2017-2018学年江西省上高县二中高二上学期期末数学理试题（解析版） 9页

‎2017-2018学年江西省上高县二中高二上学期期末数学理试题（解析版）‎ 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．将答案填在答题纸上．‎ ‎1. 如果命题为真命题，为假命题，那么（ ）．‎ A. 命题，均为真命题 B. 命题，均为假命题 C. 命题，有且只有一个为真命题 D. 命题为真命题，为假命题 ‎【答案】C ‎【解析】为真，则中至少有一个为真，为假，则中至少有一个为假，所以中一个为真一个为假，故选C．‎ ‎2. 已知函数的图象在点处的切线方程，则的值是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由得，因此有，，∴．故选D．‎ ‎3. 已知是抛物线的一条焦点弦，，则的中点的横坐标是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：设，根据抛物线的定义可知，，∴，故选C．‎ 考点：抛物线的定义，焦点弦．‎ ‎4. 函数的最小值是（ ）．‎ A. B. C. D. 不存在 ‎【答案】C ‎【解析】，当时，，当时，，所以时，取极小值也是最小值．故选C．‎ ‎5. “”是“函数在上单调递增”的（ ）．‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】，当时，恒成立，即递增，但当时，恒成立，也递增，因此题中应是“充分不必要条件”，故选A．‎ ‎6. 已知双曲线的一个焦点为，点在双曲线的一条渐近线上，点为双曲线的对称中心，若为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】是等腰直角三角形，则一条渐近线的倾斜角为45°，因此有，，，故选B．‎ ‎7. 函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）．‎ A. ，，， B. ，，，‎ C. ，，， D. ，，，‎ ‎【答案】A ‎【解析】，当时，，因此有，的两个零点均为正，所以，则，故选A．‎ 点睛：三次函数的图象，时，，，，，时，，，，；另外导函数的正负确定函数的单调性，导函数的零点确定函数的极值，从而确定函数图象的大致趋势．由此还能确定函数的零点个数．‎ ‎8. 如图，抛物线与圆交于，两点，点为劣弧上不同于，的一个动点，与 轴平行的直线交抛物线于点，则的周长的取值范围是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意PC＝5，抛物线的准线是 ，作于M，则QC＝QM，∴PQ＋QC＝PQ＋QM＝PM，由，得（负的舍去），易知P点横坐标最大值为6，∴，∴周长的范围是．故选C．‎ 点睛：破解抛物线上的动点与焦点、定点的距离和最值问题的关键：一是“化折为直”的思想，即借助抛物线的定义化折为直；二是“数形结合”思想，即画出满足题设条件的草图，通过图形的辅助找到破题的入口．‎ 二、填空题共6小题．‎ ‎9. 命题，的否定是__________．‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】命题，的否定是，‎ ‎10. 若椭圆的离心率为，则__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】试题分析：由已知，，则，所以，解得，故答案为.‎ 考点：椭圆的性质.‎ ‎11. 函数在闭区间上的最大值是__________最小值是__________．‎ ‎【答案】 (1). 3 (2). -17‎ ‎【解析】，令得，时，，时，，在上，，，所以最大值为3，最小值为－17．‎ ‎12. 若命题“，使得”是真命题，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】试题分析:由题设可得,解之得,故应填答案.‎ 考点：含一个量词的命题的否定及二次函数的图像与性质的运用．‎ ‎13. 抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】抛物线的准线为，双曲线的渐近线为，准线与渐近线的交点为，三角形面积为．‎ ‎14. 设函数 ‎（）若，则的最大值__________．‎ ‎（）若无最大值，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】 (1). 2 (2). ‎ ‎【解析】（1）时，＝0，，且时，，时，，又时，，∴在上递增，在上递减，∴；‎ ‎（2）由（1）知无最大值，则有，解得．‎ 三、解答题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．‎ ‎15. 设函数满足，．‎ ‎（）求，的值及曲线在点处的切线方程．