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  • 2021-06-30 发布

数学卷·2018届河南省周口市高二上学期期末数学试卷+(文科)(解析版)

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‎2016-2017学年河南省周口市高二(上)期末数学试卷(文科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1.“x<1”是“lnx<0”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎2.已知向量=(2,4,5),=(3,x,y)分别是直线l1、l2的方向向量,若l1∥l2,则(  )‎ A.x=6,y=15 B.x=3,y= C.x=3,y=15 D.x=6,y=‎ ‎3.已知命题p:“∃x∈R,ex﹣x﹣1≤0”,则命题¬p(  )‎ A.∀x∈R,ex﹣x﹣1>0 B.∀x∉R,ex﹣x﹣1>0‎ C.∀x∈R,ex﹣x﹣1≥0 D.∃x∈R,ex﹣x﹣1>0‎ ‎4.关于x的不等式ax﹣b>0的解集为(﹣∞,1),则不等式>0的解集为(  )‎ A.(﹣1,2) B.(﹣∞,1)∪(1,2) C.(1,2) D.(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,2)‎ ‎5.若△ABC 的三个内角A、B、C满足6sinA=4sinB=3sinC,则△ABC(  )‎ A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 ‎6.一个动点在圆x2+y2=1上移动时,它与定点(3,0)连线中点的轨迹方程是(  )‎ A.(x+3)2+y2=4 B.(X﹣3)2+y2=1 C.(X+)2+y2= D.(2x﹣3)2+4y2=1‎ ‎7.两个等差数列{an}和{bn},其前n项和分别为Sn,Tn,且,则等于(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是(  )‎ A. B. C. D.0‎ ‎9.已知函数f(x)=asin3x+bx3+4(a∈R,b∈R),f′(x)为f(x)的导函数,则f(2014)+f(﹣2014)+f′(2015)﹣f′(﹣2015)=(  )‎ A.8 B.2014 C.2015 D.0‎ ‎10.已知Sn是等比数列{an}的前n项和,,设Tn=a1•a2•a3•…•an,则使得Tn取最小值时,n的值为(  )‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎11.已知椭圆C: =1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF,若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,则C的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.定义在R上的函数f(x)对任意x1、x2(x1≠x2)都有<0,且函数y=f(x﹣1)的图象关于(1,0)成中心对称,若s,t满足不等式f(s2﹣2s)≤﹣f(2t﹣t2),则当1≤s≤4时,的取值范围是(  )‎ A.[﹣3,﹣) B.[﹣3,﹣] C.[﹣5,﹣) D.[﹣5,﹣]‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.函数f(x)=x3+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为   .‎ ‎14.在等比数列{an}中,若a3,a15是方程x2﹣6x+8=0的根,则=  .‎ ‎15.如图所示,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点,从A测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=30°,以及∠MAC=105°,从C测得∠MCA=45°,已知山高BC=150米,则所求山高MN为  .‎ ‎16.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,已知点A,B为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=90°,过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则的最大值为  .‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎17.(10分)已知命题P:函数f(x)为(0,+∞)上单调减函数,实数m满足不等式f(m+1)<f(3﹣2m).命题Q:当x∈[0,],函数m=sin2x﹣2sinx+1+a.若命题P是命题Q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.‎ ‎18.(12分)已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且a=2,cosB=.