数学卷·2018届河北省沧州一中高二上学期第三次月考数学试卷（理科） （解析版） 23页

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年河北省沧州一中高二（上）第三次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．命题“∀x∈R，x2﹣2x+4≤0”的否定为（　　）‎ A．∀x∈R，x2﹣2x+4≥0 B．∀x∉R，x2﹣2x+4≤0‎ C．∃x∈R，x2﹣2x+4＞0 D．∃x∉R，x2﹣2x+4＞0‎ ‎2．抛物线x=4y2的焦点坐标是（　　）‎ A．（0，1） B．（0，﹣1） C． D．‎ ‎3．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎5．在下列条件中，M与A、B、C一定共面的是（　　）‎ A． =2﹣﹣ B． =++‎ C． ++= D． +++=‎ ‎6．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BA=CA=CC1‎ ‎，则BM与AN所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，O为AB中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到点O的距离不大于1的概率是（　　）‎ A． B．1﹣ C． D．1﹣‎ ‎9．设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎10．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC的中点，则点C1到平面B1EF的距离是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．点P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到点A（0，﹣1）的距离与到直线x=﹣1的距离和的最小值是（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎12．已知F1，F2是双曲线E：﹣=1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎　‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出　　人．‎ ‎14．已知f（x）=ax3+3x2﹣x+1在R上是减函数，求a的取值范围．‎ ‎15．已知椭圆+y2=1，则过点P（，）且被P平分的弦所在直线的方程为　　．‎ ‎16．某公司决定采用增加广告投入和技术改造投入两项措施来获得更大的收益．通过市场的预测发现，当对两项投入都不大于3百万元时，每投入x百万元广告费，增加的销售额可近似的用函数（百万元）来计算；每投入x百万元技术改造费用，增加的销售额可近似的用函数（百万元）来计算．如果现在该公司共投入3百万元，分别用于广告投入和技术改造投入，那么预测该公司可增加的最大收益为　　百万元．（注：收益=销售额﹣投入）‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.其中第17题10分，其它各题12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．已知，且q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．‎ ‎18．已知函数f（x）=ax3+bx+c在x=2处取得极值为c﹣6，求a，b的值．‎ ‎19．某地区2011年至2015年农村居民家庭人均纯收入y（单位：万元）的数据如表：‎ 年份 ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ 年份代号t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 人均纯收入y ‎2.9‎ ‎3.3‎ ‎3.6‎ ‎4.4‎ ‎4.8‎ ‎（1）求y关于t的线性回归方程；‎ ‎（2）利用（1）中的回归方程，分析2011年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2016年农村居民家庭人均纯收入．‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：．‎ ‎20．如图所示，在三棱锥P﹣ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．‎ ‎（1）求证：AB∥GH；‎ ‎（2）求二面角D﹣GH﹣E的余弦值．‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若f（x）≥0对定义域内的任意x恒成立，求a的取值范围．‎ ‎22．如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3‎ ‎．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河北省沧州一中高二（上）第三次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．命题“∀x∈R，x2﹣2x+4≤0”的否定为（　　）‎ A．∀x∈R，x2﹣2x+4≥0 B．∀x∉R，x2﹣2x+4≤0‎ C．∃x∈R，x2﹣2x+4＞0 D．∃x∉R，x2﹣2x+4＞0‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】根据题意，给出的命题是全称命题，则其否定形式为特称命题，分析选项，可得答案．‎ ‎【解答】解：分析可得，命题“∀x∈R，x2﹣2x+4≤0”是全称命题，‎ 则其否定形式为特称命题，‎ 为∃x∈R，x2﹣2x+4＞0，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎2．抛物线x=4y2的焦点坐标是（　　）‎ A．（0，1） B．（0，﹣1） C． D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】根据题意，将抛物线的方程变形可得其标准方程，分析可得其焦点在x轴上，且p=，由焦点坐标公式计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，抛物线的方程为x=4y2，则其标准方程为y2=x，‎ 分析可得：其焦点在x轴上，且p=，‎ 故其焦点坐标为（，0）；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件总数n==6，取出的2张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个数m==4，由此能求出取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率．