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- 2021-06-30 发布
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湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)训练试题(二)
姓名: 班级 : 分数 :
一、填空题(本题满分70分,每小题7分)
1.方程的实数解为 .
2.函数R的单调减区间是 .
3.在△中,已知,,则= .
4.函数在区间上的最大值是 ,最小值是 .
5.在直角坐标系中,已知圆心在原点、半径为的圆与△的边有公共点,
其中、、,则的取值范围为 .
6.设函数的定义域为R,若与都是关于的奇函数,则函数
在区间上至少有 个零点.
(第7题)
7.从正方体的条棱和条面对角线中选出条,使得其中任意
两条线段所在的直线都是异面直线,则的最大值为 .
8.圆环形手镯上等距地镶嵌着颗小珍珠,每颗珍珠镀金、银两色中的一种.其中镀金银的概率是 .
9.在三棱锥中,已知,
,且.已知棱的长为,则此棱锥的体积为 .
10.设复数列满足,,且.若对任意N* 都有,
则的值是 .
二、解答题(本题满分80分,每小题20分)
11.直角坐标系中,设、、是椭圆上的三点.若
,证明:线段的中点在椭圆上.
12.已知整数列满足,,前项依次成等差数列,从第项起依次
成等比数列.
(1) 求数列的通项公式;
(2) 求出所有的正整数,使得.
13.如图,圆内接五边形中,是外接圆的直径,,垂足.
过点作平行于的直线,与直线、分别交于点、.
证明: (1) 点、、、共圆;
(2) 四边形是矩形.
14.求所有正整数,,使得与都是完全平方数.
高中数学竞赛(预赛)训练试题(二)详细解答
一、填空题(本题满分70分,每小题7分)
1.方程的实数解为 .
提示与答案:x<0无解; 当时,原方程变形为32x+3x-6=0,解得3x=2,x=log32.
2.函数R的单调减区间是 .
提示与答案:与f(x)=y2=1+|sin2x|的单调减区间相同, Z.
3.在△中,已知,,则= .
提示与答案:,得.
4.函数在区间上的最大值是 ,最小值是 .
提示与答案:极小值-4,端点函数值f(2)=0,f(0)=-2,最小值-4,最大值0.
5.在直角坐标系中,已知圆心在原点、半径为的圆与△的边有公共点,
其中、、,则的取值范围为 .
提示与答案:画图观察,R最小时圆与直线段AC相切,R最大时圆过点B.[,10].
6.设函数的定义域为R,若与都是关于的奇函数,则函数
在区间上至少有 个零点.
提示与答案:f(2k-1)=0,k∈Z. 又可作一个函数满足问题中的条件,且的
一个零点恰为,k∈Z. 所以至少有50个零点.
(第7题)
7.从正方体的条棱和条面对角线中选出条,使得其中任意
两条线段所在的直线都是异面直线,则的最大值为 .
提示与答案:不能有公共端点,最多4条,图上知4条可以.
8.圆环形手镯上等距地镶嵌着颗小珍珠,每颗珍珠镀金、银两色中的一种.其中
镀金银的概率是 .
提示与答案:穷举法,注意可翻转,有6种情况,2金2银有两种,概率为 .
9.在三棱锥中,已知,
,且.已知棱的长为,则此棱锥的体积为 .
提示与答案:4面为全等的等腰三角形,由体积公式可求得三棱锥的体积为 144 .
10.设复数列满足,,且.若对任意N* 都有,
则的值是 .
提示与答案:由,
恒成立,即. 因为或,故,所以
.
二、解答题(本题满分80分,每小题20分)
11.直角坐标系中,设、、是椭圆上的三点.若
,证明:线段的中点在椭圆上.
解:设A(x1,y1),B (x2,y2),则 +y12=1,+y22=1.
由,得 M(x1+x2,y1+y2).
因为M是椭圆C上一点,所以
+(y1+y2)2=1, …………………6分
即 (+y12)()2+(+y22)()2+2()()(+y1y2)=1,
得 ()2+()2+2()()(+y1y2)=1,故
+y1y2=0. …………………14分
又线段AB的中点的坐标为 (,),
所以 +2()2=(+y12)+(+y22)++y1y2=1,
从而线段AB的中点(,)在椭圆+2y2=1上. ………………20分
12.已知整数列满足,,前项依次成等差数列,从第项起依次
成等比数列.
(1) 求数列的通项公式;
(2) 求出所有的正整数,使得.
解:(1) 设数列前6项的公差为d,则a5=-1+2d,a6=-1+3d,d为整数.
又a5,a6,a7成等比数列,所以(3d-1)2=4(2d-1),
即 9d2-14d+5=0,得d =1. …………………6分
当n≤6时,an =n-4,
由此a5=1,a6=2,数列从第5项起构成的等比数列的公比为2,
所以,当n≥5时,an =2n-5.
故 an = …………………10分
(2) 由(1)知,数列为:-3,-2,-1,0,1,2,4,8,16,…
当m=1时等式成立,即 -3-2-1=―6=(-3)(-2)(-1);
当m=3时等式成立,即 -1+0+1=0;
当m=2、4时等式不成立; …………………15分
当m≥5时,amam+1am+2 =23m-12, am +am+1+am+2=2m-5(23-1)=7×2m-5,
7×2m-5≠23m-12,
所以 am +am+1+am+2≠amam+1am+2 .
故所求 m= 1,或A
B
C
D
E
F
H
G
m=3. …………………
20分
13.如图,圆内接五边形中,是外接圆的直径,,垂足.
过点作平行于的直线,与直线、分别交于点、.
证明: (1) 点、、、共圆;
(2) 四边形是矩形.
证明:(1) 由HG∥CE,得∠BHF=∠BEC,
又同弧的圆周角 ∠BAF=∠BEC,
∴ ∠BAF=∠BHF,
∴ 点 A、B、F、H共圆;
…………………8分
(2) 由(1)的结论,得 ∠BHA=∠BFA,
∵ BE⊥AD, ∴ BF⊥AC,
又AD是圆的直径,∴ CG⊥AC, …………………14分
由A、B、C、D共圆及A、B、F、H共圆,
∴∠BFG =∠DAB =∠BCG, ∴ B、G、C、F共圆.
∴ ∠BGC=∠AFB=900, ∴ BG⊥GC,
∴ 所以四边形BFCG 是矩形. …………………20分
14.求所有正整数,,使得与都是完全平方数.
解:若x=y,则x2+3x是完全平方数.
∵ x2<x2+3x<x2+4x+4= (x+2)2,
∴ x2+3x= (x+1)2,∴ x=y =1. ………………5分
若x>y,则x2<x2+3y<x2+3x<x2+4x+4= (x+2)2.
∵ x2+3y是完全平方数,
∴ x2+3y= (x+1)2,得3y = 2x+1,由此可知y是奇数,设y = 2k+1,则x=3k+1,k是正整数.
又 y2+3x= 4k2+4k+1+9k+3=4k2+13k+4是完全平方数,且
(2k+2)2=4k2+8k+4<4k2+13k+4<4k2+16k+16= (2k+4)2,
∴ y2+3x=4k2+13k+4=(2k+3)2,
得 k=5,从而求得x=16,y=11. …………………15分
若x<y,同x>y情形可求得 x=11,y=16.
综上所述,(x,y)= (1,1), (11,16), (16,11). …………………20分