数学卷·2018届广东省揭阳市普宁市英才华侨中学高二下学期第一次月考数学试卷（文科） （解析版） 25页

‎2016-2017学年广东省揭阳市普宁市英才华侨中学高二（下）第一次月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．设f（x）=，则f（x）dx的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．（1+cosx）dx等于（　　）‎ A．π B．2 C．π﹣2 D．π+2‎ ‎3．若函数y=ex+mx有极值，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．m＞0 B．m＜0 C．m＞1 D．m＜1‎ ‎4．设a∈R，若函数y=ex+ax，x∈R，有大于零的极值点，则（　　）‎ A．a＜﹣1 B．a＞﹣1 C． D．‎ ‎5．已知y=x3+bx2+（b+2）x+3是R上的单调增函数，则b的取值是（　　）‎ A．b＜﹣1或b＞2 B．b≤﹣2或b≥2 C．﹣1＜b＜2 D．﹣1≤b≤2‎ ‎6．函数f（x）=xlnx的单调递减区间为（　　）‎ A．（﹣∞，） B．（0，） C．（﹣∞，e） D．（e，+∞）‎ ‎7．若f′（x0）=﹣3，则=（　　）‎ A．﹣3 B．﹣12 C．﹣9 D．﹣6‎ ‎8．由直线y=x+1上的点向圆x2﹣6x+y2+8=0引切线，则切线长的最小值为（　　）‎ A．1 B．2 C． D．3‎ ‎9．下列推理过程属于演绎推理的为（　　）‎ A．老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验 B．由1=12，1+3=22，1+3+5=32，…得出1+3+5+…+（2n﹣1）=n2‎ C．由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线（四面体每一个顶点与对面重心的连线）交于一点 D．通项公式形如an=cqn（cq≠0）的数列{an}为等比数列，则数列{﹣2n}为等比数列 ‎10．k棱柱有f（k）个对角面，则k+1棱柱的对角面个数f（k+1）为（　　）‎ A．f（k）+k﹣1 B．f（k）+k+1 C．f（k）+k D．f（k）+k﹣2‎ ‎11．如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时时刻五角星露出水面部分的图形面积为S（t）（S（0）=0），则导函数y=S′（t）的图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知a，b是正实数，函数f（x）=﹣x3+ax2+bx在x∈[﹣1，2]上单调递增，则a+b的取值范围为（　　）‎ A． B． C．（0，1） D．（1，+∞）‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．过抛物线y=f（x）上一点A（1，0）的切线的倾斜角为45°则f′（1）=　　．‎ ‎14．设f（x）=，若f（f（1））=1，则（4x﹣2﹣x）a+5展开式中常数项为　　．‎ ‎15．设函数f（x）=（x＞0），观察：‎ ‎ f1（x）=f（x）=，‎ ‎ f2（x）=f（f1（x））=，‎ ‎ f3（x）=f（f2（x））=，‎ ‎ f4（x）=f（f3（x））=，‎ ‎…‎ 根据以上事实，由归纳推理可得：‎ 当n∈N*且n≥2时，fn（x）=f（fn﹣1（x））=　　．‎ ‎16．观察下列等式：，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎…‎ 由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*， =　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上）‎ ‎17．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3．‎ ‎（1）当x∈[0，]时，求f（x）的值域；‎ ‎（2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=， =2+2cos（A+C），求f（B）的值．‎ ‎18．已知数列{an}前n项和为Sn，满足 ‎（1）证明：{an+2}是等比数列，并求{an}的通项公式；‎ ‎（2）数列{bn}满足，Tn为数列的前n项和，若Tn＜a对正实数a都成立，求a的取值范围．‎ ‎19．某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：‎ ‎（1）指出这组数据的众数和中位数；‎ ‎（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；‎ ‎（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．‎ ‎20．如图：四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ACB=90°，平面PAD⊥平面ABCD，PA=BC=2，PD=AB=，E，F分别为线段PD和BC的中点．