‎ ‎(Ⅰ)若b=4,求sinA的值;‎ ‎(Ⅱ)若△ABC的面积S=4,求b、c的值.‎ ‎19.(12分)已知等差数列{an}的公差大于0,且a3,a5是方程x2﹣14x+45=0的两根,数列{bn}的前n项的和为Sn,且.‎ ‎(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)记cn=an•bn,求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎20.(12分)已知函数f(x)=,x∈[1,+∞),‎ ‎(1)当a=时,求函数f(x)的最小值;‎ ‎(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围.‎ ‎21.(12分)设函数f(x)=xlnx,(x>0).‎ ‎(1)求函数f(x)的单调区间;‎ ‎(2)设F(x)=ax2+f'(x),(a∈R),F(x)是否存在极值,若存在,请求出极值;若不存在,请说明理由.‎ ‎22.(12分)已知椭圆的离心率为,点在椭圆上.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)直线y=k(x﹣1)(k≠0)与椭圆交于A,B两点,点M是椭圆C的右顶点,直线AM与直线BM分别与轴交于点P,Q,求|OP|•|OQ|的值.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年河南省周口市高二(上)期末数学试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1.“x<1”是“lnx<0”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.‎ ‎【分析】求出不等式的等价条件,根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.‎ ‎【解答】解:由“lnx<0得0<x<1,则“x<1”是“lnx<0”的必要不充分条件,故选:B.‎ ‎【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,求出不等式的等价条件是解决本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎2.已知向量=(2,4,5),=(3,x,y)分别是直线l1、l2的方向向量,若l1∥l2,则(  )‎ A.x=6,y=15 B.x=3,y= C.x=3,y=15 D.x=6,y=‎ ‎【考点】共线向量与共面向量.‎ ‎【分析】由l1∥l2,利用向量共线定理可得:存在非0实数k使得,解出即可.‎ ‎【解答】解:∵l1∥l2,∴存在非0实数k使得,‎ ‎∴,解得,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查了向量共线定理,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎3.已知命题p:“∃x∈R,ex﹣x﹣1≤0”,则命题¬p(  )‎ A.∀x∈R,ex﹣x﹣1>0 B.∀x∉R,ex﹣x﹣1>0‎ C.∀x∈R,ex﹣x﹣1≥0 D.∃x∈R,ex﹣x﹣1>0‎ ‎【考点】特称命题;命题的否定.‎ ‎【分析】利用含逻辑连接词的否定是将存在变为任意,同时将结论否定,可写出命题的否定.‎ ‎【解答】解:∵命题p:“∃x∈R,ex﹣x﹣1≤0”,‎ ‎∴命题¬p:∀x∈R,ex﹣x﹣1>0,‎ 故选:A ‎【点评】题考查特称命题、含逻辑连接词的否定形式,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎4.关于x的不等式ax﹣b>0的解集为(﹣∞,1),则不等式>0的解集为(  )‎ A.(﹣1,2) B.(﹣∞,1)∪(1,2) C.(1,2) D.(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,2)‎ ‎【考点】其他不等式的解法.‎ ‎【分析】由题意可得a<0,且=1,不等式>0即<0,由此求得不等式的解集.‎ ‎【解答】解:∵关于x的不等式ax﹣b>0的解集为(﹣∞,1),∴a<0,且=1.‎ 则不等式>0即<0,解得1<x<2,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题主要考查一次不等式、分式不等式的解法,注意a的符号,体现了转化的数学思想,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎5.若△ABC 的三个内角A、B、C满足6sinA=4sinB=3sinC,则△ABC(  )‎ A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 ‎【考点】三角形的形状判断.‎ ‎【分析】根据题意,结合正弦定理可得a:b:c=4:6:8,再由余弦定理算出最大角C的余弦等于﹣,从而得到△ABC是钝角三角形,得到本题答案.