天津市滨海新区2020届高三高考二模数学试题 20页

‎2020年高考数学模拟试卷（5月份）‎ 一、选择题 ‎1.已知集合，，，则集合是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用补集和交集的定义可求出集合.‎ ‎【详解】集合，，，则，‎ 因此，.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查交集与补集的混合运算，熟悉交集和补集的定义是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎2.设，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求解和，观察解集的关系即可得出结果.‎ ‎【详解】解：等价于，即；‎ 的解为，解集相等，所以“”是“”的充分必要条件.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查充分必要条件的判断，涉及绝对值不等式和一元二次不等式求解集，属于基础题.‎ ‎3.某校有200位教职员工，其每周用于锻炼所用时间的频率分布直方图如图所示．据图估计，每周锻炼时间在[10，12]小时内的人数为（ ）‎ A. 18 B. ‎36 ‎C. 54 D. 72‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由频率分布直方图求出每周锻炼时间在[10，12]小时内的频率，由此能求出每周锻炼时间在[10，12]小时内的人数．‎ ‎【详解】由频率分布直方图得：‎ 每周锻炼时间在[10，12]小时内的频率为：1﹣（0.03+0.06+0.18+0.14）×2＝0.18，‎ ‎∴每周锻炼时间在[10，12]小时内的人数为：200×0.18＝36．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎4.函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据函数的奇偶性排除A、C,再由时,的趋向性判断选项即可 ‎【详解】由题,的定义域为,‎ 因为,所以是偶函数,图象关于轴对称,故排除A、C；‎ 又因,则当时,,,所以,‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查函数奇偶性的应用,考查函数图象 ‎5.已知三棱柱ABC﹣A1B‎1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，则此球的表面积等于（ ）‎ A. 8π B. 9π C. 10π D. 11π ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°可得三角形ABC的面积及外接圆的半径，再由三棱柱ABC﹣A1B‎1C1的侧棱垂直于底面，所以三棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点，可得外接球的半径，进而求出外接球的表面积．‎ ‎【详解】由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，由余弦定理可得：‎ BC，‎ ‎∴，∠ACB＝90°，∴底面外接圆的圆心在斜边AB的中点，‎ 设三角形ABC的外接圆的半径为r，则r1，‎ 又，‎ 所以V柱＝S△ABC•AA1，所以可得AA1＝2，‎ 因为三棱柱ABC﹣A1B‎1C1的侧棱垂直于底面，‎ 所以三棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点，‎ 设外接球的半径为R，则R2＝r2+（）2＝12+12＝2，‎ 所以外接球的表面积S＝4πR2＝4π×2＝8π，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查三棱柱的体积及三棱柱的棱长与外接球的半径之间的关系，以及球的表面积公式，属于中档题．‎ ‎6.已知函数f（x）＝2|x|﹣log|x|，且a＝f（ln），b＝f（log2），c＝f（2﹣1），则a，b，c的大小关系为（ ）‎ A. c＜a＜b B. b＜c＜a C. a＜c＜b D. b＜a＜c ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由定义判断函数为偶函数且在（0，+∞）上为增函数，再由ln2﹣1＜log23及函数单调性得结论．‎ ‎【详解】由f（﹣x）＝2|﹣x|﹣log|﹣x|＝2|x|﹣log|x|＝f（x），可知f（x）为偶函数，‎ 又当x＞0时，f（x）＝2x﹣logx＝2x+log2x为增函数，‎ 且0＜lnln，b＝f（log2）＝f（﹣log2）＝f（log23），log23＞log22＝1．‎ ‎∴ln2﹣1＜log23．‎ 则a＜c＜b．