‎ ‎（1）求证：CE∥平面PAF；‎ ‎（2）在线段BC上是否存在一点G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°？若存在，试确定G的位置；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．定长为3的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，动点P满足=2．‎ ‎（Ⅰ）求点P的轨迹曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若过点（1，0）的直线与曲线C交于M、N两点，求•的最大值．‎ ‎22．已知函数f（x）=ex﹣ax﹣1（a＞0，e为自然对数的底数）．‎ ‎（1）求函数f（x）的最小值；‎ ‎（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，证明：‎ ‎．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年广东省揭阳市普宁市英才华侨中学高二（下）第一次月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．设f（x）=，则f（x）dx的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】分段函数的应用．‎ ‎【分析】把积分分成两个部分，和，找出其相对应的函数带入可求定积分的值．‎ ‎【解答】解： f（x）dx=f（x）dx+f（x）dx ‎=x2dx+（2﹣x）dx ‎=x3+（2x﹣x2）‎ ‎=‎ ‎　‎ ‎2．（1+cosx）dx等于（　　）‎ A．π B．2 C．π﹣2 D．π+2‎ ‎【考点】定积分．‎ ‎【分析】由于F（x）=x+sinx为f（x）=1+cosx的一个原函数即F′（x）=f（x），根据∫abf（x）dx=F（x）|ab公式即可求出值．‎ ‎【解答】解：∵（x+sinx）′=1+cosx，‎ ‎∴（1+cosx）dx=（x+sinx）‎ ‎=+sin﹣=π+2．‎ 故选D ‎　‎ ‎3．若函数y=ex+mx有极值，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．m＞0 B．m＜0 C．m＞1 D．m＜1‎ ‎【考点】函数在某点取得极值的条件．‎ ‎【分析】先求导数，函数有极值，则说明f'（x）=0有解，然后适当对参数进行检验．‎ ‎【解答】解：函数的导数为f'（x）=ex+m，‎ 由f'（x）=ex+m=0，得m=﹣ex，‎ 因为ex＞0，所以m=﹣ex＜0，‎ 即实数m的取值范围是m＜0．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎4．设a∈R，若函数y=ex+ax，x∈R，有大于零的极值点，则（　　）‎ A．a＜﹣1 B．a＞﹣1 C． D．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】先对函数进行求导令导函数等于0，原函数有大于0的极值故导函数等于0有大于0的根，然后转化为两个函数观察交点，确定a的范围．‎ ‎【解答】解：∵y=ex+ax，‎ ‎∴y'=ex+a．‎ 由题意知ex+a=0有大于0的实根，令y1=ex，y2=﹣a，则两曲线交点在第一象限，‎ 结合图象易得﹣a＞1⇒a＜﹣1，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎5．已知y=x3+bx2+（b+2）x+3是R上的单调增函数，则b的取值是（　　）‎ A．b＜﹣1或b＞2 B．b≤﹣2或b≥2 C．﹣1＜b＜2 D．﹣1≤b≤2‎ ‎【考点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质．‎ ‎【分析】三次函数y=x3+bx2+（b+2）x+3的单调性，通过其导数进行研究，故先求出导数，利用其导数恒大于0即可解决问题．‎ ‎【解答】解：∵已知y=x3+bx2+（b+2）x+3‎ ‎∴y′=x2+2bx+b+2，‎ ‎∵y=x3+bx2+（b+2）x+3是R上的单调增函数，‎ ‎∴x2+2bx+b+2≥0恒成立，‎ ‎∴△≤0，即b2﹣b﹣2≤0，‎ 则b的取值是﹣1≤b≤2．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎6．函数f（x）=xlnx的单调递减区间为（　　）‎ A．（﹣∞，） B．（0，） C．（﹣∞，e） D．（e，+∞）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】求出函数的定义域，求出函数的导函数，令导函数小于等于0求出x的范围，写出区间形式即得到函数y=xlnx的单调递减区间．‎ ‎【解答】解：函数的定义域为x＞0‎ ‎∵y′=lnx+1‎ 令lnx+1＜0得0＜x＜，‎ ‎∴函数y=xlnx的单调递减区间是（ 0，），‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．若f′（x0）=﹣3，则=（　　）‎ A．