‎ ‎【解答】解:∵角A、B、C满足6sinA=4sinB=3sinC,‎ ‎∴根据正弦定理,得6a=4b=3c,整理得a:b:c=4:6:8‎ 设a=4x,b=6x,c=8x,由余弦定理得:cosC===﹣‎ ‎∵C是三角形内角,得C∈(0,π),‎ ‎∴由cosC=﹣<0,得C为钝角 因此,△ABC是钝角三角形 故选:C ‎【点评】本题给出三角形个角正弦的比值,判断三角形的形状,着重考查了利用正、余弦定理解三角形的知识,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎6.一个动点在圆x2+y2=1上移动时,它与定点(3,0)连线中点的轨迹方程是(  )‎ A.(x+3)2+y2=4 B.(X﹣3)2+y2=1 C.(X+)2+y2= D.(2x﹣3)2+4y2=1‎ ‎【考点】轨迹方程.‎ ‎【分析】根据已知,设出AB中点M的坐标(x,y),根据中点坐标公式求出点A的坐标,根据点A在圆x2+y2=1上,代入圆的方程即可求得中点M的轨迹方程.‎ ‎【解答】解:设中点M(x,y),则动点A(2x﹣3,2y),‎ ‎∵A在圆x2+y2=1上,‎ ‎∴(2x﹣3)2+(2y)2=1,‎ 即(2x﹣3)2+4y2=1.‎ 故选D.‎ ‎【点评】此题是个基础题.考查代入法求轨迹方程和中点坐标公式,体现了数形结合的思想以及分析解决问题的能力.‎ ‎ ‎ ‎7.两个等差数列{an}和{bn},其前n项和分别为Sn,Tn,且,则等于(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】等差数列的性质.‎ ‎【分析】由已知,根据等差数列的性质,把转化为求解.‎ ‎【解答】解:因为: =‎ ‎=‎ ‎===.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用,以及计算能力.‎ ‎ ‎ ‎8.如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是(  )‎ A. B. C. D.0‎ ‎【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离;异面直线及其所成的角.‎ ‎【分析】以DA,DC,DD1所在直线方向x,y,z轴,建立空间直角坐标系,可得和的坐标,进而可得cos<,>,可得答案.‎ ‎【解答】解:以DA,DC,DD1所在直线方向x,y,z轴,建立空间直角坐标系,‎ 则可得A1(1,0,2),E(0,0,1),G(0,2,1),F(1,1,0)‎ ‎∴=(﹣1,0,﹣1),=(1,﹣1,﹣1)‎ 设异面直线A1E与GF所成角的为θ,‎ 则cosθ=|cos<,>|=0,‎ 故选:D ‎【点评】本题考查异面直线所成的角,建立空间直角坐标系是解决问题的关键,属中档题.‎ ‎ ‎ ‎9.已知函数f(x)=asin3x+bx3+4(a∈R,b∈R),f′(x)为f(x)的导函数,则f(2014)+f(﹣2014)+f′(2015)﹣f′(﹣2015)=(  )‎ A.8 B.2014 C.2015 D.0‎ ‎【考点】导数的运算.‎ ‎【分析】观察已知解析式f(x)=asin3x+bx3+4,构造g(x)=f(x)﹣4=asin3x+bx3是奇函数,而它的导数是偶函数,利用奇偶函数的性质解答.‎ ‎【解答】解:由已知,设函数g(x)=f(x)﹣4=asin3x+bx3是奇函数,由g(﹣x)=﹣g(x),∴g(x)为奇函数,‎ f′(x)=3acos3x+3bx2为偶函数,∴f′(﹣x)=f′(x),‎ ‎∴f(2014)+f(﹣2014)+f′(2015)﹣f′(﹣2015)=g(2014)+4+g(﹣2014)+4+f′(2015)﹣f′(2015)=g(2014)﹣g(2014)+f′(2015)﹣f′(2015)+8=8.‎ 故选A.‎ ‎【点评】本题考查了导数的运算以及函数奇偶性的运用,灵活构造函数g(x)是解答本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎10.已知Sn是等比数列{an}的前n项和,,设Tn=a1•a2•a3•…•an,则使得Tn取最小值时,n的值为(  )‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎【考点】等比数列的前n项和.‎ ‎【分析】由9S3=S6,解得q=2.若使Tn=a1a2a3…an取得最小值,则an=•2n﹣1<1,由此能求出使Tn取最小值的n值.‎ ‎【解答】解:∵{an}是等比数列,∴an=a1qn﹣1,‎ S3=a1+a1q+a1q2,‎ S6=a1+a1q+a1q2+a1q3+a1q4+a1q5,‎ 由9S3=S6,解得q=2.‎ 若使Tn=a1a2a3…an取得最小值,‎ 则an<1,‎ ‎∵a1=,∴ •2n﹣1<1,‎ 解得n<6,n∈N*,‎ ‎∴使Tn取最小值的n值为5.‎ 故答案为:5.‎ ‎【点评】本题考查使得等比数列的前n项积Tn取最小值时n的值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合理运用.‎ ‎ ‎ ‎11.已知椭圆C: =1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF,若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=‎ ‎,则C的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】由已知条件,利用余弦定理求出|AF|,设F′为椭圆的右焦点,连接BF′,AF′.