数学卷·2018届河南省周口市高二上学期期末数学试卷+（文科）（解析版） 22页

‎2016-2017学年河南省周口市高二（上）期末数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1．“x＜1”是“lnx＜0”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2．已知向量=（2，4，5），=（3，x，y）分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则（　　）‎ A．x=6，y=15 B．x=3，y= C．x=3，y=15 D．x=6，y=‎ ‎3．已知命题p：“∃x∈R，ex﹣x﹣1≤0”，则命题￢p（　　）‎ A．∀x∈R，ex﹣x﹣1＞0 B．∀x∉R，ex﹣x﹣1＞0‎ C．∀x∈R，ex﹣x﹣1≥0 D．∃x∈R，ex﹣x﹣1＞0‎ ‎4．关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为（﹣∞，1），则不等式＞0的解集为（　　）‎ A．（﹣1，2） B．（﹣∞，1）∪（1，2） C．（1，2） D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2）‎ ‎5．若△ABC 的三个内角A、B、C满足6sinA=4sinB=3sinC，则△ABC（　　）‎ A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 ‎6．一个动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点（3，0）连线中点的轨迹方程是（　　）‎ A．（x+3）2+y2=4 B．（X﹣3）2+y2=1 C．（X+）2+y2= D．（2x﹣3）2+4y2=1‎ ‎7．两个等差数列{an}和{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，且，则等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（　　）‎ A． B． C． D．0‎ ‎9．已知函数f（x）=asin3x+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）=（　　）‎ A．8 B．2014 C．2015 D．0‎ ‎10．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，，设Tn=a1•a2•a3•…•an，则使得Tn取最小值时，n的值为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎11．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，则C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．定义在R上的函数f（x）对任意x1、x2（x1≠x2）都有＜0，且函数y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣t2），则当1≤s≤4时，的取值范围是（　　）‎ A．[﹣3，﹣） B．[﹣3，﹣] C．[﹣5，﹣） D．[﹣5，﹣]‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．函数f（x）=x3+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为 　　．‎ ‎14．在等比数列{an}中，若a3，a15是方程x2﹣6x+8=0的根，则=　　．‎ ‎15．如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=30°，以及∠MAC=105°，从C测得∠MCA=45°，已知山高BC=150米，则所求山高MN为　　．‎ ‎16．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=90°，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎17．（10分）已知命题P：函数f（x）为（0，+∞）上单调减函数，实数m满足不等式f（m+1）＜f（3﹣2m）．命题Q：当x∈[0，]，函数m=sin2x﹣2sinx+1+a．若命题P是命题Q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎18．（12分）已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a=2，cosB=．‎ ‎（Ⅰ）若b=4，求sinA的值；‎ ‎（Ⅱ）若△ABC的面积S=4，求b、c的值．‎ ‎19．（12分）已知等差数列{an}的公差大于0，且a3，a5是方程x2﹣14x+45=0的两根，数列{bn}的前n项的和为Sn，且．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎20．（12分）已知函数f（x）=，x∈[1，+∞），‎ ‎（1）当a=时，求函数f（x）的最小值；‎ ‎（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．‎ ‎21．（12分）设函数f（x）=xlnx，（x＞0）．‎ ‎（1）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）设F（x）=ax2+f'（x），（a∈R），F（x）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由．‎ ‎22．（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）直线y=k（x﹣1）（k≠0）与椭圆交于A，B两点，点M是椭圆C的右顶点，直线AM与直线BM分别与轴交于点P，Q，求|OP|•|OQ|的值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河南省周口市高二（上）期末数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1．