﹣3 B．﹣12 C．﹣9 D．﹣6‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】根据= [4•]=4（）=4f′（x0），利用条件求得结果．‎ ‎【解答】解：∵f′（x0）=﹣3，则 = [4•]=4（）=4f′（x0）=4×（﹣3）=﹣12，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．由直线y=x+1上的点向圆x2﹣6x+y2+8=0引切线，则切线长的最小值为（　　）‎ A．1 B．2 C． D．3‎ ‎【考点】圆的切线方程．‎ ‎【分析】由已知得切线最短则圆心和点的距离最小，则此时就是C到x﹣y+1=0的距离d==2，由勾股定理切线长最小值为： =．‎ ‎【解答】解：圆x2﹣6x+y2+8=0⇒（x﹣3）2+y2=1的圆心C（3，0），半径r=1，‎ ‎∵半径一定，‎ ‎∴切线最短则圆心和点的距离最小，‎ 则此时就是C到x﹣y+1=0的距离 d==2，‎ 由勾股定理切线长最小值为： =．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．下列推理过程属于演绎推理的为（　　）‎ A．老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验 B．由1=12，1+3=22，1+3+5=32，…得出1+3+5+…+（2n﹣1）=n2‎ C．由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线（四面体每一个顶点与对面重心的连线）交于一点 D．通项公式形如an=cqn（cq≠0）的数列{an}为等比数列，则数列{﹣2n}为等比数列 ‎【考点】进行简单的演绎推理．‎ ‎【分析】根据类比推理的定义及特征，可以判断出A，C为类比推理，根据归纳推理的定义及特征，可以判断出B为归纳推理，根据演绎推理的定义及特征，可以判断出D为演绎推理．‎ ‎【解答】解：∵老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，‎ 故A中推理为类比推理；‎ ‎∵由1=12，1+3=22，1+3+5=32，…得出1+3+5+…+（2n﹣1）=n2，‎ 是由特殊到一般 故B中推理为归纳推理；‎ ‎∵由三角形性质得到四面体的性质有相似之处，‎ 故C中推理为类比推理；‎ ‎∵由通项公式形如an=cqn（cq≠0）的数列{an}为等比数列（大前提），数列{﹣2n}满足这种形式（小前提），则数列{﹣2n}为等比数列（结论）‎ 可得D中推理为演绎推理．‎ ‎　‎ ‎10．k棱柱有f（k）个对角面，则k+1棱柱的对角面个数f（k+1）为（　　）‎ A．f（k）+k﹣1 B．f（k）+k+1 C．f（k）+k D．f（k）+k﹣2‎ ‎【考点】棱柱的结构特征；归纳推理．‎ ‎【分析】‎ 因为过不相邻两条侧棱的截面为对角面，过每一侧棱与它不相邻的一条侧棱都能作对角面，可作（k﹣3）个对角面，k条侧棱可作k（k﹣3）个对角面，由于这些对角面是相互之间重复计算了，所以共有k（k﹣3）÷2个对角面，从而得出f（k+1）与f（k）的关系．‎ ‎【解答】解：因为过不相邻两条侧棱的截面为对角面，过每一侧棱与它不相邻的一条侧棱都能作对角面，可作（k﹣3）个对角面，k条侧棱可作k（k﹣3）个对角面，‎ 由于这些对角面是相互之间重复计算了，‎ 所以共有k（k﹣3）÷2个对角面，‎ 所以可得f（k+1）﹣f（k）=（k+1）（k+1﹣3）÷2﹣k（k﹣3）÷2=k﹣1，‎ 故f（k+1）=f（k）+k﹣1．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时时刻五角星露出水面部分的图形面积为S（t）（S（0）=0），则导函数y=S′（t）的图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】总面积一直保持增加，则导数值一直为正，但总面积的增加速度是逐渐增大→突然变大→逐渐减小→逐渐增大→突然变小→逐渐变小，进而得到答案．‎ ‎【解答】解：总面积一直保持增加，则导数值一直为正，故排除B；‎ 总面积的增加速度是逐渐增大→突然变大→逐渐减小→逐渐增大→突然变小→逐渐变小，‎ 故导函数y=S'（t）的图象应是匀速递增→突然变大→匀速递减→匀速递增→突然变小→匀速递减，‎ 故排除CD，‎ 故选．A．‎ ‎　‎ ‎12．已知a，b是正实数，函数f（x）=﹣x3+ax2+bx在x∈[﹣1，2]上单调递增，则a+b的取值范围为（　　）‎ A． B． C．（0，1） D．（1，+∞）‎ ‎【考点】函数的单调性与导数的关系．‎ ‎【分析】由题意可得f′（x）=﹣x2 +2ax+b≥0在区间[1，2]上恒成立，结合二次函数的性质可得f′（﹣1）≥0，且 f′（2）≥0，化简可得a+b的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵a，b是正实数，函数f（x）=﹣x3+ax2+bx在x∈[﹣1，2]上单调递增，∴f′（x）=﹣x2+2ax+b，‎ 且f′（x）=﹣x2 +2ax+b≥0在区间[1，2]上恒成立．