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．‎ ‎7.已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数是偶函数．下列判断正确的是（ ）‎ A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在上单调递增 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由题图象相邻两条对称轴之间的距离为，则；, 又函数是偶函数，‎ 可知；‎ 则得；A错误，B，图像对称点横坐标为；错误；‎ C，图像的对称直线方程为；，错误；‎ D，函数的增区间为；‎ 为它的子集．正确．‎ 考点：三角函数的性质的综合运用．‎ ‎8.已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），抛物线y2＝4cx的准线与双曲线的一个交点为P，点M为线段PF的中点，且△OFM为等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为（ ）‎ A. B. ‎1 ‎C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线y2＝4cx的准线为x＝﹣c，不妨设点P的坐标为（﹣c，y），y＞0，将其代入双曲线方程可求得y，当确定点P的坐标后就能得到点M的坐标，由于△OFM为等腰直角三角形，可根据|MF|＝|OF|建立a、b、c的关系式，再结合b2＝c2﹣a2和即可得解．‎ ‎【详解】抛物线y2＝4cx的准线为x＝﹣c，不妨设点P的坐标为（﹣c，y），y＞0，‎ 代入双曲线方程有，解得，‎ ‎∴点P的坐标为，‎ ‎∵点M为线段PF的中点，且F（﹣c，0），∴M（﹣c，），‎ ‎∵△OFM为等腰直角三角形，∴即‎2ac＝b2＝c2﹣a2，‎ ‎∴，解得（舍负），∴．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线与抛物线的几何性质，涉及抛物线的准线方程、双曲线的焦点、离心率等，考查学生灵活运用知识的能力和运算能力，属于基础题．‎ ‎9.已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 恰有三个零点则的函数图像有三个交点,再画图分析求解即可.‎ ‎【详解】根据的图像,取绝对值可知如图.当的函数图像有三个交点时分两种情况 ‎①当直线与抛物线部分相交于三个点时,临界条件分别为过原点时,此时,以及与抛物线相切,此时 判别式,故 ‎②当直线与抛物线部分相交于1个点,与相交于两点,此时临界条件为直线与相切,此时 判别式,由图得中,故为临界条件.‎ 故此时 综上所述, .‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点的问题,‎ 需要画出对应的图像分析直线与曲线相切等的临界条件,属于中等题型.‎ 二.填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.‎ ‎10.复数的共轭复数是 ___________‎ ‎【答案】. ‎ ‎【解析】‎ ‎ ，故该复数的共轭复数为 .‎ ‎11.（）6的展开式中常数项是_____．‎ ‎【答案】-160‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二项展开式的通项公式求得第r+1项，令x的指数为0得常数项．‎ ‎【详解】展开式的通项为Tr+1＝‎ 令3﹣r＝0得r＝3‎ 所以展开式的常数项为＝﹣160‎ 故答案为：﹣160．‎ ‎【点睛】二项展开式的通项公式是解决二项展开式特定项问题的工具．‎ ‎12.已知圆心为C的圆经过点A（﹣1，﹣1）和B（﹣2，2），且圆心C在直线l：x﹣y﹣1＝0上，则圆心为C的圆的标准方程是_____．‎ ‎【答案】（x﹣3）2+（y﹣2）2＝25‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知求出AB的垂直平分线方程，与已知直线方程联立求得圆心坐标，再求出半径，则圆的方程可求．‎ ‎【详解】由A（﹣1，﹣1），B（﹣2，2），得AB的中点为（，），‎ 又，∴AB的垂直平分线方程为，即x﹣3y+3＝0．‎ 联立，解得．‎ ‎∴圆心坐标为C（3，2），半径为|CA|＝5．‎ ‎∴圆心为C的圆的标准方程是（x﹣3）2+（y﹣2）2＝25．‎ 故答案：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝25．‎ ‎【点睛】本题圆的标准方程的求法，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎13.已知箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球．