2017-2018学年四川省绵阳市南山中学高二下学期入学考试 理科数学试题 Word版 8页

‎2018年3月 ‎2017-2018学年四川省绵阳市南山中学高二下学期入学考试数学理试题 命题:赵 林 审题:王怀修 ‎1.本试卷分第Ⅰ卷(客观题)和第Ⅱ卷(主观题)两部分,全卷共100分,考试时间100分钟;‎ ‎2.所有试题均答在答题卡上,答在题卷上无效.‎ 第Ⅰ卷(客观题，共48分)‎ 一.选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)‎ ‎1. 要完成下列两项调查：‎ ‎①从某社区125户高收入家庭，280户中等收入家庭，95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负担情况.宜采用的抽样方法依次为(　　)‎ A.①简单随机抽样；②系统抽样 B.①分层抽样；②简单随机抽样 C.①系统抽样；②分层抽样 D.①②都用分层抽样 ‎2. 平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是(　　)‎ A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0 B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0‎ C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0 D．2x－y＋＝0或2x－y－＝0‎ ‎3. 独立性检验中，假设H0：变量X与变量Y没有关系，则在H0成立的情况下，P(K2≥6.635)≈0.010表示的意义是 (　　)‎ A．变量X与变量Y有关系的概率为1%‎ B．变量X与变量Y有关系的概率为99.9%‎ C．变量X与变量Y没有关系的概率为99%‎ D．变量X与变量Y有关系的概率为99%‎ ‎4. 经过点M(－2，m2)、N(m,4)的直线的斜率等于2，则m的值为(　　)‎ A．0 B．0或－2 C．－2 D．0或2‎ ‎5. 某调查机构调查了某地100个新生婴儿的体重，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如图所示)，则新生婴儿的体重(单位：kg)在[3.2,4.0)的人数是(　　)‎ A.30 B.40 C.50 D.55‎ ‎6. 若抛物线x2＝2py的焦点与椭圆＋＝1的下焦点重合，则p的值为(　　)‎ A．4 B．2 C．－4 D．－2‎ ‎ ‎ ‎7. 已知双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，则此双曲线的离心率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎8. 10名运动员中有2名老队员和8名新队员，现从中选3人参加团体比赛，要求老队员至多1人入选且新队员甲不能入选的选法有(　　)‎ A.77种 B.144种 C.35种 D.72种 ‎9. 已知直线x－y－4＝0与圆x2＋(y－2)2＝25交于A，B两点，P为圆上异于A，B的动点，则△ABP的面积的最大值为(　　)‎ A．8 B．16 C．32 D．64‎ ‎10. 已知二项式的展开式中第4项为常数项，则1＋(1－x)2＋(1－x)3＋…＋(1－x)n中x2项的系数为(　　)‎ A.－19 B.19 C.20 D.－20‎ ‎11. 若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　)‎ A．2 B．3 C．6 D．8‎ ‎12. 已知抛物线y2＝x，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(　　)‎ A．2 B．3 C. D. 第Ⅱ卷(主观题,共52分)‎ 二.填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)‎ ‎13. 当x＝2时，下面的程序段结果是________.‎ i＝1 s＝0 WHILE i<＝4‎ ‎　s＝s*x＋1‎ ‎　i＝i＋1 WEND PRINT　s END ‎14. 已知直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝r2(r＞0)相交于A，B两点，O为坐标原点，若∠AOB＝120°，则r＝________.‎ ‎15. 集合A＝{2,4,6,8,10}，集合B＝{1,3,5,7,9}，在集合A中任取一个元素m和在集合B中任取一个元素n，则所取两数m>n的概率是________.‎ ‎16. 已知F1、F2为椭圆x2＋＝1的上、下两个焦点，AB是过焦点F1的一条动弦，则△ABF2面积的最大值为 ．‎ ‎　‎ 三.解答题(本大题共4小题，每小题10分，共40分，解答应写出文字说明证明过程或推演步骤)‎ ‎17.(本小题满分10分) 随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图.‎ ‎(1)计算甲班的样本方差；‎ ‎(2)现从乙班10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm的同学被抽中的概率.‎ ‎18. (本小题满分10分) 假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料：‎ x ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎2.2‎ ‎3.8‎ ‎5.5‎ ‎6.5‎ ‎7.0‎ ‎(1)画出散点图并判断是否线性相关；‎ ‎(2)如果线性相关，求回归方程；‎ ‎(3)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？‎ ‎19. (本小题满分10分)已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x＋3y－29＝0相切．