辽宁省六校协作体2019-2020学年高二上学期开学考试数学试卷 20页

‎2019--2020学年度上学期省六校协作体高二期初考试 数学试题 一．选择题（每题4个选项中，只有一个是符合题目要求的）‎ ‎1.设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，，，∴，故选A.‎ 考点：1.解一元二次不等式；2.集合的交集.‎ ‎2.袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）‎ A. 至少有一个白球；至少有一个红球 B. 至少有一个白球；红、黑球各一个 C. 恰有一个白球；一个白球一个黑球 D. 至少有一个白球；都是白球 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个,从中任取2个, 在A中,至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生,不是互斥事件,故A不成立; 在B中,至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生,是互斥而不对立的两个事件,故B成立; 在C中,恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生,不是互斥事件,故C不成立; 在D中,至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生,不是互斥事件,故D不成立. 故选B.‎ 点睛:事件A和B的交集为空,A与B就是互斥事件,也可以描述为:不可能同时发生的事件,则事件A与事件B互斥,从集合的角度即;若A交B为不可能事件,A并B为必然事件,那么事件A与事件B互为对立事件,即事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生,其定义为:其中必有一个发生的两个互斥事件为对立事件.‎ ‎3.若,则的值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵，‎ ‎∴选C。‎ ‎4.已知函数和均为上的奇函数，且，，则的值为（　　）‎ A. B. C. D. 6‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 代入，和，利用奇函数的性质，两式相加求值.‎ 详解】,①,‎ 和 都是奇函数，‎ ‎ ‎ 即 ②‎ ‎①+②可得 ‎ ‎ .‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了奇函数的性质求值，属于基础题型.‎ ‎5.在中，角，，所对的边分别是，，，且，，，则（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：利用正弦定理和三角形边角大小关系，即可求得答案 详解：，，， ,‎ ‎ 又由正弦定理，得 ‎ ‎ 故选B.‎ 点睛：本题考查了正弦定理和三角形的边角大小关系，考查推理能力与计算能力.‎ ‎6.已知非零向量的夹角为，且，则（ ）‎ A. B. 1 C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由得，，解得，故选A．‎ 考点：向量的数量积．‎ ‎7.若样本的平均数是，方差是，则对样本，下列结论正确的是 ( )‎ A. 平均数为10，方差为2 B. 平均数为11，方差为3‎ C. 平均数为11，方差为2 D. 平均数为12，方差为4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 样本的平均数是，则对样本的平均数为，样本与样本的方差相等，均为2；选C.‎ ‎8.设为直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）‎ A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 逐个选项一一分析，得出正确选项.‎ ‎【详解】A.设 ，只有当时，才有，其他情况都不垂直，故A不正确；‎ B.当两平面相交时，直线平行于交线（且不在两平面内）时，直线与两平面平行，故B不正确；‎ C.应推出，故C不正确；‎ D.时,能推出 ，D正确.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了线线，线面，和面面的位置关系，属于基础题型.‎ ‎9.已知函数，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 当时，，故其在内单调递增，又∵函数定义域为 ‎，，故其为偶函数，综上可得在内单调递减，在内单调递增且图象关于轴对称， 即等价于且，即不等式的解集为，故选C.‎ 点睛：本题主要考查了函数的单调性与奇偶性在解抽象函数不等式中的应用，熟练掌握初等函数的形式是解题的关键；根据性质得到为定义域内的偶函数且在内单调递减，在内单调递增，故而可将不等式等价转化为在定义内解不等式即可.‎ ‎10.如图，要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为 A. m B. 20 m C. m D. 40 m ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，在中，利用余弦定理列出关于的方程，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，设，则，‎ 在中，由余弦定理，得．‎ 化简得解得．即AB=40 m．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角形的实际应用问题，其中解答解三角形实际问题时需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边角之间的关系，合理使用正、余弦定理列出方程是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ 二．多选题（每题4个选项中，有多个正确选项）‎ ‎11.函数,是 A. 最小正周期是 B. 区间上的增函数 C. 图象关于点对称 D. 