则3个小球颜色互不相同的概率是_____；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ的数学期望E（ξ）为_____．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 基本事件总数n＝103＝1000，3个小球颜色互不相同包含的基本事件个数m＝103﹣（23+33+53）＝180，由此能求出3个小颜色互不相同的概率；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ～（n，），由此能求出ξ的数学期望E（ξ）．‎ ‎【详解】箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，‎ 现从该箱中有放回地依次取出3个小球，‎ 基本事件总数n＝103＝1000，‎ ‎3个小球颜色互不相同包含的基本事件个数：‎ m＝103﹣（23+33+53）＝180，‎ 则3个小球颜色互不相同的概率是P；‎ 若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ～（n，），‎ ‎∴ξ的数学期望E（ξ）＝3．‎ 故答案为：，．‎ ‎【点睛】本题考查概率、数学期望求法，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查数据分析能力、运算求解能力，是中档题．‎ ‎14.已知正数x，y满足，则当x______时，的最小值是______．‎ ‎【答案】 (1). (2). 1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将化简成只关于的解析式,再换元利用基本不等式求解即可.‎ ‎【详解】正数x,y满足,‎ ‎,可得,‎ ‎,‎ 令则且,‎ ‎,‎ 当且仅当即,此时取最小值1,‎ 故答案： ‎ ‎【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用,需要换元后再利用基本不等式,属于中等题型.‎ ‎15.在平面凸四边形中，，点，分别是边，的中点，且，若，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取BD的中点O，连接OM，ON，运用向量的中点表示和数量积的性质，以及加减运算，计算可得所求值.‎ ‎【详解】解：取BD的中点O，连接OM，ON，‎ ‎ 可得， 平方可得， 即有，，‎ 即有 ‎， 解得， 所以， 故答案为：−2.‎ ‎【点睛】本题考查向量数量积的性质和向量的中点表示，化简整理的运算能力，属于中档题.‎ 三.解答题：本大题共5个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且的面积为．‎ Ⅰ求a及sinC的值；‎ Ⅱ求的值．‎ ‎【答案】Ⅰ ，Ⅱ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据余弦定理与面积公式化简求解即可.‎ ‎(2)先利用二倍角公式求解与,再根据余弦的差角公式计算即可.‎ ‎【详解】Ⅰ在中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且 ‎,‎ 的面积为,‎ ‎．‎ 再根据正弦定理可得,即．‎ Ⅱ ‎,‎ 故．‎ ‎【点睛】本题主要考查了正余弦定理与面积公式的运用,同时也考查了二倍角公式与和差角公式的运用,属于中等题型.‎ ‎17.如图，在四棱锥中，为等边三角形，边长为2，为等腰直角三角形，，，，平面平面ABCD.‎ ‎(1)证明：平面PAD；‎ ‎(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值；‎ ‎(3)棱PD上是否存在一点E，使得平面PBC？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）棱PD上存在一点E，使得平面PBC ‎，且.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）用面面垂直的性质定理证明线面垂直；‎ ‎（2）取的中点，连接，得平面，以为轴，为轴，过平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，用平面的法向量的夹角求二面角；‎ ‎（3）假设棱PD上存在一点E，使得平面PBC，设，由与平面的法向量垂直求得，如果求不出，说明不存在.‎ ‎【详解】（1）∵平面平面ABCD，，平面平面ABCD，平面ABCD，∴平面；‎ ‎（2）取的中点，连接，由于是等边三角形，所以，由平面平面ABCD，得平面，，‎ 以为轴，为轴，过平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，，，‎ ‎，，设平面的一个法向量为，‎ 则，取，则，，，‎ 平面的一个法向量为，‎ ‎，‎ ‎∴平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为；‎ ‎（3）假设棱PD上存在一点E，使得平面PBC，设，‎ 由（2），，‎ ‎，又平面的一个法向量是，‎ ‎∴，解得，∴.