‎ 由于二次函数f′（x）=﹣x2 +2ax+b的图象是抛物线，开口向下，对称轴为 x=a，‎ 故有f′（﹣1）≥0，且 f′（2）≥0，即．‎ 化简可得 2a+2b≥5，a+b≥，故a+b的取值范围为，‎ 故选B．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．过抛物线y=f（x）上一点A（1，0）的切线的倾斜角为45°则f′（1）=　1　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算．‎ ‎【分析】确定点A即为切点，再根据函数的导数就是函数在此点的切线的斜率，利用斜率与倾斜角的关系，从而来求出f′（1）．‎ ‎【解答】解：∵点A（1，0）满足抛物线，‎ ‎∴点A即为切点．‎ ‎∵切线的倾斜角为45°，‎ ‎∴y′=f′（1）=tan45°=1．‎ 故答案为1．‎ ‎　‎ ‎14．设f（x）=，若f（f（1））=1，则（4x﹣2﹣x）a+5展开式中常数项为　15　．‎ ‎【考点】分段函数的应用．‎ ‎【分析】由定积分知识求出当x≤0时，f（x）的表达式，再由f（f（1））=1得到a=1，再由二项式展开式的通项即可得到常数项．‎ ‎【解答】解：当x≤0时，f（x）=x+3t2dt=x+a3，‎ 当x＞0时，f（x）=lgx，‎ ‎∵f（f（1））=1，‎ ‎∴f（0）=1，即a3=1，‎ ‎∴a=1，‎ ‎∴（4x﹣2﹣x）a+5展开式即（4x﹣2﹣x）6展开式的通项公式为：‎ ‎（4x）6﹣r•（﹣2﹣x）r=•（﹣1）r•212x﹣3xr，‎ 令12x﹣3xr=0，则r=4，‎ 故展开式的常数项为•（﹣1）4=15．‎ 故答案为：15‎ ‎　‎ ‎15．设函数f（x）=（x＞0），观察：‎ ‎ f1（x）=f（x）=，‎ ‎ f2（x）=f（f1（x））=，‎ ‎ f3（x）=f（f2（x））=，‎ ‎ f4（x）=f（f3（x））=，‎ ‎…‎ 根据以上事实，由归纳推理可得：‎ 当n∈N*且n≥2时，fn（x）=f（fn﹣1（x））=　　．‎ ‎【考点】归纳推理．‎ ‎【分析】观察所给的前四项的结构特点，先观察分子，只有一项组成，并且没有变化，在观察分母，有两部分组成，是一个一次函数，根据一次函数的一次项系数与常数项的变化特点，得到结果．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=（x＞0），观察：‎ ‎ f1（x）=f（x）=，‎ ‎ f2（x）=f（f1（x））=，‎ ‎ f3（x）=f（f2（x））=，‎ ‎ f4（x）=f（f3（x））=，‎ ‎…‎ 所给的函数式的分子不变都是x，‎ 而分母是由两部分的和组成，‎ 第一部分的系数分别是1，3，7，15…2n﹣1，‎ 第二部分的数分别是2，4，8，16…2n ‎∴fn（x）=f（fn﹣1（x））=‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎16．观察下列等式：，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎…‎ 由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*，‎ ‎ =　1﹣　．‎ ‎【考点】归纳推理．‎ ‎【分析】由已知中的三个式子，我们分析等式左边每一个累加项的变化趋势，可以归纳出其通项为，分析等式右边的式子，发现每一个式了均为两项差的形式，且被减数均为1，减数为，由此即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由已知中的等式，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎…‎ 我们可以推断：‎ 对于n∈N*， =1﹣‎ 故答案为：1﹣‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上）‎ ‎17．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3．‎ ‎（1）当x∈[0，]时，求f（x）的值域；‎ ‎（2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=， =2+2cos（A+C），求f（B）的值．‎ ‎【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦定理．‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由二倍角公式以及变形、两角和的正弦公式化简解析式，由x的范围求出2x+的范围，由正弦函数的性质求出f（x）的值域；‎ ‎（2）由两角和与差的正弦公式、正弦定理化简已知的式子，由条件和余弦定理求出cosA的值，由A的范围和特殊角的三角函数值求出A，由三角形的内角和定理求出B，代入可得f（B）的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3‎ ‎=sin2x﹣3•﹣+3‎ ‎=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，‎ ‎∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，‎ ‎∴sin（2x+）∈[，1]，则2sin（2x+）+1∈[0，3]，‎ 即函数f（x）=2sin（2x+）+1的值域是[0，3]；‎ ‎（2）∵=2+2cos（A+C），‎ ‎∴sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），‎ sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），‎ ‎﹣sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA，即sinC=2sinA，‎ 由正弦定理可得c=2a，又由=可得b=a，‎ 由余弦定理可得cosA===，‎ 又0°＜A＜180°，∴A=30°，‎ 则sinC=2sinA=1，即C=90°，‎ ‎∴B=180°﹣A﹣C=60°，‎ ‎∴f（B）=f（）=2sin（+）+1=2．‎ ‎　‎ ‎18．已知数列{an}前n项和为Sn，满足 ‎（1）证明：{an+2}是等比数列，并求{an}的通项公式；‎ ‎（2）数列{bn}满足，Tn为数列的前n项和，若Tn＜a对正实数a都成立，求a的取值范围．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出．‎ ‎（2）利用“裂项求和”方法即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）证明：由题设，‎ 两式相减得an=2an﹣1+2…‎ 即an+2=2（an﹣1+2）又a1+2=4，所以{an+2}是以4为首项，2为公比的等比数列…‎ 又a1=2，所以…‎ ‎（2）∵==n+1．‎ ‎∴==﹣．…‎ 所以…‎ 依题意得：…‎ ‎　‎ ‎19．某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：‎ ‎（1）指出这组数据的众数和中位数；‎ ‎（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；‎ ‎（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；众数、中位数、平均数．‎ ‎【分析】（1）根据所给的茎叶图看出16个数据，找出众数和中位数，中位数需要按照从小到大的顺序排列得到结论．‎ ‎（2）由题意知本题是一个古典概型，至多有1人是“极幸福”包括有一个人是极幸福和有零个人是极幸福，根据古典概型公式得到结果．‎ ‎（3）由于从该社区任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”学生的人数，得到变量的可能取值是0、1、2、3，结合变量对应的事件，算出概率，写出分布列和期望．‎ ‎【解答】解：（1）由茎叶图得到所有的数据从小到大排，8.6出现次数最多，‎ ‎∴众数：8.6；中位数：8.75；‎ ‎（2）设Ai表示所取3人中有i个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A，则 ‎（3）ξ的可能取值为0、1、2、3.； ；，‎ ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 七彩教育网 所以Eξ=．‎ 另解：ξ的可能取值为0、1、2、3．则，．‎ ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以Eξ=．‎ ‎　‎ ‎20．如图：四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ACB=90°，平面PAD⊥平面ABCD，PA=BC=2，PD=AB=，E，F分别为线段PD和BC的中点．‎ ‎（1）求证：CE∥平面PAF；‎ ‎（2）在线段BC上是否存在一点G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°？若存在，试确定G的位置；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）取PA中点为H，连结CE、HE、FH，推导出四边形FCEH是平行四边形，从而EC∥HF，由此能证明CE∥平面PAF．‎ ‎（2）以A为原点，AC，AD，AD所在直角为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出线段BC上存在一点G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°，点G即为B点．‎ ‎【解答】证明：（1）取PA中点为H，连结CE、HE、FH，‎ 因为H、E分别为PA、PD的中点，所以，‎ 因为ABCD是平行四边形，且F为线段BC的中点，‎ 所以，‎ 所以HE∥FC，HE=FC，四边形FCEH是平行四边形，所以EC∥HF，‎ 又因为CE⊄平面PAF，HF⊂平面PAF，‎ 所以CE∥平面PAF．‎ ‎（2）因为四边形ABCD为平行四边形，且∠ACB=90°，‎ 所以CA⊥AD，又由平面PAD⊥平面ABCD，得CA⊥平面PAD，所以CA⊥PA，‎ 由，知PA⊥AD，‎ 以A为原点，AC，AD，AD所在直角为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，‎ 因为，所以AC=1．