“x＜1”是“lnx＜0”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】求出不等式的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【解答】解：由“lnx＜0得0＜x＜1，则“x＜1”是“lnx＜0”的必要不充分条件，故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，求出不等式的等价条件是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．已知向量=（2，4，5），=（3，x，y）分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则（　　）‎ A．x=6，y=15 B．x=3，y= C．x=3，y=15 D．x=6，y=‎ ‎【考点】共线向量与共面向量．‎ ‎【分析】由l1∥l2，利用向量共线定理可得：存在非0实数k使得，解出即可．‎ ‎【解答】解：∵l1∥l2，∴存在非0实数k使得，‎ ‎∴，解得，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了向量共线定理，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．已知命题p：“∃x∈R，ex﹣x﹣1≤0”，则命题￢p（　　）‎ A．∀x∈R，ex﹣x﹣1＞0 B．∀x∉R，ex﹣x﹣1＞0‎ C．∀x∈R，ex﹣x﹣1≥0 D．∃x∈R，ex﹣x﹣1＞0‎ ‎【考点】特称命题；命题的否定．‎ ‎【分析】利用含逻辑连接词的否定是将存在变为任意，同时将结论否定，可写出命题的否定．‎ ‎【解答】解：∵命题p：“∃x∈R，ex﹣x﹣1≤0”，‎ ‎∴命题￢p：∀x∈R，ex﹣x﹣1＞0，‎ 故选：A ‎【点评】题考查特称命题、含逻辑连接词的否定形式，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为（﹣∞，1），则不等式＞0的解集为（　　）‎ A．（﹣1，2） B．（﹣∞，1）∪（1，2） C．（1，2） D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2）‎ ‎【考点】其他不等式的解法．‎ ‎【分析】由题意可得a＜0，且=1，不等式＞0即＜0，由此求得不等式的解集．‎ ‎【解答】解：∵关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为（﹣∞，1），∴a＜0，且=1．‎ 则不等式＞0即＜0，解得1＜x＜2，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查一次不等式、分式不等式的解法，注意a的符号，体现了转化的数学思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎5．若△ABC 的三个内角A、B、C满足6sinA=4sinB=3sinC，则△ABC（　　）‎ A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 ‎【考点】三角形的形状判断．‎ ‎【分析】根据题意，结合正弦定理可得a：b：c=4：6：8，再由余弦定理算出最大角C的余弦等于﹣，从而得到△ABC是钝角三角形，得到本题答案．‎ ‎【解答】解：∵角A、B、C满足6sinA=4sinB=3sinC，‎ ‎∴根据正弦定理，得6a=4b=3c，整理得a：b：c=4：6：8‎ 设a=4x，b=6x，c=8x，由余弦定理得：cosC===﹣‎ ‎∵C是三角形内角，得C∈（0，π），‎ ‎∴由cosC=﹣＜0，得C为钝角 因此，△ABC是钝角三角形 故选：C ‎【点评】本题给出三角形个角正弦的比值，判断三角形的形状，着重考查了利用正、余弦定理解三角形的知识，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．一个动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点（3，0）连线中点的轨迹方程是（　　）‎ A．（x+3）2+y2=4 B．（X﹣3）2+y2=1 C．（X+）2+y2= D．（2x﹣3）2+4y2=1‎ ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】根据已知，设出AB中点M的坐标（x，y），根据中点坐标公式求出点A的坐标，根据点A在圆x2+y2=1上，代入圆的方程即可求得中点M的轨迹方程．‎ ‎【解答】解：设中点M（x，y），则动点A（2x﹣3，2y），‎ ‎∵A在圆x2+y2=1上，‎ ‎∴（2x﹣3）2+（2y）2=1，‎ 即（2x﹣3）2+4y2=1．‎ 故选D．‎ ‎【点评】此题是个基础题．考查代入法求轨迹方程和中点坐标公式，体现了数形结合的思想以及分析解决问题的能力．‎ ‎　‎ ‎7．两个等差数列{an}和{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，且，则等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】由已知，根据等差数列的性质，把转化为求解．‎ ‎【解答】解：因为： =‎ ‎=‎ ‎===．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用，以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎8．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（　　）‎ A． B． C． D．0‎ ‎【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离；异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】以DA，DC，DD1所在直线方向x，y，z轴，建立空间直角坐标系，可得和的坐标，进而可得cos＜，＞，可得答案．