‎ ‎∴棱PD上存在一点E，使得平面PBC，且.‎ ‎【点睛】本题考查由面面垂直证明线面垂直，考查用空间向量法求二面角，研究线面平行．解题是建立空间直角坐标系．‎ ‎18.已知等比数列{an}的公比q＞1，且a3+a4+a5＝28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1＝1，数列{（bn+1﹣bn）an}的前n项和为2n2+n．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{bn}的通项公式．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项公式；‎ ‎（2）设cn＝（bn+1﹣bn）an，数列{cn}前n项和为Sn．由数列的递推式求得cn，再由数列的恒等式可得bn，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求通项公式．‎ ‎【详解】（1）由题知a3+a4+a5＝28，a4+2是a3，a5的等差中项，‎ 所以a3+a5＝‎2a4+4，解得a4＝8，a3+a5＝20，‎ 即a1q3＝8，a1q2+a1q4＝20，‎ 解得a1＝1，q＝2，‎ 所以；‎ ‎（2）设cn＝（bn+1﹣bn）an，数列{cn}前n项和为Sn．‎ 由，Sn＝2n2+n，Sn﹣1＝2（n﹣1）2+n﹣1．‎ 解得cn＝4n﹣1．‎ 由（1）可知，‎ 所以，‎ 故，‎ bn﹣b1＝（bn﹣bn﹣1）+（bn﹣1﹣bn﹣2）+…+（b3﹣b2）+（b2﹣b1），‎ 设，‎ 所以，‎ 相减可得 ‎3+4•（4n﹣5）•（）n﹣1，‎ 化简可得，‎ 又b1＝1，所以．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的恒等式和数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．‎ ‎19.已知点，分别是椭圆的左顶点和上顶点，为其右焦点，‎ ‎，且该椭圆的离心率为；‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设点为椭圆上的一动点，且不与椭圆顶点重合，点为直线与轴的交点，线段的中垂线与轴交于点，若直线斜率为，直线的斜率为，且（为坐标原点），求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）依题意表示出，，根据，和离心率为，求出的值，即可求出椭圆方程.‎ ‎（2）设直线的斜率为，直线方程为，设，中点为，联立直线方程与椭圆方程，消去即可用含的式子表示、的坐标，即可表示出中垂线方程，求出的坐标，最后根据求出参数即可得解.‎ ‎【详解】解：（1）依题意知：，，，，，‎ 则，又，，‎ 椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）由题意，设直线的斜率为，直线方程为 所以，设，中点为，‎ 由消去得 中垂线方程为：‎ 令得.‎ ‎，‎ 解得.‎ 直线的方程为，‎ 即 ‎【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆综合问题，属于中档题.‎ ‎20.已知，‎ ‎（1）求在处的切线方程以及的单调性；‎ ‎（2）对，有恒成立，求的最大整数解；‎ ‎（3）令，若有两个零点分别为，且为 的唯一的极值点，求证：.‎ ‎【答案】（1）切线方程为；单调递减区间为，单调递增区间为（2）的最大整数解为（3）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的导数，求出，即可得到切线方程，解得到单调递增区间，解得到单调递减区间，需注意在定义域范围内；‎ ‎（2）等价于，求导分析的单调性，即可求出的最大整数解；‎ ‎（3）由，求出导函数分析其极值点与单调性，构造函数即可证明；‎ ‎【详解】解：（1）‎ 所以定义域为 ‎；‎ ‎；‎ 所以切线方程为；‎ ‎，‎ 令解得 令解得 所以的单调递减区间为，单调递增区间为.‎ ‎（2）等价于；‎ ‎，‎ 记，，所以为上的递增函数，‎ 且，，所以，使得 即，‎ 所以在上递减，在上递增，‎ 且；‎ 所以的最大整数解为.‎ ‎（3），得，‎ 当，，，；‎ 所以在上单调递减，上单调递增，‎ 而要使有两个零点，要满足，‎ 即；‎ 因为，，令，‎ 由，，‎ 即：，‎ 而要证，‎ 只需证，‎ 即证：‎ 即：由，只需证：，‎ 令，则 令，则 故在上递增，；‎ 故在上递增，；‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的极值，最值以及函数的单调性，综合性比较强，属于难题.‎