根据对称性可得四边形AFBF′是矩形,由此能求出离心率e.‎ ‎【解答】解:如图所示,‎ 在△AFB中,|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,‎ 由余弦定理得 ‎|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB||BF|cos∠ABF ‎=100+64﹣2×10×8×‎ ‎=36,‎ ‎∴|AF|=6,∠BFA=90°,‎ 设F′为椭圆的右焦点,连接BF′,AF′.‎ 根据对称性可得四边形AFBF′是矩形.‎ ‎∴|BF′|=6,|FF′|=10.‎ ‎∴2a=8+6,2c=10,解得a=7,c=5.‎ ‎∴e==.‎ 故选B.‎ ‎【点评】本题考查椭圆的离心率的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意余弦定理、椭圆的对称性等知识点的合理运用.‎ ‎ ‎ ‎12.定义在R上的函数f(x)对任意x1、x2(x1≠x2)都有<0,且函数y=f(x﹣1)的图象关于(1,0)成中心对称,若s,t满足不等式f(s2﹣2s)≤﹣f(2t﹣t2),则当1≤s≤4时,的取值范围是(  )‎ A.[﹣3,﹣) B.[﹣3,﹣] C.[﹣5,﹣) D.[﹣5,﹣]‎ ‎【考点】函数单调性的性质.‎ ‎【分析】根据已知条件便可得到f(x)在R上是减函数,且是奇函数,所以由不等式f(s2﹣2s)≤﹣f(2t﹣t2)便得到,s2﹣2s≥t2﹣2t,将其整理成(s﹣t)(s+t﹣2)≥0,画出不等式组所表示的平面区域.设,所以得到t=,通过图形求关于s的一次函数的斜率范围即可得到z的范围,从而求出的取值范围.‎ ‎【解答】解:由已知条件知f(x)在R上单调递减,且关于原点对称;‎ ‎∴由f(s2﹣2s)≤﹣f(2t﹣t2)得:‎ s2﹣2s≥t2﹣2t;‎ ‎∴(s﹣t)(s+t﹣2)≥0;‎ 以s为横坐标,t为纵坐标建立平面直角坐标系;‎ 不等式组所表示的平面区域,如图所示:‎ 即△ABC及其内部,C(4,﹣2);‎ 设,整理成:;‎ ‎;‎ ‎∴,解得:;‎ ‎∴的取值范围是[].‎ 故选:D.‎ ‎【点评】考查减函数的定义,图象的平移,奇函数的定义,以及二元一次不等式组表示平面区域,线性规划的概念,及其应用,过原点的一次函数的斜率的求解.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.函数f(x)=x3+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为   .‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;直线的截距式方程.‎ ‎【分析】欲求在点x=1处的切线方程,只须求出其斜率的值即可,故先利用导数求出在x=1处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率得到直线方程,最后令即可求得在x轴上的截距.从而问题解决.‎ ‎【解答】解:∵f(x)=x3+4x+5,‎ ‎∴f'(x)=3x2+4,当x=1时,y'=7得切线的斜率为7,所以k=7;‎ 所以曲线在点(1,10)处的切线方程为:‎ y﹣10=7×(x﹣1),令y=0得x=.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本小题主要考查直线的斜率、直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识,考查运算求解能力.属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎14.在等比数列{an}中,若a3,a15是方程x2﹣6x+8=0的根,则= 2 .‎ ‎【考点】等比数列的通项公式.‎ ‎【分析】由韦达定理得a3a15=8,由等比数列通项公式性质得: =8,由此能求出的值.‎ ‎【解答】解:∵在等比数列{an}中,a3,a15是方程x2﹣6x+8=0的根,‎ ‎∴a3a15=8,‎ 解方程x2﹣6x+8=0,得或,‎ ‎∴a9>0,‎ 由等比数列通项公式性质得: =8,‎ ‎∴=a9=.‎ 故答案为:2.‎ ‎【点评】本题考查等比数列中两项积与另一项的比值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合理运用.‎ ‎ ‎ ‎15.如图所示,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点,从A测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=30°,以及∠MAC=105°,从C测得∠MCA=45°,已知山高BC=150米,则所求山高MN为 150m .‎ ‎【考点】解三角形的实际应用.‎ ‎【分析】由题意,通过解△ABC可先求出AC的值,解△AMC,由正弦定理可求AM的值,在RT△MNA中,AM=300m,∠MAN=60°,从而可求得MN的值.‎ ‎【解答】解:在RT△ABC中,∠CAB=30°,BC=150m,所以AC=300m.‎ 在△AMC中,∠MAC=105°,∠MCA=45°,从而∠AMC=30°,‎ 由正弦定理得,AM==300m.‎ 在RT△MNA中,AM=300m,∠MAN=60°,‎ 得MN=300×=150m.