‎ ‎【解答】解：4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，‎ 基本事件总数n==6，‎ 取出的2张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个数m==4，‎ ‎∴取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为=．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：若x=t=2，‎ 则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，‎ 第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，‎ 此时3≤2不成立，输出S=7，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．在下列条件中，M与A、B、C一定共面的是（　　）‎ A． =2﹣﹣ B． =++‎ C． ++= D． +++=‎ ‎【考点】平面向量的基本定理及其意义．‎ ‎【分析】利用空间向量基本定理，进行验证，对于C，可得，，为共面向量，从而可得M、A、B、C四点共面 ‎【解答】解：C中，由++=，得=﹣﹣，则，，为共面向量，即M、A、B、C四点共面．‎ 对于A， ++==≠，∴M、A、B、C四点不共面 对于B，∵，∴M、A、B、C四点不共面 对于D，∵+++=， =﹣（++），系数和不为1，∴M、A、B、C四点不共面 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BA=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】已知ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，取BC的中点0，连接A0，NM，BM，BM∥NO，BC∥NM，那么AN和NO所成角即为BM与AN所成角．求出边长，利用余弦定理求解角的大小．‎ ‎【解答】解：∵M，N分别是A1B1，A1C1的中点，‎ 取BC的中点0，连接AO，NM，BM，‎ ‎∴BM∥NO，BC∥NM且BC=2NM，‎ 那么AN和NO所成角即为BM与AN所成角．‎ 设BA=CA=CC1=2，∠BAC=90°，ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，‎ ‎∴AO=，AN=，BM=NO=，‎ ‎∴cos∠ANO==，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的定义；余弦定理；双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】设点P（x0，y0）在双曲线的右支，由双曲线的第二定义得，．由余弦定理得cos∠F1PF2=，由此可求出P到x轴的距离．‎ ‎【解答】解：不妨设点P（x0，y0）在双曲线的右支，由双曲线的第二定义得，．‎ 由余弦定理得 cos∠F1PF2=，即cos60°=，‎ 解得，所以，故P到x轴的距离为 故选B．‎ ‎　‎ ‎8．在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，O为AB中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到点O的距离不大于1的概率是（　　）‎ A． B．1﹣ C． D．1﹣‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出点到O的距离不大于1的点对应的图形的面积，并将其和长方形面积一齐代入几何概型计算公式进行求解．‎ ‎【解答】解：已知如图所示：‎ 长方形面积为2，‎ 以O为圆心，1为半径作圆，‎ 在矩形内部的部分（半圆）面积为，‎ 因此取到的点到O的距离不大于1的概率P==．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．‎ ‎【解答】解：，‎ ‎∴y′（0）=a﹣1=2，‎ ‎∴a=3．‎ 故答案选D．‎ ‎　‎ ‎10．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC的中点，则点C1到平面B1EF的距离是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算．‎ ‎【分析】直接根据C1﹣B1EF和E﹣B1C1F的体积相等来求点C1到平面B1EF的距离即可．‎ ‎【解答】解：设所求距离为h．‎ 因为：B1E=B1F=C1F==，‎ EF==．△B1EF， =．‎ ‎∴=××=．‎ ‎=×2×2=2．‎ 而E到平面B1C1F的距离EB=1．‎ ‎∵=．‎ ‎∴×EB×=×h×．‎ ‎∴h=．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎11．点P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到点A（0，﹣1）的距离与到直线x=﹣1的距离和的最小值是（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】设A（0，﹣1），先求出焦点及准线方程，过P作PN 垂直直线x=﹣1，有|PN|=|PF|，连接F、A，有|FA|≤|PA|+|PF|，从而只求|FA|．‎ ‎【解答】解：设A（0，﹣1），由y2=4x得p=2， =1，所以焦点为F（1，0），准线x=﹣1，‎ 过P作PN 垂直直线x=﹣1，根据抛物线的定义，‎ 抛物线上一点到定直线的距离等于到焦点的距离，‎ 所以有|PN|=|PF|，连接F、A，有|FA|≤|PA|+|PF|，‎ 所以P为AF与抛物线的交点，点P到点A（0，﹣1）的距离与点P到直线x=﹣1的距离之和的最小值为|FA|=，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．