‎ ‎【解答】解：以DA，DC，DD1所在直线方向x，y，z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则可得A1（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（1，1，0）‎ ‎∴=（﹣1，0，﹣1），=（1，﹣1，﹣1）‎ 设异面直线A1E与GF所成角的为θ，‎ 则cosθ=|cos＜，＞|=0，‎ 故选：D ‎【点评】本题考查异面直线所成的角，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题．‎ ‎　‎ ‎9．已知函数f（x）=asin3x+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）=（　　）‎ A．8 B．2014 C．2015 D．0‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】观察已知解析式f（x）=asin3x+bx3+4，构造g（x）=f（x）﹣4=asin3x+bx3是奇函数，而它的导数是偶函数，利用奇偶函数的性质解答．‎ ‎【解答】解：由已知，设函数g（x）=f（x）﹣4=asin3x+bx3是奇函数，由g（﹣x）=﹣g（x），∴g（x）为奇函数，‎ f′（x）=3acos3x+3bx2为偶函数，∴f′（﹣x）=f′（x），‎ ‎∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）=g（2014）+4+g（﹣2014）+4+f′（2015）﹣f′（2015）=g（2014）﹣g（2014）+f′（2015）﹣f′（2015）+8=8．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了导数的运算以及函数奇偶性的运用，灵活构造函数g（x）是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，，设Tn=a1•a2•a3•…•an，则使得Tn取最小值时，n的值为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】由9S3=S6，解得q=2．若使Tn=a1a2a3…an取得最小值，则an=•2n﹣1＜1，由此能求出使Tn取最小值的n值．‎ ‎【解答】解：∵{an}是等比数列，∴an=a1qn﹣1，‎ S3=a1+a1q+a1q2，‎ S6=a1+a1q+a1q2+a1q3+a1q4+a1q5，‎ 由9S3=S6，解得q=2．‎ 若使Tn=a1a2a3…an取得最小值，‎ 则an＜1，‎ ‎∵a1=，∴ •2n﹣1＜1，‎ 解得n＜6，n∈N*，‎ ‎∴使Tn取最小值的n值为5．‎ 故答案为：5．‎ ‎【点评】本题考查使得等比数列的前n项积Tn取最小值时n的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎11．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=‎ ‎，则C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由已知条件，利用余弦定理求出|AF|，设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形，由此能求出离心率e．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ 在△AFB中，|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，‎ 由余弦定理得 ‎|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB||BF|cos∠ABF ‎=100+64﹣2×10×8×‎ ‎=36，‎ ‎∴|AF|=6，∠BFA=90°，‎ 设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．‎ 根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．‎ ‎∴|BF′|=6，|FF′|=10．‎ ‎∴2a=8+6，2c=10，解得a=7，c=5．‎ ‎∴e==．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理、椭圆的对称性等知识点的合理运用．‎ ‎　‎ ‎12．定义在R上的函数f（x）对任意x1、x2（x1≠x2）都有＜0，且函数y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣t2），则当1≤s≤4时，的取值范围是（　　）‎ A．[﹣3，﹣） B．[﹣3，﹣] C．[﹣5，﹣） D．[﹣5，﹣]‎ ‎【考点】函数单调性的性质．‎ ‎【分析】根据已知条件便可得到f（x）在R上是减函数，且是奇函数，所以由不等式f（s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣t2）便得到，s2﹣2s≥t2﹣2t，将其整理成（s﹣t）（s+t﹣2）≥0，画出不等式组所表示的平面区域．设，所以得到t=，通过图形求关于s的一次函数的斜率范围即可得到z的范围，从而求出的取值范围．‎ ‎【解答】解：由已知条件知f（x）在R上单调递减，且关于原点对称；‎ ‎∴由f（s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣t2）得：‎ s2﹣2s≥t2﹣2t；‎ ‎∴（s﹣t）（s+t﹣2）≥0；‎ 以s为横坐标，t为纵坐标建立平面直角坐标系；‎ 不等式组所表示的平面区域，如图所示：‎ 即△ABC及其内部，C（4，﹣2）；‎ 设，整理成：；‎ ‎；‎ ‎∴，解得：；‎ ‎∴的取值范围是[]．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】考查减函数的定义，图象的平移，奇函数的定义，以及二元一次不等式组表示平面区域，线性规划的概念，及其应用，过原点的一次函数的斜率的求解．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．函数f（x）=x3+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为 　　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的截距式方程．