‎ 故答案为150m.‎ ‎【点评】本题主要考察了正弦定理的应用,考察了解三角形的实际应用,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎16.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,已知点A,B为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=90°,过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则的最大值为  .‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】设|AF|=a,|BF|=b,连接AF、BF.由抛物线定义得2||=a+b,由余弦定理可得||2=(a+b)2﹣3ab,进而根据基本不等式,求得||的取值范围,从而得到本题答案 ‎【解答】解:设|AF|=a,|BF|=b,‎ 由抛物线定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|‎ 在梯形ABPQ中,∴2||=|AQ|+|BP|=a+b.‎ 由余弦定理得,‎ ‎||2=a2+b2﹣2abcos90°=a2+b2,‎ 配方得,||2=(a+b)2﹣2ab,‎ 又∵ab≤() 2,‎ ‎∴(a+b)2﹣2ab≥(a+b)2﹣(a+b)2=(a+b)2‎ 得到||≥(a+b).‎ ‎∴≤,即的最大值为.‎ 故答案为:‎ ‎【点评】本题在抛物线中,利用定义和余弦定理求的最大值,着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识,属于中档题.‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎17.(10分)(2016秋•周口期末)已知命题P:函数f(x)为(0,+∞)上单调减函数,实数m满足不等式f(m+1)<f(3﹣2m).命题Q:当x∈[0,],函数m=sin2x﹣2sinx+1+a.若命题P是命题Q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.‎ ‎【分析】先根据已知条件求出命题P,Q下的m的取值范围:m,根据命题P是Q的充分不必要条件得到,从而求得a的取值范围.‎ ‎【解答】解:命题P:根据已知条件得:,解得,即m;‎ 命题Q:x,∴sinx∈[0,1],m=sin2x﹣2sinx+1+a=(sinx﹣1)2+a;‎ ‎∴当sinx=1时,m取最小值a,当sinx=0时,m取最大值1+a,所以m∈[a,1+a];‎ ‎∵命题P是Q的充分不必要条件,所以;‎ ‎∴,解得;‎ ‎∴.‎ ‎【点评】考查根据函数的单调性解不等式,配方法求二次函数的值域,子集的概念.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)(2009•广州一模)已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且a=2,cosB=.‎ ‎(Ⅰ)若b=4,求sinA的值;‎ ‎(Ⅱ)若△ABC的面积S=4,求b、c的值.‎ ‎【考点】正弦定理;余弦定理.‎ ‎【分析】本题考查的知识点是正弦定理与余弦定理,‎ ‎(1)由,我们易求出B的正弦值,再结合a=2,b=4,由正弦定理易求sinA的值;‎ ‎(2)由△ABC的面积S=4,我们可以求出c值,再由余弦定理可求出b值.‎ ‎【解答】解:(I)∵(2分)‎ 由正弦定理得.‎ ‎∴.‎ ‎(II)∵,‎ ‎∴.‎ ‎∴c=5(7分)‎ 由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB,‎ ‎∴(10分)‎ ‎【点评】在解三角形时,正弦定理和余弦定理是最常用的方法,正弦定理多用于边角互化,使用时要注意一般是等式两边是关于三边的齐次式.而余弦定理在使用时一般要求两边有平方和的形式.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)(2016•广元二模)已知等差数列{an}的公差大于0,且a3,a5是方程x2﹣14x+45=0的两根,数列{bn}的前n项的和为Sn,且.‎ ‎(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)记cn=an•bn,求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎【考点】数列的求和;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由已知可得,且a5>a3,联立方程解得a5,a3,进一步求出数列{an}通项,数列{bn}中,利用递推公式 ‎(Ⅱ)用错位相减求数列{cn}的前n和 ‎【解答】解:(Ⅰ)∵a3,a5是方程x2﹣14x+45=0的两根,且数列{an}的公差d>0,‎ ‎∴a3=5,a5=9,公差.‎ ‎∴an=a5+(n﹣5)d=2n﹣1.(3分)‎ 又当n=1时,有 ‎∴‎ 当,∴.‎ ‎∴数列{bn}是首项,公比等比数列,‎ ‎∴.