已知F1，F2是双曲线E：﹣=1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】设|MF1|=x，则|MF2|=2a+x，利用勾股定理，求出x=，利用sin∠MF2F1=，求得x=a，可得=a，求出a=b，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：设|MF1|=x，则|MF2|=2a+x，‎ ‎∵MF1与x轴垂直，‎ ‎∴（2a+x）2=x2+4c2，‎ ‎∴x=‎ ‎∵sin∠MF2F1=，‎ ‎∴3x=2a+x，‎ ‎∴x=a，‎ ‎∴=a，‎ ‎∴a=b，‎ ‎∴c=a，‎ ‎∴e==．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出　25　人．‎ ‎【考点】分层抽样方法．‎ ‎【分析】直方图中小矩形的面积表示频率，先计算出[2500，3000）内的频率，再计算所需抽取人数即可．‎ ‎【解答】解：由直方图可得[2500，3000）（元）月收入段共有10000×0.0005×500=2500人 按分层抽样应抽出人 故答案为：25‎ ‎　‎ ‎14．已知f（x）=ax3+3x2﹣x+1在R上是减函数，求a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】先求函数f（x）的导数，然后令导函数小于0在R上恒成立求出a的范围．‎ ‎【解答】解：函数f（x）的导数：f′（x）=3ax2+6x﹣1．‎ 当f'（x）≤0（x∈R）时，f（x）是减函数．‎ ‎3ax2+6x﹣1≤0（x∈R）⇔a≤0且△=36+12a≤0，⇔a≤﹣3．‎ 所以，当a≤﹣3时，由f'（x）≤0，知f（x）（x∈R）是减函数；‎ ‎　‎ ‎15．已知椭圆+y2=1，则过点P（，）且被P平分的弦所在直线的方程为　2x+4y﹣3=0　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】用“点差法”求出直线的斜率每节课求出直线方程．‎ ‎【解答】解：设这条弦与椭圆+y2=1交于A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由中点坐标公式知x1+x2=1，y1+y2=1，‎ 把A（x1，y1），B（x2，y2）代入+y2=1，‎ 作差整理得（x1﹣x2）+2（y1﹣y2）=0，‎ ‎∴k=﹣，‎ ‎∴这条弦所在的直线的方程y﹣=﹣（x﹣），‎ 即2x+4y﹣3=0．‎ 故答案为：2x+4y﹣3=0．‎ ‎　‎ ‎16．某公司决定采用增加广告投入和技术改造投入两项措施来获得更大的收益．通过市场的预测发现，当对两项投入都不大于3百万元时，每投入x百万元广告费，增加的销售额可近似的用函数（百万元）来计算；每投入x百万元技术改造费用，增加的销售额可近似的用函数（百万元）来计算．如果现在该公司共投入3百万元，分别用于广告投入和技术改造投入，那么预测该公司可增加的最大收益为　　百万元．（注：收益=销售额﹣投入）‎ ‎【考点】函数模型的选择与应用．‎ ‎【分析】先计算投入带来的销售额增加值，再利用导数法，即可确定函数的最值．‎ ‎【解答】解：设3百万元中技术改造投入为x（百万元），广告费投入为3﹣x（百万元），则广告收入带来的销售额增加值为﹣2（3﹣x）2+14（3﹣x）（百万元），技术改造投入带来的销售额增加值为﹣x3+2x2+5x（百万元），‎ 所以，投入带来的销售额增加值F（x）=﹣2（3﹣x）2+14（3﹣x）﹣x3+2x2+5x．‎ 整理上式得F（x）=﹣x3+3x+24，‎ 因为F′（x）=﹣x2+3，令F′（x）=0，解得x=或x=﹣（舍去），‎ 当x∈[0，），F′（x）＞0，当x∈（，3]时，F′（x）＜0，‎ 所以，x=时，F（x）取得最大值百万元，‎ 故答案为．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.其中第17题10分，其它各题12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．已知，且q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】解出关于p，q的不等式，根据充分必要条件的定义顶顶顶关于m的不等式组，解出即可．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴p：﹣2≤x≤10，q：1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），‎ ‎∵q是p的必要不充分条件，‎ ‎∴，‎ ‎∴m≥9．‎ ‎　‎ ‎18．已知函数f（x）=ax3+bx+c在x=2处取得极值为c﹣6，求a，b的值．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】先对函数f（x）求导，根据f′（2）=0，f（2）=c﹣6，即可求得a，b值；‎ ‎【解答】解：（1）因为f（x）=ax3+bx+c，故f′（x）=3ax2+b，‎ 由于f（x）在点x=2处取得极值，故有，即，‎ 化简得，解得：‎ ‎．‎ ‎　‎ ‎19．某地区2011年至2015年农村居民家庭人均纯收入y（单位：万元）的数据如表：‎ 年份 ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ 年份代号t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 人均纯收入y ‎2.9‎ ‎3.3‎ ‎3.6‎ ‎4.4‎ ‎4.8‎ ‎（1）求y关于t的线性回归方程；‎ ‎（2）利用（1）中的回归方程，分析2011年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2016年农村居民家庭人均纯收入．‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：‎ ‎．‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】（1）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程．‎ ‎（2）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值．‎ ‎【解答】解：（1）由题意， =×（1+2+3+4+5）=3， =×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8）=3.8，‎ ‎∴=0.49， =﹣=2.33‎ ‎∴y=0.49t+2.33；‎ ‎（2）∵，∴2011年至2015年该区人均纯收入稳步增长．