‎ ‎【分析】欲求在点x=1处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率得到直线方程，最后令即可求得在x轴上的截距．从而问题解决．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=x3+4x+5，‎ ‎∴f'（x）=3x2+4，当x=1时，y'=7得切线的斜率为7，所以k=7；‎ 所以曲线在点（1，10）处的切线方程为：‎ y﹣10=7×（x﹣1），令y=0得x=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本小题主要考查直线的斜率、直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．在等比数列{an}中，若a3，a15是方程x2﹣6x+8=0的根，则=　2　．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】由韦达定理得a3a15=8，由等比数列通项公式性质得： =8，由此能求出的值．‎ ‎【解答】解：∵在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2﹣6x+8=0的根，‎ ‎∴a3a15=8，‎ 解方程x2﹣6x+8=0，得或，‎ ‎∴a9＞0，‎ 由等比数列通项公式性质得： =8，‎ ‎∴=a9=．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查等比数列中两项积与另一项的比值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎15．如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=30°，以及∠MAC=105°，从C测得∠MCA=45°，已知山高BC=150米，则所求山高MN为　150m　．‎ ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【分析】由题意，通过解△ABC可先求出AC的值，解△AMC，由正弦定理可求AM的值，在RT△MNA中，AM=300m，∠MAN=60°，从而可求得MN的值．‎ ‎【解答】解：在RT△ABC中，∠CAB=30°，BC=150m，所以AC=300m．‎ 在△AMC中，∠MAC=105°，∠MCA=45°，从而∠AMC=30°，‎ 由正弦定理得，AM==300m．‎ 在RT△MNA中，AM=300m，∠MAN=60°，‎ 得MN=300×=150m．‎ 故答案为150m．‎ ‎【点评】本题主要考察了正弦定理的应用，考察了解三角形的实际应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=90°，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为　　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2||=a+b，由余弦定理可得||2=（a+b）2﹣3ab，进而根据基本不等式，求得||的取值范围，从而得到本题答案 ‎【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，‎ 由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|‎ 在梯形ABPQ中，∴2||=|AQ|+|BP|=a+b．‎ 由余弦定理得，‎ ‎||2=a2+b2﹣2abcos90°=a2+b2，‎ 配方得，||2=（a+b）2﹣2ab，‎ 又∵ab≤（） 2，‎ ‎∴（a+b）2﹣2ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2‎ 得到||≥（a+b）．‎ ‎∴≤，即的最大值为．‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎17．（10分）（2016秋•周口期末）已知命题P：函数f（x）为（0，+∞）上单调减函数，实数m满足不等式f（m+1）＜f（3﹣2m）．命题Q：当x∈[0，]，函数m=sin2x﹣2sinx+1+a．若命题P是命题Q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】先根据已知条件求出命题P，Q下的m的取值范围：m，根据命题P是Q的充分不必要条件得到，从而求得a的取值范围．‎ ‎【解答】解：命题P：根据已知条件得：，解得，即m；‎ 命题Q：x，∴sinx∈[0，1]，m=sin2x﹣2sinx+1+a=（sinx﹣1）2+a；‎ ‎∴当sinx=1时，m取最小值a，当sinx=0时，m取最大值1+a，所以m∈[a，1+a]；‎ ‎∵命题P是Q的充分不必要条件，所以；‎ ‎∴，解得；‎ ‎∴．‎ ‎【点评】考查根据函数的单调性解不等式，配方法求二次函数的值域，子集的概念．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2009•广州一模）已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a=2，cosB=．‎ ‎（Ⅰ）若b=4，求sinA的值；‎ ‎（Ⅱ）若△ABC的面积S=4，求b、c的值．‎ ‎【考点】正弦定理；余弦定理．‎ ‎【分析】本题考查的知识点是正弦定理与余弦定理，‎ ‎（1）由，我们易求出B的正弦值，再结合a=2，b=4，由正弦定理易求sinA的值；‎ ‎（2）由△ABC的面积S=4，我们可以求出c值，再由余弦定理可求出b值．‎ ‎【解答】解：（I）∵（2分）‎ 由正弦定理得．‎ ‎∴．‎ ‎（II）∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴c=5（7分）‎ 由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，‎ ‎∴（10分）‎ ‎【点评】在解三角形时，正弦定理和余弦定理是最常用的方法，正弦定理多用于边角互化，使用时要注意一般是等式两边是关于三边的齐次式．而余弦定理在使用时一般要求两边有平方和的形式．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016•广元二模）已知等差数列{an}的公差大于0，且a3，a5是方程x2﹣14x+45=0的两根，数列{bn}的前n项的和为Sn，且．