江西省宜春市宜丰中学2019-2020学年高二上学期第三次月考数学（理）试卷 11页

数学试卷（理科）‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．已知点分别是椭圆的左、右焦点,点在此椭圆上,则的周长等于（ ）‎ A．20 B．16 C．18 D．14‎ ‎2．设双曲线 (a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为(　　)‎ A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±x ‎3．“4＜k＜10”是“方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．8‎ ‎*5. 在中，已知，则＝（ ）‎ A. ‎ B. C D. ‎ ‎6．椭圆的左右焦点分别为，点P在椭圆上，轴，且是等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为＝(1，－3，z)，向量 ‎＝(3，－2,1)与平面α平行，则z等于（ ）‎ A．3 B．6 C．－9 D．9‎ ‎8．已知：为抛物线上的任意一点，为抛物线的焦点，点坐标为，则的最小值为（ ）‎ A．4 B．3 C． D．‎ ‎9．已知正三棱柱，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10．焦点在x轴上的椭圆的离心率e=，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则的最大值为（ ）‎ A．4 B．6 C．8 D．10‎ ‎11．已知，是过抛物线（）焦点的直线与抛物线的交点，是坐标原点，且满足，，则抛物线的标准方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．双曲线的右焦点为，为双曲线上的一点，且位于第一象限，直线分别交于曲线于两点(点M在双曲线的左支上)，若为正三角形，则直线的斜率等于（）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知双曲线上一点到左焦点的距离为，则点到右焦点的距离是________.‎ ‎14．已知椭圆，直线与椭圆相交于两点，点是弦的中点，则直线的方程为__________．‎ ‎*15．设，分别为椭圆的左、右焦点.椭圆上存在一点使得，.则该椭圆的离心率为 ‎ ‎16．如图，在直三棱柱中，，，已知和分别为和的中点，和分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段长度的取值范围为______．‎ 三、解答题（70分）‎ ‎*17. （10分）已知，，其中．‎ ‎（1）若，且为真，求的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．‎ ‎18．（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面 ‎,，,是中点.‎ ‎（I）求直线与平面所成的角的正弦值；‎ ‎（II）求点到平面的距离．‎ ‎19．（12分）已知抛物线的准线方程为.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）直线交抛物线于、两点，求弦长.‎ ‎20．（12分）已知椭圆的离心率为，点在上.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）设直线与交于，两点，若，求的值.‎ ‎21．（12分）已知在多面体中，，，，，且平面平面.‎ ‎（1）设点为线段的中点，试证明平面；‎ ‎（2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.‎ ‎22．（12分）已知双曲线的一条渐近线方程为，且顶点到渐近线的距离为.‎ ‎（1）求此双曲线的方程；‎ ‎（2）设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求的面积的取值范围.‎ 参考答案 1． C 2．C 3．B【详解】∵方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，∴，解得：7＜k＜10，故“4＜k＜10”是“方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件，‎ ‎4．D 5. D 6．D【详解】由于轴，且是等腰直角三角形，所以，即，即.两边除以得，解得 ‎7．C【详解】由题意可得，，解得．故选：．‎ ‎8．A【详解】因为抛物线的准线为：；过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，连结，，由抛物线的性质可得：，又，因此.‎ ‎9．C 10．A 【详解】椭圆焦点在x轴，所以，由离心率，所以， 设 则，，则，因为，代入化简得 ‎==，又，当时，的最大值为4．‎ ‎11．A详解：设, ，则，又由抛物线焦点弦性质， ，所以，得， ，‎ 得。 ，‎ 得 ，抛物线的标准方程为，故选A.‎ ‎12．D【详解】记双曲线左焦点为，因为为正三角形，所以，即，，则有，，由双曲线定义可得：，设，，则，所以，两式作差可得，即，即，又，则 故选D ‎13．或 ‎14．【详解】设，因为直线与椭圆相交于两点，‎ 所以有，两式作差得：整理得，‎ 因为点是弦的中点，所以，所以，‎ 所以直线的方程为，整理得 故答案为 ‎15．B【详解】解：由椭圆定义可得，又，解得，，，可得， 即为，化为，可得，，则该椭圆的离心率为．‎ ‎16．【详解】由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，由于，则，所以，所以，‎ 所以，‎ 当时，线段长度的最小值是，当时，线段长度的最大值是1，‎ 而不包括端点，故不能取；故答案为：．‎ ‎17．（1），∴为真命题时实数的取值范围是，，所以同理为真命题时，实数的取值范围是．又为真，则同时为真命题，即的取值范围的交集，为．‎ 即时，且为真，的取值范围是．‎ ‎（2）因为是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件，即 又命题为真命题时，实数的取值范围是，‎ 所以，解得．故实数m的取值范围是．‎ ‎18．因为两两互相垂直，如图所示，建立空间直角坐标系，则，‎ ‎，， ，，；设平面的一个法向量，由可得：，令，则.(I)设所求角为，又 ，则，(II)设点到平面距离为， 则.‎ ‎19．（Ⅰ）依已知得，所以；‎ ‎（Ⅱ）设，，由消去，得，‎ 则，，所以 ‎ ‎ .‎ ‎20．（1）解：由题意得，所以，①，‎ 又点在上，所以②，联立①②，解得，，‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）解：设，的坐标为，，依题意得，‎ 联立方程组消去，得.‎ ‎，，，，‎ ‎，‎ ‎∵，∴，所以，.‎ ‎21．（1）证明：取的中点，连接，，∵在中，∴.‎ ‎∴由平面平面，且交线为得平面.∵，分别为，的中点，∴，且.又，，∴，且.‎ ‎∴四边形为平行四边形.∴，∴平面.‎ ‎（2）∵平面，，∴以为原点，所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.则，，.∵平面，∴直线与平面所成的角为.‎ ‎∴.∴.可取平面的法向量，‎ 设平面的法向量，，，‎ 则，取，则，.∴，‎ ‎∴，∴二面角的余弦值为.‎ ‎22．（1）由双曲线的一条渐近线方程为，且顶点到渐近线的距离为，‎ 可得，解得，故双曲线方程.‎ ‎（2）由（1）知双曲线的渐近线方程，设，，其中，，‎ 由得点P的坐标为，将点P的坐标代入，‎ 整理得，设，则，从而，‎ 又，，∴. ‎