周期函数且图象有无数条对称轴 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由上图可得 最小正周期为小正周期是 ， 区间上的有增有减，图象不关于点对称，周期函数且图象有无数条对称轴，故A、B、C错误，D正确，故选D.‎ ‎12.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误的是（　　）‎ A. B. 平面 C. 三棱锥的体积为定值 D. 的面积与的面积相等 ‎【答案】AD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 逐一分析选项，得到答案.‎ ‎【详解】A.因为，而，所以，即，若，则平面，即可得，由图像分析显然不成立，故A不正确；‎ B.因为平面，平面，所以平面，故B正确；‎ C.，所以体积是定值，故C正确；‎ D.设的中点是，点到直线的距离是，而点到直线的距离是，所以，，所以的面积与的面积不相等，D不正确.‎ 故选AD.‎ ‎【点睛】本题考查了几何体中的线线，和线面关系，属于在中档题型.‎ ‎13.设表示离最近的整数，即若，则．给出下列关于函数的四个命题( )‎ A. 函数的定义域是，值域是；‎ B. 函数的图像关于直线（）对称；‎ C. 函数是周期函数，最小正周期是1；‎ D. 函数在上是增函数．‎ ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 逐一分析选项，得到答案.‎ ‎【详解】A.由题意可知函数的定义域是，，所以函数的值域是，故A不正确；‎ B.易判断C是正确的，那么令，当时，可得，此区间的对称轴是 ，利用图像以及周期，可得对称轴间的距离时半个周期，那么对称轴方程是 ‎ C.,所以时周期函数，并且周期时1.故C正确；‎ D. , ，‎ ‎ ，可知函数不是单调递增函数，所以D正确.‎ 故选BC.‎ ‎【点睛】本题考查了函数新定义，抽象函数的周期，单调以及值域问题，解决新定义问题，需明确定义的含义，如果感觉抽象可以先列举一些特殊的数值，便于类比和归纳，本题属于难题.‎ 三．填空题.‎ ‎14.已知:，若，则_____;若，则_____‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据公式可知，时， ；时，.‎ ‎【详解】由已知，可知，可知；‎ 由可知，，可知.‎ 故填： .‎ ‎【点睛】本题考查了向量平行和垂直的坐标表示.‎ ‎15.已知函数，若，则的最小值为_____，_____‎ ‎【答案】 (1). (2). 0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二倍角公式和辅助角公式化简，然后再根据定义域求函数的最小值.‎ ‎【详解】 ‎ 当 时，，‎ ‎ ，即当时，函数取得最小值 ‎ 此时，解得 .‎ 故填：-2；0‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的化简，和给定区间求函数的最小值的问题，属于基础题型.‎ ‎16.设的内角的对边分别为，．若，则_____，若，则边上的中线长_____．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求角,再根据正弦定理求比值；第二问，首先根据余弦定理求腰长，在内，根据余弦定理求中线长.‎ ‎【详解】，根据正弦定理可知；‎ 由已知可知，那么设，根据余弦定理可知，，解得，‎ 设边的中点为点，那么，‎ 根据余弦定理，，代入可得，‎ 解得.‎ 故填： .‎ ‎【点睛】本题重点考查了正弦定理和余弦定理，属于基础题型.‎ ‎17.若奇函数定义域为，当时，，则是单调递______函数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是____．‎ ‎【答案】 (1). 减 (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为，所以不妨设，根据单调函数的定义，即可得到结果；‎ 利用函数是奇函数，变形为，再利用函数是单调递减函数，可变形为恒成立，再利用参变分离转化为恒成立，转化为函数求最值.‎ ‎【详解】因为，所以不妨设，‎ 根据已知，可知，即 所以是单调递减函数；‎ 不等式可变形为恒成立，根据函数是单调递减函数，‎ 所以 ，即，‎ 即 ，‎ 设，变形为 ‎ ‎ ，当时，函数取得最小值，‎ ‎，即的最大值是-3.‎ 故填：减；-3.‎ ‎【点睛】本题重点考查到了单调函数的定义，以及利用函数的单调和奇偶性解抽象不等式，‎ 对于恒成立问题，一般可以参变分离转化为求函数的最值问题，本题属于中档题型.‎ 四．解答题。‎ ‎18.【2018年天津市河西区高三三模】已知函数．‎ ‎（1）求函数的最小正周期和对称轴方程；‎ ‎（2）讨论函数在上的单调性．‎ ‎【答案】（1）最小正周期，对称轴方程为，；（2）在区间上单调递增；在区间上单调递减．‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）利用二倍角公式、两角和的余弦公式化简函数表达式，再利用周期公式和整体思想进行求解；（2）利用整体思想和三角函数的单调性进行求解．‎ 详解：（1） ，‎ 因为，所以最小正周期，‎ 令，所以对称轴方程为，．‎ ‎（2）令，得，，‎ 设，，‎ 易知，‎ 所以，当时，在区间上单调递增；在区间上单调递减．‎ ‎【名师点睛】本题考查二倍角公式、两角和公式、辅助角公式、三角函数的图象和性质等知识，意在考查学生的转化能力和基本计算能力．‎ ‎19.某中学团委组织了“弘扬奥运精神，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形给出的信息，回答下列问题：‎ ‎(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；‎ ‎(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分；‎ ‎(3)从成绩是[40,50)和[90,100]的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．‎ ‎【答案】（1）0.3，直方图见解析；（2）及格率75%，平均分为71分；（3）。