2018届二轮复习 坐标系与参数方程课件 （全国通用） 56页

选修 4-4 坐标系与参数方程 1. 极坐标与直角坐标的互化公式 设点 P 的直角坐标为 (x,y), 极坐标为 (ρ,θ), 则 (ρ,θ) ⇒ (x,y) (x,y) ⇒ (ρ,θ) x=________ ， y= ________ ρ 2 =_____ ， tan θ = ________ ρcosθ ρ sin θ x 2 +y 2 2. 常见圆的极坐标方程 (1) 圆心在极点 , 半径为 r 的圆 :_____. (2) 圆心为 M(a,0), 半径为 a 的圆 :___________. (3) 圆心为 M( ), 半径为 a 的圆 :___________. ρ=r ρ=2acosθ ρ=2asinθ 3. 常见直线的极坐标方程 (1) 直线过极点 , 直线的倾斜角为 α:_____________. (2) 直线过点 M(a,0), 且垂直于极轴 :__________. (3) 直线过点 M( ), 且平行于极轴 :__________. θ=α(ρ∈R) ρcosθ=a ρsinθ=a 4. 直线、圆与椭圆的参数方程 特征 普通方程 参数方程 直线过点 M 0 (x 0 ,y 0 ), 倾斜角为 α x=x 0 (α=90°) y-y 0 =tanα(x-x 0 ) (α≠90°) ____________ __________ 圆心 (a,b), 半径为 r (x-a) 2 +(y-b) 2 =r 2 ____________ ___________ (t 为参数 ) (θ 为参数 ) 特征 普通方程 参数方程 焦点在 x 轴上 , 长轴长为 2a, 短轴长为 2b ___________ ___________ (θ 为参数 ) 【 易错提醒 】 1. 忽略条件致误 : 极坐标与直角坐标互化的前提条件是把直角坐标系的原点作为极点 ,x 轴正半轴作为极轴且在两坐标系中取相同的长度单位 , 否则两者不能互化 . 2. 忽略范围致误 : 在将曲线的参数方程化为普通方程时 , 不仅要把其中的参数消去 , 还要注意 x,y 的取值范围 , 即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性 . 热点考向一 　极坐标与直角坐标的互化 命题解读 : 主要考查极坐标与直角坐标的互化公式和极坐标的几何意义 , 同时考查了转化与化归思想 . 【 典例 1】 (2015· 全国卷 Ⅰ) 在直角坐标系 xOy 中 , 直线 C 1 :x=-2, 圆 C 2 :(x-1) 2 +(y-2) 2 =1, 以坐标原点为极点 ,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 . (1) 求 C 1 ,C 2 的极坐标方程 . (2) 若直线 C 3 的极坐标方程为 θ= (ρ∈R), 设 C 2 与 C 3 的交点为 M,N, 求△ C 2 MN 的面积 . 【 解题导引 】 (1) 根据极坐标与直角坐标的互化公式求解 . (2) 利用极坐标方程和极径的几何意义求出 |MN| 即可 . 【 规范解答 】 (1) 因为 x=ρcosθ,y=ρsinθ, 所以 C 1 的 极坐标方程为 ρcosθ=-2,C 2 的极坐标方程为 ρ 2 - 2ρcosθ-4ρsinθ+4=0. (2) 将 θ= 代入 ρ 2 -2ρcosθ-4ρsinθ+4=0, 得 ρ 2 - 3 ρ+4=0, 解得 ρ 1 =2 ,ρ 2 = . 故 ρ 1 -ρ 2 = , 即 |MN|= . 由于圆 C 2 的半径为 1, 所以 C 2 M⊥C 2 N, 所以 △ C 2 MN 的面积为 . 【 规律方法 】 解决极坐标系问题的策略 (1) 如果题目中曲线的极坐标方程比较容易化成直角坐标方程 , 则可以统一转化到直角坐标系中 , 利用直角坐标系的定理、公式解题 . (2) 如果题目中曲线的极坐标方程比较复杂 , 不方便化成直角坐标方程或者极坐标系中的极角、极径关系比较明显 , 比如已知两个点的极坐标 , 求两个点间的距离 , 则可以直接利用已知的极角、极径结合余弦定理求距离 . 【 变式训练 】 (2016· 乌鲁木齐二模 ) 在平面直角坐标系 xOy 中 , 以坐标原点为极点 ,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 . 圆 ρ=2cosθ 与圆 ρ=sinθ 交于 O,A 两点 . (1) 求直线 OA 的斜率 . (2) 过 O 点作 OA 的垂线分别交两圆于点 B,C, 求 |BC|. 【 解析 】 (1) 由 得 2cosθ=sinθ,tanθ=2, 所以 k OA =2. (2) 设由题意知 ,tanθ=2, 则 则 代入 ρ=2cosθ 得 代入 ρ=sinθ 得 所以 |BC|=ρ 1 +ρ 2 = 【 加固训练 】 在极坐标系中 , 已知圆 C 经过点 , 圆 心为直线 与极轴的交点 , 求圆 C 的极坐 标方程 . 