【数学】2020年高考真题——全国Ⅲ卷（理）(精校版) 12页

‎2020年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则中元素的个数为（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 6‎ ‎【答案】C ‎2.复数的虚部是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎4.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3）‎ A. 60 B. 63 C. 66 D. 69‎ ‎【答案】C ‎5.设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y2=2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C 的焦点坐标为（ ）‎ A. （，0） B. （，0） C. （1，0） D. （2，0）‎ ‎【答案】B ‎6.已知向量a，b满足，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎7.在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎8.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）‎ A. 6+4 B. 4+4 C. 6+2 D. 4+2‎ ‎【答案】C ‎9.已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（ ）‎ A. –2 B. –1 C. 1 D. 2‎ ‎【答案】D ‎10.若直线l与曲线y=和圆x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）‎ A. y=2x+1 B. y=2x+ ‎ C. y=x+1 D. y=x+‎ ‎【答案】D ‎11.设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 4 D. 8‎ ‎【答案】A ‎12.已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）‎ A. a400‎ 空气质量好 空气质量不好 附：，‎ P(K2≥k)‎ ‎0.050 ‎ ‎0.010 ‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为的概率为，等级为的概率为，等级为的概率为，等级为的概率为；‎ ‎（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为 ‎（3）列联表如下：‎ 人次 人次 空气质量不好 空气质量好 ‎，‎ 因此，有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.‎ ‎19.如图，在长方体中，点分别在棱上，且，‎ ‎．‎ ‎（1）证明：点在平面内；‎ ‎（2）若，，，求二面角的正弦值．‎ ‎【解】（1）在棱上取点，使得，连接、、、，‎ 在长方体中，且，且，‎ ‎，，且，‎ 所以，四边形为平行四边形，则且，‎ 同理可证四边形为平行四边形，且，‎ 且，则四边形为平行四边形，‎ 因此，点在平面内；‎ ‎（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，‎ 则、、、，‎ ‎，，，，‎ 设平面的法向量为，‎ 由，得取，得，则，‎ 设平面的法向量为，‎ 由，得，取，得，，‎ 则，，‎ 设二面角的平面角为，则，.‎ 因此，二面角的正弦值为.‎ ‎20.已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积．‎ ‎【解】（1）‎ ‎，，‎ 根据离心率，‎ 解得或(舍)，‎ 的方程为：，‎ 即；‎ ‎（2）点在上，点在直线上，且，，‎ 过点作轴垂线，交点为，设与轴交点为 根据题意画出图形，如图 ‎，，，‎ 又，，‎ ‎，‎ 根据三角形全等条件“”，‎ 可得：，‎ ‎，‎ ‎，，‎ 设点为，可得点纵坐标为，将其代入，‎ 可得：，解得：或，‎ 点为或，‎ ‎①当点为时，故，‎ ‎，，‎ 可得：点为，‎ 画出图象，如图 ‎,，‎ 可求得直线的直线方程为：，‎ 根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，‎ 根据两点间距离公式可得：，‎ 面积为：；‎ ‎②当点时，故，‎ ‎，，‎ 可得：点为，‎ 画出图象，如图 ‎,，‎ 可求得直线的直线方程为：，‎ 根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，‎ 根据两点间距离公式可得：，‎ 面积为：，‎ 综上所述，面积为：.‎ ‎21.设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．‎ ‎（1）求b．‎ ‎（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．‎ ‎【解】（1）因为，‎ 由题意，，即，则；‎ ‎（2）由（1）可得，‎ ‎，‎ 令，得或；令，得，‎ 所以在上单调递减，在，上单调递增，‎ 且，‎ 若所有零点中存在一个绝对值大于1的零点，‎ 则或，即或.‎ 当时，，‎ 又，‎ 由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，‎ 即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，‎ 此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；‎ 当时，，‎ 又，‎ 由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，‎ 即上存在唯一一个零点，在上不存在零点，‎ 此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；‎ 综上，所有零点的绝对值都不大于1.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）‎ ‎22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数且t≠1），C与坐标轴交于A、B两点．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．‎ ‎【解】（1）令，则，解得或（舍），‎ 则，即.‎ 令，则，解得或（舍），‎ 则，即 ‎；‎ ‎（2）由（1）可知，‎ 则直线的方程为，即.‎ 由可得，直线的极坐标方程为.‎ ‎[选修4—5：不等式选讲]（10分）‎ ‎23.设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．‎ ‎（1）证明：ab+bc+ca<0；‎ ‎（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥．‎ ‎【解】（1），‎ ‎.‎ 均不为，则，；‎ ‎（2）不妨设，‎ 由可知，，‎ ‎，.‎ 当且仅当时，取等号，‎ ‎，即.‎