‎ ‎(1)求圆的方程；‎ ‎(2)若直线ax－y＋5＝0(a≠0)与圆相交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P(－2,4)的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎20. (本小题满分10分) 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线x2＝8y的准线上．‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)如图，点P(2，)，Q(2，－)在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．‎ 参考答案 一选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B A D A B D D A C C C B 二填空题 ‎13. 15 14. 2 ‎15. 0.6‎ 16. ‎12解析　如图，可设A(m2，m)，B(n2，n)，其中m>0，n<0，‎ 则＝(m2，m)，＝(n2，n)，·＝m2n2＋mn＝2，解得mn＝1(舍)或mn＝－2.‎ ‎∴lAB：(m2－n2)(y－n)＝(m－n)·(x－n2)，即(m＋n)(y－n)＝x－n2，‎ 令y＝0，解得x＝－mn＝2，‎ ‎∴C(2,0)，点C为直线AB与x轴的交点．‎ S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝×2×m＋×2×(－n)＝m－n，S△AOF＝××m＝m，则S△AOB＋S△AOF＝m－n＋m＝m－n＝m＋≥2＝3，当且仅当m＝，即m＝时等号成立．故△ABO与△AFO面积之和的最小值为3.‎ ‎16解　由题意，|F‎1F2|＝2.设直线AB方程为y＝kx＋1，代入椭圆方程2x2＋y2＝2，‎ 得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，则xA＋xB＝－，xA·xB＝－，‎ ‎∴|xA－xB|＝.S△ABF2＝|F‎1F2|·|xA－xB|＝2× ‎＝2×≤2×＝.当＝，即k＝0时，‎ S△ABF2有最大面积为.‎ 三解答题 ‎17.解　(1)＝‎ ‎＝170(cm).‎ 甲班的样本方差s2＝[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2.‎ ‎(2)设“身高为176 cm的同学被抽中”为事件A.‎ 从乙班10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学有：(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)，共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件：(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173).所以P(A)＝＝.‎ ‎18解　(1)作散点图如下：‎ 由散点图可知是线性相关的.‎ ‎(2)列表如下：‎ i ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ xi ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ yi ‎2.2‎ ‎3.8‎ ‎5.5‎ ‎6.5‎ ‎7.0‎ xiyi ‎4.4‎ ‎11.4‎ ‎22.0‎ ‎32.5‎ ‎42.0‎ ＝4，＝5，＝90，iyi＝112.3‎ 计算得：＝＝＝1.23，‎ 于是：＝－ ＝5－1.23×4＝0.08，‎ 即得回归方程＝1.23x＋0.08.‎ ‎(3)把x＝10代入回归方程＝1.23x＋0.08，‎ 得y＝12.38，因此，估计使用10年维修费用是12.38万元.‎ ‎19.解　(1)设圆心坐标为M(m,0)(m∈Z)，‎ 由于圆与直线4x＋3y－29＝0相切，且圆的半径为5，‎ 所以＝5，即|4m－29|＝25，‎ 即4m－29＝25或4m－29＝－25，‎ 解得m＝或m＝1.‎ 因为m为整数，故m＝1，‎ 故所求的圆的方程为(x－1)2＋y2＝25.‎ ‎(2)设符合条件的实数a存在，‎ 因为a≠0，则直线l的斜率为－，‎ 所以l的方程为y＝－(x＋2)＋4，‎ 即x＋ay＋2－4a＝0.‎ 由于l垂直平分弦AB，故圆心M(1,0)必在l上，‎ 所以1＋0＋2－4a＝0，解得a＝.‎ 经检验当a＝时，直线ax－y＋5＝0与圆有两个交点，‎ 故存在实数a＝，使得过点P(－2,4)的直线l垂直平分弦AB.‎ ‎20.解　(1)设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，‎ ‎∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x2＝8y的准线y＝－2上，∴b＝2，‎ 又＝，a2＝b2＋c2，∴a＝4，c＝2，∴椭圆C的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)为定值．理由如下：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ ‎∵∠APQ＝∠BPQ，∴直线PA，PB的斜率互为相反数，‎ 可设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为－k，‎ 直线PA的方程为y－＝k(x－2)，联立 消去y，得(1＋4k2)x2＋8k(－2k)x＋4(－2k)2－16＝0，∴x1＋2＝，‎ 同理可得x2＋2＝＝，∴x1＋x2＝，x1－x2＝，‎ ‎∴kAB＝＝＝，即直线AB的斜率为定值.‎ w