‎ 预计到2016年，该区人均纯收入y=0.49•6+2.33=5.27（万元）‎ 所以，预计到2016年，该区人均纯收入约5.27万元左右．‎ ‎　‎ ‎20．如图所示，在三棱锥P﹣ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．‎ ‎（1）求证：AB∥GH；‎ ‎（2）求二面角D﹣GH﹣E的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的性质．‎ ‎【分析】（1）由给出的D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，利用三角形中位线知识及平行公理得到DC平行于EF，再利用线面平行的判定和性质得到DC平行于GH，从而得到AB∥GH；‎ ‎（2）由题意可知BA、BQ、BP两两相互垂直，以B为坐标原点建立空间直角坐标系，设出BA、BQ、BP的长度，标出点的坐标，求出一些向量的坐标，利用二面角的两个面的法向量所成的角的余弦值求解二面角D﹣GH﹣E的余弦值．‎ ‎【解答】（1）证明：如图，‎ ‎∵C，D为AQ，BQ的中点，∴CD∥AB，‎ 又E，F分别AP，BP的中点，∴EF∥AB，‎ 则EF∥CD．又EF⊂平面EFQ，∴CD∥平面EFQ．‎ 又CD⊂平面PCD，且平面PCD∩平面EFQ=GH，∴CD∥GH．‎ 又AB∥CD，∴AB∥GH；‎ ‎（2）由AQ=2BD，D为AQ的中点可得，三角形ABQ为直角三角形，‎ 以B为坐标原点，分别以BA、BQ、BP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，‎ 设AB=BP=BQ=2，‎ 则D（1，1，0），C（0，1，0），E（1，0，1），F（0，0，1），‎ 因为H为三角形PBQ的重心，所以H（0，，）．‎ 则，‎ ‎，．‎ 设平面GCD的一个法向量为 由，得，取z1=1，得y1=2．‎ 所以．‎ 设平面EFG的一个法向量为 由，得，取z2=2，得y2=1．‎ 所以．‎ 所以=．‎ 则二面角D﹣GH﹣E的余弦值等于．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若f（x）≥0对定义域内的任意x恒成立，求a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】求出原函数的导函数．‎ ‎（1）对a分类可得f'（x）、f（x）的变化情况表，利用表格可得函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）求出f（1）=，可得a＞0时，f（1）＜0，此时f（x）≥0对定义域内的任意x不是恒成立；a≤0时，求出函数f（x）在区间（0，+∞）的极小值，也是最小值，由最小值大于等于0求得a的取值范围．‎ ‎【解答】解：，‎ ‎（1）①当0＜a＜1时，f'（x）、f（x）的变化情况如下表：‎ x ‎（0，a）‎ a ‎（a，1）‎ ‎1‎ ‎（1，+∞）‎ f'（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 ‎∴函数f（x）的单调递增区间是（0，a），（1，+∞），单调递减区间是（a，1）．‎ ‎②当a＞1时，f'（x）、f（x）的变化情况如下表：‎ x ‎（0，1）‎ ‎1‎ ‎（1，a）‎ a ‎（a，+∞）‎ f'（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 ‎∴函数f（x）的单调递增区间是（0，1），（a，+∞），单调递减区间是（1，a）．‎ ‎③当a=1时，，此时f（x）单调递增．‎ ‎∴函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞），没有单调递减区间，‎ ‎（2）由于，显然a＞0时，f（1）＜0，此时f（x）≥0对定义域内的任意x不是恒成立的．‎ 当a≤0时，，‎ 可得x∈（0，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，‎ f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，‎ 函数f（x）在区间（0，+∞）的极小值，也是最小值即是，此时只要f（1）≥0即可，解得．‎ ‎∴实数a的取值范围是．‎ ‎　‎ ‎22．如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=‎ ‎，直线l的方程为x=4．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）由题意将点P （1，）代入椭圆的方程，得到，再由离心率为e=，将a，b用c表示出来代入方程，解得c，从而解得a，b，即可得到椭圆的标准方程；‎ ‎（2）方法一：可先设出直线AB的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系求得x1+x2=，，再求点M的坐标，分别表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λk3即可求得参数的值；‎ 方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），以之表示出直线FB的方程为，由此方程求得M的坐标，再与椭圆方程联立，求得A的坐标，由此表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λk3即可求得参数的值 ‎【解答】解：（1）椭圆C：经过点P （1，），可得①‎ 由离心率e=得=，即a=2c，则b2=3c2②，代入①解得c=1，a=2，b=‎ 故椭圆的方程为 ‎（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x﹣1）③‎ 代入椭圆方程并整理得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ x1+x2=，④‎ 在方程③中，令x=4得，M的坐标为（4，3k），‎ 从而，， =k﹣‎ 注意到A，F，B共线，则有k=kAF=kBF，即有==k 所以k1+k2=+=+﹣（+）‎ ‎=2k﹣×⑤‎ ‎④代入⑤得k1+k2=2k﹣×=2k﹣1‎ 又k3=k﹣，所以k1+k2=2k3‎ 故存在常数λ=2符合题意 方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），则直线FB的方程为 令x=4，求得M（4，）‎ 从而直线PM的斜率为k3=，‎ 联立，得A（，），‎ 则直线PA的斜率k1=，直线PB的斜率为k2=‎ 所以k1+k2=+=2×=2k3，‎ 故存在常数λ=2符合题意 ‎　‎