‎ ‎【解析】‎ 试题分析；（Ⅰ）根据频率分布直方图，用1减去成绩落在其它区间上的频率，即得成绩落在 上的频率，从而补全频率分步直方图． ‎ ‎（Ⅱ） 先根据频率分布直方图，用1减去成绩落在 上的频率，即可得到这次考试的及格率．‎ ‎(Ⅲ) 成绩在 的学生人数为人，在 的学生人数为3人 用 表示“从成绩在和的学生中任选两人，他们的成绩在同一分数段”，表示“所选两人成绩落在内”，表示“所选两人成绩落在内”，则和是互斥事件，由互斥事件的概率可得他们在同一分数段的概率.‎ 试题解析：（Ⅰ）成绩落在[70，80）上的频率是0．3，频率分布直方图如下图． ‎ ‎(Ⅱ) 估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）‎ 为：10.01×100.015×10=75﹪‎ 平均分：45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3‎ ‎+85×0.25+95×0.05=71 ‎ ‎(Ⅲ) 成绩在[40，50）的学生人数为 ‎0.010×10×60=6‎ 在[90，100）的学生人数为 ‎0.005×10×60=3‎ 用A表示“从成绩在[40，50）和[90，100]的学生中任选两人，他们的成绩在同一分数段”，表示“所选两人成绩落在[40，50）内”，表示“所选两人成绩落在[90，100]内”，则和是互斥事件，且 ‎, 从而,‎ 因为中的基本事件个数为15，中的基本事件个数为3，全部基本事件总数为36，‎ 所以 所求的概率为.‎ ‎20.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，且的面积为，求a的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角，整理计算可得，则.‎ ‎（Ⅱ）由三角形面积公式可得：，结合余弦定理计算可得，则.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由正弦定理得，，‎ ‎∵，‎ ‎∴，即．‎ ‎∵∴，‎ ‎∴∴．‎ ‎（Ⅱ）由：可得．‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴由余弦定理得：，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．‎ ‎21.汽车的普及给人们的出行带来了诸多方便，但汽车超速行驶也造成了诸多隐患.为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间中，其频率分布直方图如图所示. ‎ ‎（1）求被抽测的200辆汽车的平均时速.‎ ‎（2）该路段路况良好，但属于事故高发路段，交警部门对此路段过往车辆限速.对于超速行驶，交警部门对超速车辆有相应处罚：记分（扣除驾驶员驾照分数）和罚款.罚款情况如下：‎ 超速情况 ‎10%以内 ‎10%～20%‎ ‎20%～50%‎ ‎50%以上 罚款情况 ‎0元 ‎100元 ‎150元 可以并处吊销驾照 ‎①求被抽测的200辆汽车中超速在10%～20%的车辆数.‎ ‎②该路段车流量比较大，按以前统计该路段每天来往车辆约2000辆.试预估每天的罚款总数.‎ ‎【答案】(1) (2) ① 20辆；②44000辆 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据频率分布直方图的平均数的计算公式计算；（2）①首先计算超速在10%～20%的速度在之间，根据频率分布直方图可求得这个区间的面积，即频率，频率=频数，即超速在10%～20%的车辆数；②根据①可知罚款100元的频率，速度在 之间的频率，最后罚款总额为.‎ ‎【详解】（1）平均时速 ‎（2）①超速在10%～20%的速度在之间 速度在之间的车辆数为辆 速度在之间的车辆数为辆 速度在之间的车辆数为辆 所以速度在之间的车辆数为辆 故超速10%～20%的车辆约辆 ‎②设任意一辆车的罚款数为，被抽测的200辆汽车中均没有超速50%以上，‎ 故元 所以预计罚款总数约为元 ‎【点睛】本题考查了利用频率分布直方图求解平均数，以及根据频率分布直方图计算频率和频数，以及期望，需记住频率分布直方图中每组数据对应的长方形的面积表示这组的频率，频数/样本容量=频率.‎ ‎22.的内角的对边分别为，已知．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ； (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据正弦定理边角互化，将等式化简为，再利用,以及二倍角公式化解求角的值；‎ ‎（2）根据正弦定理，，表示，再利用面积公式，利用两角和的正弦公式和降幂公式化简，最后根据角的范围求取值范围.‎ ‎【详解】（1）由题设及正弦定理得．‎ 因为，所以．‎ 由，可得，‎ 故．‎ 因为，故，因此．‎ ‎（2）根据正弦定理，可得 因，所以 ,‎ 这样 ,‎ 而 ‎ ‎ ‎ 是锐角三角形，所以, ‎ ‎ ,‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题重点考查了正弦定理边角互化解三角形，以及利用边角互化把边转化为角，转化为三角函数给定区间求取值范围的问题，本题的易错点是忽略锐角三角形的条件，或是只写出，这样即便函数化简正确，取值范围也错了.‎ ‎23.已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，所得函数为奇函数．‎ ‎（1）求的解析式； ‎ ‎（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据对称轴间的距离是半个周期，，求得，再求平移后的函数解析式，利用奇函数过原点，可求得其他系数；‎ ‎（2）首先求的范围，再利用参变分离转化为恒成立，转化为求最值的问题.‎ ‎【详解】解：（1）∵，∴∴．‎ 又为奇函数，且，‎ 则，‎ 故 ‎（2）由于，‎ 故，，‎ ‎∵恒成立，‎ 整理可得．‎ 由，‎ 得：，‎ 故，即取值范围是．‎ ‎【点睛】本题重点考查了利用函数的性质和求函数的解析式，以及函数平移变换，对于恒成立一般利用参变分离转化为求函数的最值，本题属于中档题型.‎ ‎ ‎