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,则(1)‎ ‎∴=(2)(10分)‎ ‎(1)﹣(2)得: =‎ 化简得:(12分)‎ ‎【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式的求解,利用递推公式求通项,体现了数学中的转化思想;一般的,若数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,求数列{an•bn}的前n和可采用错位相减法.‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)(2000•上海)已知函数f(x)=,x∈[1,+∞),‎ ‎(1)当a=时,求函数f(x)的最小值;‎ ‎(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围.‎ ‎【考点】函数恒成立问题;函数的最值及其几何意义.‎ ‎【分析】(1)a=时,函数为,f在[1,+∞)上为增函数,故可求得函数f(x)的最小值 ‎(2)问题等价于f(x)=x2+2x+a>0,在[1,+∞)上恒成立,利用分类参数法,通过求函数的最值,从而可确定a的取值范围 ‎【解答】解:(1)因为,f(x)在[1,+∞)上为增函数,‎ 所以f(x)在[1,+∞)上的最小值为f(1)=.…‎ ‎(2)问题等价于f(x)=x2+2x+a>0,在[1,+∞)上恒成立.‎ 即a>﹣(x+1)2+1在[1,+∞)上恒成立.‎ ‎ 令g(x)=﹣(x+1)2+1,则g(x)在[1,+∞)上递减,当x=1时,g(x)max=﹣3,所以a>﹣3,‎ 即实数a的取值范围是(﹣3,+∞).…‎ ‎【点评】本题以函数为载体,考查对勾函数门课程二次函数的最值,考查恒成立问题的处理,注意解题策略.‎ ‎ ‎ ‎21.(12分)(2016秋•周口期末)设函数f(x)=xlnx,(x>0).‎ ‎(1)求函数f(x)的单调区间;‎ ‎(2)设F(x)=ax2+f'(x),(a∈R),F(x)是否存在极值,若存在,请求出极值;若不存在,请说明理由.‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值.‎ ‎【分析】(1)求导函数f′(x),解不等式f′(x)>0得出增区间,解不等式f′(x)<0得出减区间;‎ ‎(2)求F′(x),讨论F′(x)=0的解的情况及F(x)的单调性得出结论.‎ ‎【解答】解:(1)函数的定义域为(0,+∞)‎ 求导函数,可得f′(x)=1+lnx 令f′(x)=1+lnx=0,可得x=,‎ ‎∴0<x<时,f′(x)<0,x>时,f′(x)>0‎ ‎∴函数f(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)单调递增,‎ ‎(2)∴F(x)=ax2+f′(x)(x>0),‎ ‎∴F′(x)=2ax+=(x>0).‎ 当a≥0时,F′(x)>0恒成立,∴F(x)在(0,+∞)上为增函数,‎ ‎∴F(x)在(0,+∞)上无极值.‎ 当a<0时,令F′(x)=0得x=或x=﹣(舍).‎ ‎∴当0<x<时,F′(x)>0,当x>时,F′(x)<0,‎ ‎∴F(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减,‎ ‎∴当x=时,F(x)取得极大值F()=+ln,无极小值,‎ 综上:当a≥0时,F(x)无极值,‎ 当a<0时,F(x)有极大值+ln,无极小值.‎ ‎【点评】本题考查函数的导数的应用,函数的导数的最值的应用,考查分析问题解决问题的能力,分类讨论思想,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎22.(12分)(2016秋•周口期末)已知椭圆的离心率为,点在椭圆上.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)直线y=k(x﹣1)(k≠0)与椭圆交于A,B两点,点M是椭圆C的右顶点,直线AM与直线BM分别与轴交于点P,Q,求|OP|•|OQ|的值.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】(1)由题意得,又因为点在椭圆上,得a,b,c,即可得椭圆C的标准方程可.‎ ‎(2)由,设A(x1,y1),B(x2,y2),有x1+x2=,x1x2=,‎ AM的方程可表示为:y=,令x=0,得|OP|=||.同理得:|OQ|=||.‎ 故|OP|•|OQ|=||•||=||即可.‎ ‎【解答】解:(1)由题意得,又因为点在椭圆上,得,‎ 又a 2=b2+c 2,解得a=2,b=1,c=,‎ 椭圆C的标准方程:.‎ ‎(2)由,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),有x1+x2=,x1x2=,‎ 又∵点M是椭圆C的右顶点,∴M(2,0),‎ AM的方程可表示为:y=,令x=0,得|OP|=||.‎ ‎ 同理得:|OQ|=||.‎ 故|OP|•|OQ|=||•||=||即.‎ 而(x1﹣2)(x2﹣2)=x1x2﹣2(x1+x2)+4=.‎ y1y2=k(x1﹣1)•k(x2﹣1)=.‎ 所以|OP|•|OQ|=3‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的方程,及椭圆与直线的位置关系,属于中档题.‎ ‎ ‎