‎60米 D．‎‎70米 ‎11．已知F是双曲线的右焦点，直线交双曲线于A，B两点，若，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数有且只有三个零点，则属于（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．若变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为______________．‎ ‎14．已知梯形中，，则_____________．‎ ‎15．已知，则等于_______________．‎ ‎16．已知正四棱椎中，是边长为3的等边三角形，点M是的重心，过点M作与平面PAC垂直的平面，平面与截面PAC交线段的长度为2，则平面与正四棱椎表面交线所围成的封闭图形的面积可能为______________．（请将可能的结果序号填到横线上）‎ ‎①2； ②； ③3； ④．‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17．（12分）已知等差数列的公差为，前n项和为，且满足____________．（从①）；②成等比数列；③，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题）‎ ‎（I）求；‎ ‎（Ⅱ）若，求数列的前n项和．‎ ‎18．（12分）如图所示，四棱柱中，底面是以为底边的等腰梯形，且．‎ ‎（I）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若，求直线AB与平面所成角的正弦值．‎ ‎19．（12分）已知双曲线上任意一点（异于顶点）与双曲线两顶点连线的斜率之积为．‎ ‎（I）求双曲线渐近线的方程；‎ ‎（Ⅱ）过椭圆上任意一点P（P不在C的渐近线上）分别作平行于双曲线两条渐近线的直线，交两渐近线于两点，且，是否存在使得该椭圆的离心率为 ‎，若存在，求出椭圆方程：若不存在，说明理由．‎ ‎20．（12分）已知函数（，且，e为自然对数的底）．‎ ‎（I）求函数的单调区间 ‎（Ⅱ）若函数在有两个不同零点，求a的取值范围．‎ ‎21．（12分）某班级共有50名同学（男女各占一半），为弘扬传统文化，班委组织了“古诗词男女对抗赛”，将同学随机分成25组，每组男女同学各一名，每名同学均回答同样的五个不同问题，答对一题得一分，答错或不答得零分，总分5分为满分。最后25组同学得分如下表：‎ 组别号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ 男同学得分 ‎5‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎4‎ 女同学得分 ‎4‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎5‎ 分差 ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-1‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎-1‎ 组别号 ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ ‎23‎ ‎24‎ ‎25‎ 男同学得分 ‎4‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎3‎ 女同学得分 ‎5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎5‎ 分差 ‎-1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎-2‎ ‎-2‎ ‎（I）完成列联表，并判断是否有90%的把握认为“该次对抗赛是否得满分”与“同学性别”有关；‎ ‎（Ⅱ）某课题研究小组假设各组男女同学分差服从正态分布，首先根据前20组男女同学的分差确定和，然后根据后面5组同学的分差来检验模型，检验方法是：记后面5组男女同学分差与的差的绝对值分别为，若出现下列两种情况之一，则不接受该模型，否则接受该模型．‎ ‎①存在；②记满足的i的个数为k，在服从正态分布的总体（个体数无穷大）中任意取5个个体，其中落在区间内的个体数大于或等于k的概率为P，．‎ 试问该课题研究小组是否会接受该模型．‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ 参考公式和数据：‎ ‎，‎ ‎；若，有，．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程 平面直角坐标系xOy中，抛物线E顶点在坐标原点，焦点为．以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线E的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）过点倾斜角为的直线l交E于M，N两点，若，求．‎ ‎23．（10分）选修4-5：不等式选讲 已知，．‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）求证：．‎ NCS20200707项目第二次模拟测试卷 理科数学参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B A A D B D C D B B C D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．‎ ‎13． 14． 15． 16．①③‎ 三。解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎17．【解析】（I）①由，得，即；‎ ‎②由，，成等比数列，得，，即﹔‎ ‎③由，得，即； （每个条件转化1.5分）‎ 选择①②、①③、②③条件组合，均得、，即﹔ 6分 ‎（Ⅱ），‎ ‎，‎ 两式相减得：， 9分 得 12分 ‎18．【解析】（Ⅰ）中，，，，得， 2分 则，即， 4分 而，故平面，‎ 又面ABCD，所以平面平面ABCD． 6分 ‎（Ⅱ）取BD的中点O，由于，所以，‎ 由（Ⅰ）可知平面面ABCD，故面ABCD．‎ 由等腰梯形知识可得，则. 8分 以O为原点，分别以为的非负半轴建立空间直角坐标系，‎ 则，‎ 则 设平面的法向量为，则，‎ 令，则，有，‎ 所以，，‎ 即直线AB与平面所成角的正弦值为． 12分 ‎19．【解析】（1）设，‎ 由，知，‎ 所以，，得，即，‎ 即双曲线渐近线方程为； 5分 ‎（Ⅱ）由， 6分 设，则PM方程为，‎ 由，得；‎ 由，得 7分 由渐近线性质，得，，‎ 同理可得，， 9分 由是平行四边形，知，‎ 所以，，‎ 即 所以，存在符合题意的椭圆，其方程为. 12分 ‎20．【解析】（I）由，知 1分 ‎①当时，定义域为得，得；‎ ‎②当时，定义域为得，得 所以，当时，增区间为，减区间为；‎ 当时，增区间为，减区间为；（每类讨论2分） 5分 ‎（Ⅱ）因为有两个正零点，则 6分 由（I）知在上单调递减，在上单调递增.‎ 设时，指数函数是爆炸增长，，‎ 当，当， 7分 因为有两个正零点，所以有， 9分 由①得，‎ 对于②，令=，，‎ 在上单调递增，且，由知，‎ 由②得 综上所述， 12分 ‎21．【解析】（I）由表可得 男同学 女同学 总计 该次大赛得满分 ‎10‎ ‎14‎ ‎24‎ 该次大赛未得满分 ‎15‎ ‎11‎ ‎26‎ 总计 ‎25‎ ‎25‎ ‎50‎ ‎ 2分 所以，‎ 所以没有90%的把握说“该次大赛是否得满分”与“同学性别”有关； 4分 ‎（Ⅱ）可得； 6分 由题知，而，‎ 故不存在 7分 知满足的i的个数为3，即 当 ‎ 9分 设从服从正态分布的总体（个体数无穷大）中任意取5个个体，其中值属于的个体数为Y，则，所以，，综上，第②种情况出现，所以该小组不会接受该模型. 12分 ‎22．【解析】（Ⅰ）由题意抛物线E的焦点为，所以标准方程为，‎ 故极坐标方程为﹔‎ ‎（Ⅱ）设过点A的直线l参数方程为（t为参数），‎ 代入，化简得，‎ ‎，，‎ 且 6分 由，A在E内部，知，‎ 得或，‎ 所以，当时，解得，‎ 所以，当时，解得 （每个结果1.5分）‎ 所以或． 10分 ‎23．【解析】（Ⅰ）当时，不等式为，平方得，‎ 则，得，即或，‎ 所以，所求不等式的解集； 5分 ‎（Ⅱ）因为 ‎， 8分 又，‎ 所以，不等式得证． 10分