【 解析 】 方法一 : 点 的直角坐标为 (1,1), 直线 的直角坐标方程为 x-y- =0, 令 y=0, 得 x=1, 则圆心坐标为 (1,0), 故半径 r=1, 则所求圆的直角坐标方程为 (x-1) 2 +y 2 =1, 化为极坐标方程为 ρ=2cosθ. 方法二 : 因为圆 C 圆心为直线 与极轴的 交点 , 所以在 中令 θ=0, 得 ρ=1. 所以圆 C 的圆心坐标为 (1,0). 因为圆 C 经过点 , 所以圆 C 的半径为 PC= 所以圆 C 经过极点 . 所以圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cosθ. 热点考向二 　参数方程与普通方程的互化和应用 命题解读 : 主要考查参数方程与普通方程的互化公式、参数方程的应用和直线参数方程中参数的几何意义 . 【 典例 2】 (2016· 衡阳二模 ) 已知曲线 C 的参数方程为 (t 为参数 ). (1) 求曲线 C 的普通方程 . (2) 过点 P(0,1) 的直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点 , 求 |PA|·|PB| 的取值范围 . 【 解题导引 】 (1) 根据 (t 2 -4) 2 +(4t) 2 =(t 2 +4) 2 消去参数 . (2) 写出直线的参数方程 , 根据参数 t 的几何意义求解 . 【 规范解答 】 (1) 因为 又因为 x= ∈[-1,1), 所以 C 的普通方程为 x 2 + =1,x∈[-1,1). (2) 设直线 l 的参数方程为 (α 为倾斜角，且 ） , 代入曲线 C 得 :(1+3cos 2 α) · t 2 +2sinα · t-3=0, 设两根为 t 1 ,t 2 , 所以 |PA| · |PB|=|t 1 t 2 |= 因为 α∈ , 故 |PA| · |PB|∈ 【 规律方法 】 1. 参数方程化为普通方程消去参数的方法 (1) 代入消参法 : 将参数解出来代入另一个方程消去参数 , 直线的参数方程通常用代入消参法 . (2) 三角恒等式法 : 利用 sin 2 α+cos 2 α=1 消去参数 , 圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法 . (3) 常见消参数的关系式 : 2. 参数方程表示的曲线的综合问题的求解思路 (1) 可以统一成普通方程处理 . (2) 利用参数方程中参数解决问题 , 如利用直线参数方程中参数的几何意义解决与距离有关的问题 , 利用圆锥曲线参数方程中的参数角 θ 解决与最值相关的问题 . 【 变式训练 】 (2016· 重庆二模 ) 在直角坐标系 xOy 中 , 过点 P( ) 作倾斜角为 α 的直线 l 与曲线 C:x 2 +y 2 =1 相交于不同的两点 M,N. (1) 写出直线 l 的参数方程 . (2) 求 的取值范围 . 【 解析 】 (1) (t 为参数 ). (2) 将直线参数方程代入 x 2 +y 2 =1, 得 t 2 +( cosα+3sinα)t+2=0, 由 Δ >0, 有 , 因为 t 1 t 2 =2>0, 所以 【 加固训练 】 已知直线 l : (t 为参数 ), 以坐 标原点为极点 ,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 , 曲 线 C 的极坐标方程为 ρ=2cosθ. (1) 将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程 . (2) 设点 M 的直角坐标为 (5, ), 直线 l 与曲线 C 的交点 为 A,B, 求 |MA|·|MB| 的值 . 【 解析 】 (1)ρ=2cosθ 等价于 ρ 2 =2ρcosθ①, 将 ρ 2 =x 2 +y 2 , ρcosθ=x 代入① , 得曲线 C 的直角坐标方程为 x 2 +y 2 -2x=0,②. (2) 将 代入② , 得 t 2 +5 t+18=0, 设这个方程的两个实数根分别为 t 1 ,t 2 , 则由参数 t 的几何意义即知 ,|MA| · |MB|=|t 1 · t 2 |=18. 热点考向三 　极坐标与参数方程的综合应用 命题解读 : 主要考查极坐标方程、参数方程和普通方程的互化 , 以及极坐标方程与参数方程的应用 , 同时考查转化与化归能力 . 【 典例 3】 (2015· 全国卷 Ⅱ) 在直角坐标系 xOy 中 , 曲线 C 1 : (t 为参数 , 且 t≠0), 其中 0≤α<π, 在以 O 为极点 ,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中 , 曲线 C 2 :ρ=2sinθ,C 3 :ρ=2 cosθ. (1) 求 C 2 与 C 3 交点的直角坐标 . (2) 若 C 1 与 C 2 相交于点 A,C 1 与 C 3 相交于点 B, 求 |AB| 的最大值 . 【 题目拆解 】 解答本题第 (2) 问 , 可拆解成三个小题 : ① 把曲线 C 1 的方程化为极坐标方程 , 由此写出点 A,B 的极坐标 ; ② 根据极径的几何意义将 |AB| 用含 α 的三角函数表示出来 ; ③ 利用三角函数知识求最值 . 