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由已知可得，且a5＞a3，联立方程解得a5，a3，进一步求出数列{an}通项，数列{bn}中，利用递推公式 ‎（Ⅱ）用错位相减求数列{cn}的前n和 ‎【解答】解：（Ⅰ）∵a3，a5是方程x2﹣14x+45=0的两根，且数列{an}的公差d＞0，‎ ‎∴a3=5，a5=9，公差．‎ ‎∴an=a5+（n﹣5）d=2n﹣1．（3分）‎ 又当n=1时，有 ‎∴‎ 当，∴．‎ ‎∴数列{bn}是首项，公比等比数列，‎ ‎∴．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则（1）‎ ‎∴=（2）（10分）‎ ‎（1）﹣（2）得： =‎ 化简得：（12分）‎ ‎【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式的求解，利用递推公式求通项，体现了数学中的转化思想；一般的，若数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，求数列{an•bn}的前n和可采用错位相减法．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2000•上海）已知函数f（x）=，x∈[1，+∞），‎ ‎（1）当a=时，求函数f（x）的最小值；‎ ‎（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】函数恒成立问题；函数的最值及其几何意义．‎ ‎【分析】（1）a=时，函数为，f在[1，+∞）上为增函数，故可求得函数f（x）的最小值 ‎（2）问题等价于f（x）=x2+2x+a＞0，在[1，+∞）上恒成立，利用分类参数法，通过求函数的最值，从而可确定a的取值范围 ‎【解答】解：（1）因为，f（x）在[1，+∞）上为增函数，‎ 所以f（x）在[1，+∞）上的最小值为f（1）=．…‎ ‎（2）问题等价于f（x）=x2+2x+a＞0，在[1，+∞）上恒成立．‎ 即a＞﹣（x+1）2+1在[1，+∞）上恒成立．‎ ‎ 令g（x）=﹣（x+1）2+1，则g（x）在[1，+∞）上递减，当x=1时，g（x）max=﹣3，所以a＞﹣3，‎ 即实数a的取值范围是（﹣3，+∞）．…‎ ‎【点评】本题以函数为载体，考查对勾函数门课程二次函数的最值，考查恒成立问题的处理，注意解题策略．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2016秋•周口期末）设函数f（x）=xlnx，（x＞0）．‎ ‎（1）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）设F（x）=ax2+f'（x），（a∈R），F（x）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】（1）求导函数f′（x），解不等式f′（x）＞0得出增区间，解不等式f′（x）＜0得出减区间；‎ ‎（2）求F′（x），讨论F′（x）=0的解的情况及F（x）的单调性得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞）‎ 求导函数，可得f′（x）=1+lnx 令f′（x）=1+lnx=0，可得x=，‎ ‎∴0＜x＜时，f′（x）＜0，x＞时，f′（x）＞0‎ ‎∴函数f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）单调递增，‎ ‎（2）∴F（x）=ax2+f′（x）（x＞0），‎ ‎∴F′（x）=2ax+=（x＞0）．‎ 当a≥0时，F′（x）＞0恒成立，∴F（x）在（0，+∞）上为增函数，‎ ‎∴F（x）在（0，+∞）上无极值．‎ 当a＜0时，令F′（x）=0得x=或x=﹣（舍）．‎ ‎∴当0＜x＜时，F′（x）＞0，当x＞时，F′（x）＜0，‎ ‎∴F（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，‎ ‎∴当x=时，F（x）取得极大值F（）=+ln，无极小值，‎ 综上：当a≥0时，F（x）无极值，‎ 当a＜0时，F（x）有极大值+ln，无极小值．‎ ‎【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的导数的最值的应用，考查分析问题解决问题的能力，分类讨论思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2016秋•周口期末）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）直线y=k（x﹣1）（k≠0）与椭圆交于A，B两点，点M是椭圆C的右顶点，直线AM与直线BM分别与轴交于点P，Q，求|OP|•|OQ|的值．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由题意得，又因为点在椭圆上，得a，b，c，即可得椭圆C的标准方程可．‎ ‎（2）由，设A（x1，y1），B（x2，y2），有x1+x2=，x1x2=，‎ AM的方程可表示为：y=，令x=0，得|OP|=||．同理得：|OQ|=||．‎ 故|OP|•|OQ|=||•||=||即可．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得，又因为点在椭圆上，得，‎ 又a 2=b2+c 2，解得a=2，b=1，c=，‎ 椭圆C的标准方程：．‎ ‎（2）由，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），有x1+x2=，x1x2=，‎ 又∵点M是椭圆C的右顶点，∴M（2，0），‎ AM的方程可表示为：y=，令x=0，得|OP|=||．‎ ‎ 同理得：|OQ|=||．‎ 故|OP|•|OQ|=||•||=||即．‎ 而（x1﹣2）（x2﹣2）=x1x2﹣2（x1+x2）+4=．‎ y1y2=k（x1﹣1）•k（x2﹣1）=．‎ 所以|OP|•|OQ|=3‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的方程，及椭圆与直线的位置关系，属于中档题．‎ ‎　‎