‎ 所以B（1，﹣1，0），C（1，0，0），P（0，0，1），‎ 假设BC上存在一点G，使得平面PAG和平面PGC，‎ 所成二面角的大小为60°，‎ 设点G的坐标为（1，a，0），﹣1≤a≤0，‎ 所以=（1，a，0），=（0，0，1），‎ 设平面PAG的法向量为=（x，y，z），‎ 则，令x=a，得=（a，﹣1，0），‎ 又=（0，a，0），=（﹣1，0，1），设平面PGC的法向量为，‎ 则，令x1=1，得=（1，0，1），‎ 因为平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°，‎ 所以cos60°=|cos＜＞|=||=，‎ 解得a=±1，又﹣1≤a≤0，所以a=﹣1，‎ 所以线段BC上存在一点G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小 为60°，‎ 点G即为B点．‎ ‎　‎ ‎21．定长为3的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，动点P满足=2．‎ ‎（Ⅰ）求点P的轨迹曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若过点（1，0）的直线与曲线C交于M、N两点，求•的最大值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设A（x0，0），B（0，y0），P（x，y），由得，（x，y﹣y0）=2（x0﹣x，﹣y），由此能求出点P的轨迹方程．‎ ‎（Ⅱ）当过点（1，0）的直线为y=0时，‎ ‎，当过点（1，0）的直线不为y=0时，可设为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化简得：（t2+4）y2+2ty﹣3=0，由此利用韦达定理、根的判别式、向量的数量积结合已知条件能求出的最大值为．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设A（x0，0），B（0，y0），P（x，y），‎ 由得，（x，y﹣y0）=2（x0﹣x，﹣y），‎ 即，‎ 又因为，所以（）2+（3y）2=9，‎ 化简得：，这就是点P的轨迹方程．‎ ‎（Ⅱ）当过点（1，0）的直线为y=0时，‎ ‎，‎ 当过点（1，0）的直线不为y=0时，可设为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 联立，化简得：（t2+4）y2+2ty﹣3=0，‎ 由韦达定理得：，，‎ 又由△=4t2+12（t2+4）=16t2+48＞0恒成立，‎ 得t∈R，对于上式，当t=0时，‎ 综上所述的最大值为．…‎ ‎　‎ ‎22．已知函数f（x）=ex﹣ax﹣1（a＞0，e为自然对数的底数）．‎ ‎（1）求函数f（x）的最小值；‎ ‎（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，证明：．‎ ‎【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；导数的运算．‎ ‎【分析】（1）求导函数，确定函数的单调性，从而可得f（x）在x=lna处取得极小值，且为最小值；‎ ‎（2）f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，即在x∈R上，f（x）min≥0．由（1），构造函数g（a）=a﹣alna﹣1，所以g（a）≥0，确定函数的单调性，即可求得实数a的值；‎ ‎（3）由（2）知，对任意实数x均有ex﹣x﹣1≥0，即1+x≤ex，令（n∈N*，k=0，1，2，3，…，n﹣1），可得，从而有，由此即可证得结论．‎ ‎【解答】（1）解：由题意a＞0，f′（x）=ex﹣a，‎ 由f′（x）=ex﹣a=0得x=lna．‎ 当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0．‎ ‎∴f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增．‎ 即f（x）在x=lna处取得极小值，且为最小值，其最小值为f（lna）=elna﹣alna﹣1=a﹣alna﹣1．‎ ‎（2）解：f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，即在x∈R上，f（x）min≥0．‎ 由（1），设g（a）=a﹣alna﹣1，所以g（a）≥0．‎ 由g′（a）=1﹣lna﹣1=﹣lna=0得a=1．‎ ‎∴g（a）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，‎ ‎∴g（a）在a=1处取得最大值，而g（1）=0．‎ 因此g（a）≥0的解为a=1，∴a=1．‎ ‎（3）证明：由（2）知，对任意实数x均有ex﹣x﹣1≥0，即1+x≤ex．‎ 令（n∈N*，k=0，1，2，3，…，n﹣1），则．‎ ‎∴．‎ ‎∴‎ ‎=．‎ ‎　‎ ‎2017年4月15日