【 规范解答 】 (1) 曲线 C 2 的直角坐标方程为 x 2 +y 2 -2y=0, 曲线 C 3 的直角坐标方程为 x 2 +y 2 -2 x=0. 联立 解得 或 所以 C 2 与 C 3 交点的直角坐标为 (0,0) 和 (2) 曲线 C 1 的极坐标方程为 θ=α(ρ∈R,ρ≠0), 其 中 0≤α<π. 因此 A 的极坐标为 (2sinα,α),B 的极坐标为 (2 cosα,α). 所以 |AB|=|2sinα-2 cosα|= 当 α= 时 ,|AB| 取得最大值 , 最大值为 4. 【 母题变式 】 1. 若本例题的条件不变 , 试写出 C 2 ,C 3 的参数方程 , 并写出 C 2 ,C 3 的极坐标 . 【 解析 】 曲线 C 2 的直角坐标方程为 x 2 +y 2 -2y=0, 即 x 2 +(y-1) 2 =1, 曲线 C 3 的直角坐标方程为 x 2 +y 2 -2 x=0, 即 (x- ) 2 +y 2 =3, 因此曲线 C 2 的参数方程为 曲线 C 3 的参数方程为 由本例题知曲线 C 2 ,C 3 交点的直角坐标为 (0,0) 和 则它们的极坐标为 (0,0) 和 2. 若本例题条件改为“已知平面直角坐标系 xOy 中 , 以 O 为极点 ,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 , 曲线 C 的参数方程为 (α 为参数 ),A,B 在曲线 C 上 , 且 A,B 两点的极坐标分别为 ”试求 : (1) 把曲线 C 的参数方程化为普通方程和极坐标方程 . (2) 求线段 AB 的长度 . 【 解析 】 (1) 曲线 C 的普通方程为 化为极坐标方程为 (2) 把极坐标 代入曲线 C 的极坐标方 程 中 , 得 所以 |AB|= 【 规律方法 】 解决极坐标方程、参数方程综合问题的方法 与极坐标方程、参数方程相关的问题往往涉及直线、圆、椭圆 , 处理的基本思路是把它们化为直角坐标方程或普通方程 , 利用直角坐标方程或普通方程解决实际问题 , 另外若涉及有关最值或参数范围问题时可利用参数方程 , 化为三角函数的最值问题处理 . 【 变式训练 】 (2016· 全国卷 Ⅰ) 在直角坐标系 xOy 中 , 曲线 C 1 的参数方程为 (t 为参数 ,a>0). 在以坐标原点为极点 ,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中 , 曲线 C 2 :ρ=4cosθ. (1) 说明 C 1 是哪一种曲线 , 并将 C 1 的方程化为极坐标方程 . (2) 直线 C 3 的极坐标方程为 θ=α 0 , 其中 α 0 满足 tanα 0 =2, 若曲线 C 1 与 C 2 的公共点都在 C 3 上 , 求 a. 【 解析 】 (1) (t 为参数 ), 所以 x 2 +(y-1) 2 =a 2 . 　① 所以 C 1 为以 (0,1) 为圆心 ,a 为半径的圆 . 方程为 x 2 +y 2 -2y+1-a 2 =0. 因为 x 2 +y 2 =ρ 2 ,y=ρsinθ, 所以 ρ 2 -2ρsinθ+1-a 2 =0, 即为 C 1 的极坐标方程 . (2)C 2 :ρ=4cosθ, 两边同乘 ρ, 得 ρ 2 =4ρcosθ, 因为 ρ 2 =x 2 +y 2 ,ρcosθ=x, 所以 x 2 +y 2 =4x. 即 (x-2) 2 +y 2 =4. 　② C 3 : 化为普通方程为 y=2x, 由题意 :C 1 和 C 2 的公共方程所在直线即为 C 3 . ①-② 得 :4x-2y+1-a 2 =0, 即为 C 3 , 所以 1-a 2 =0, 所以 a=1. 【 加固训练 】 (2015· 平顶山一模 ) 已知直线 l 的参数 方程为 (t 为参数 ), 曲线 C 的参数方程为 (θ 为参数 ). (1) 若在极坐标系 ( 与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位 , 且以原点 O 为极点 , 以 x 轴正半轴为极轴 ) 中 , 点 P 的极坐 标为 , 判断点 P 与直线 l 的位置关系 . (2) 设点 Q 是曲线 C 上的一个动点 , 求点 Q 到直线 l 的距离 的最大值与最小值的差 . 【 解析 】 (1) 把点 P 的极坐标 化为直角坐标为 (2,2 ), 把直线 l 的参数方程 (t 为参数 ) 化为直角坐标 方程为 y= x+1, 由于点 P 的坐标不满足直线 l 的方程 , 故点 P 不在直线 l 上 . (2) 因为曲线 C 的参数方程为 (θ 为参数 ), 曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程为 (x-2) 2 +y 2 =1, 表示以 (2,0) 为圆心 , 半径等于 1 的圆 . 所以圆心到直线 l 的距离 d= 所以 l 与圆相离 , 故点 Q 到直线 l 的距离的最小值为 d-r= , 最大值为 d+r= 所以点 Q 到直线 l 的距离的最大值与最小值的差为 2.