‎ ‎（）若函数有三个不同的零点，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）．（2）．‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）求出导数，由已知条件列出方程组解之可得；‎ ‎（2）三次曲线有三个零点，则，，由此可得的范围．‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵，依题意，‎ ‎∴，，，‎ ‎，∴，，‎ ‎∴切点坐标为，∴切线方程．‎ ‎（2）∵且，令，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，，‎ 若有个不同零点，则，，‎ ‎∴．‎ ‎16. 已知椭圆的离心率为，右焦点为．‎ ‎（）求椭圆的方程．‎ ‎（）设点为坐标原点，过点作直线与椭圆交于，两点，若，求直线的方程．‎ ‎【答案】（）．（）．‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由离心率和焦点坐标可列出的两个方程，结合可求得；‎ ‎（2）直线斜率不为，设方程为，设，，把直线方程代入椭圆方程由韦达定理可得，而OM⊥ON可得，代入韦达定理的结论可求得参数．‎ 试题解析：‎ ‎（），得，，‎ ‎∴椭圆方程为．‎ ‎（）依题意，直线斜率不为，设方程为，‎ 设，，‎ 联立：，消，‎ ‎∵相交，∴，，‎ ‎，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∴，直线方程为．‎ ‎17. 已知函数．‎ ‎（）求曲线在点处的切线方程．‎ ‎（）求证：当时，．‎ ‎（）若对任意恒成立，求实数的最大值．‎ ‎【答案】（）．（）见解析．（）．‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)对函数求导，利用导数研究函数的切线方程即可；‎ ‎(2)令 ，问题转化为证明 ,证得 即可.‎ ‎(3)令 ，讨论函数 的性质结合恒成立的性质即可求得最终结果.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ），，‎ 又，所以切线方程为；‎ ‎（Ⅱ）由题意知，令 ．‎ 令，解得．‎ 易知当时，，易知当时，．‎ 即在单调递减，在单调递增 所以， ‎ 即，即．‎ ‎（Ⅲ）设，依题意，对于任意，恒成立．‎ ‎，‎ 时，，在上单调递增，‎ 当时，，满足题意．‎ 时，随变化，，的变化情况如下表：‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 在上单调递减，所以 即当时，总存在，不合题意．‎ 综上所述，实数的最大值为1．‎ 点睛：‎ ‎(1)准确求切线的方程是本题求解的关键；第(2)问构造新函数，将不等式的问题进行转换，进而运用导数研究，体现了函数思想与转化思想的应用．‎ 第(3)问若可导函数 在指定的区间 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为 (或 )恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．‎ ‎18. 已知椭圆上的点到它的两个焦的距离之和为，以椭圆的短轴为直径的圆经过这两个焦点，点，分别是椭圆的左、右顶点．‎ ‎（）求圆和椭圆的方程．‎ ‎（）已知，分别是椭圆和圆上的动点（，位于轴两侧），且直线与轴平行，直线，分别与轴交于点，．求证：为定值．‎ ‎【答案】（）；；（）见解析．‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）根据椭圆定义知，又，因此易求得，得椭圆方程，从而也得到圆的方程；‎ ‎（2）设出，，分别代入椭圆方程和圆的方程得到两个关系式，写出直线AP的方程，求出M点坐标，同理写出BP方程，求出N点坐标，再求得向量，并计算数量积，结果为0，可得．‎ 试题解析：‎ ‎（）依题意，得，，‎ ‎∴圆方程，椭圆方程．‎ ‎（）设，，‎ ‎∴，，，‎ ‎∵方程，令时，，‎ 方程为，令得，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 点睛：“设而不求”是解题过程中根据需要设邮变量，但并不直接求出其具体值，而是利用某种关系（如和、差、积）来表示变量之间的联系，在解决圆锥曲线的有关问题时能够达到种“化难为易、化繁为简”的效果，在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，步骤一般如下：‎ ‎（1）设直线方程与椭圆为的两个交点坐标为；‎ ‎（2）联立直线与椭圆的方程组成方程组，消元得一元二次方程；‎ ‎（3）利用韦达定理得，，然后再求弦长以及面积，或求其他量（如本题向量的数量积）．‎