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- 2021-06-30 发布
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课时作业(十八) [第18讲 三角函数的图象与性质]
[时间:45分钟 分值:100分]
1.函数y=的定义域为( )
A.
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.R
2. 下列函数中,以π为最小正周期的偶函数,且在上为减函数的是( )
A.y=sin2x+cos2x B.y=|sinx|
C.y=cos2x D.y=tanx
3. 函数y=sin2x+sinx-1的值域为( )
A.[-1,1] B.
C. D.
4. 函数y=sin2x的最小正周期T=________.
5.函数y=sin在区间上( )
A.单调递增且有最大值
B.单调递增但无最大值
C.单调递减且有最大值
D.单调递减但无最大值
6.已知函数f(x)=sin,若存在a∈(0,π),使得f(x+a)=f(x-a)恒成立,则a的值是( )
A. B. C. D.
7.若x为三角形中的最小内角,则函数y=sinx+cosx的值域是( )
A.(1,] B.
C. D.
8.函数f(x)=sinπx-x的零点的个数是( )
A.5 B.6
C.7 D.8
9.已知函数y=sinx的定义域为[a,b],值域为,则b-a的值不可能是( )
A. B.
C.π D.
10.函数f(x)=(sinx-cosx)2的最小正周期为________.
11.函数y=lg(sinx)+的定义域为________.
12.设函数y=cosπx的图象位于y轴右侧所有的对称中心从左到右依次为A1,A2,…,An,….则A50的坐标是________.
13.给出下列命题:
①正切函数的图象的对称中心是唯一的;
②y=|sinx|,y=|tanx|的最小正周期分别为π,;
③若x1>x2,则sinx1>sinx2;
④若f(x)是R上的奇函数,它的最小正周期为T,则f=0.
其中正确命题的序号是________.
14.(10分) 已知函数f(x)=2sinxcosx-2sin2x+1.
(1)求函数f(x)的最小正周期及值域;
(2)求f(x)的单调递增区间.
15.(13分) 已知函数f(x)=sin2x+2cos2x+m在区间上的最大值为6.
(1)求常数m的值及函数f(x)图象的对称中心;
(2)作函数f(x)关于y轴的对称图象得函数f1(x)的图象,再把函数f1(x)的图象向右平移个单位得到函数f2(x)的图象,求函数f2(x)的单调递减区间.
16.(12分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图象关于点M对称,且在区间上是单调函数,求φ和ω的值.
课时作业(十八)
【基础热身】
1.C [解析] 由题意得cosx≥,
∴2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z,故选C.
2.B [解析] 由函数为偶函数,排除A、D;由在上为减函数,排除C,故选B.
3.C [解析] y=sin2x+sinx-1=2-,
∵-1≤sinx≤1,
∴当sinx=-时,ymin=-;当sinx=1时,ymax=1,
∴函数的值域为,故选C.
4.π [解析] 由周期公式得T===π.
【能力提升】
5.A [解析] 由-≤x-≤,得-≤x≤,
则函数y=sin在区间上是增函数,
又⊆,所以函数在上是增函数,且有最大值,故选A.
6.D [解析] 设x-a=t,得x=t+a,
则f(x+a)=f(x-a)可化为f(t+2a)=f(t),
即函数f(x)是周期为2a的周期函数,又f(x)的最小正周期为π,且a∈(0,π),
∴a=,故选D.
7.A [解析] 因x为三角形中的最小内角,故x∈,由此可得y=sinx+cosx>1,排除错误选项B,C,D,故选A.
8.C [解析] 如图所示,画出函数y=sinπx和y=x的图象,
在[0,+∞)上,两个函数图象有4个交点,
∴在(-∞,+∞)上,方程sinπx=x的解有7个,即函数f(x)=sinπx-x的零点的个数是7,故选C.
9.A [解析] 画出函数y=sinx的简图,要使函数的值域为,则函数定义域为,k∈Z或其子集,又定义域为[a,b],则a,b在同一个k所对应的区间内,且[a,b]必须含2kπ+,还有2kπ+、2kπ+之一,知b-a的取值范围为,
故选A.
10.π [解析] f(x)=(sinx-cosx)2=sin2x-2sinxcosx+cos2x=1-2sinxcosx=1-sin2x,
∴函数f(x)的最小正周期为π.
11. [解析] 要使函数有意义必须有
即解得(k∈Z),
∴2kπ<x≤+2kπ,k∈Z,
∴函数的定义域为.
12.(99,0) [解析] 由πx=+kπ,k≥0且k∈Z,得图象的对称中心横坐标为x=2k+1,k≥0且k∈N,令k=49即可得A50的坐标是(99,0).
13.④ [解析] ①正切函数的对称中心是(k∈Z);②y=|sinx|,y=|tanx|的最小正周期都是π;③正弦函数在定义域R上不是单调函数;④f=f=f=-f,故f=0.
14.[解答] (1)f(x)=sin2x+cos2x=sin,
则函数f(x)的最小正周期是π,
函数f(x)的值域是.
(2)依题意得2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),
则kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
即f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
15.[解答] (1)f(x)=sin2x+cos2x+1+m
=2sin+1+m,
∵0≤x≤,∴≤2x+≤,
∴-≤sin≤1.
∴m≤f(x)≤3+m,∴3+m=6,m=3,
所以f(x)=2sin+4.
所以函数f(x)的图象的对称中心为,k∈Z.
(2)由f(x)=2sin+4,
得f1(x)=2sin+4.
所以f2(x)=2sin+4
=-2sin+4.
因为-+2kπ≤2x-π≤2kπ+,k∈Z.
所以+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),
所以函数f2(x)的单调递减区间是,k∈Z.
【难点突破】
16.[解答] 由f(x)是偶函数,得f(-x)=f(x),
即sin(-ωx+φ)=sin(ωx+φ),
所以-cosφsinωx=cosφsinωx对任意x都成立.
又ω>0,∴cosφ=0.
依题设0≤φ≤π,所以φ=,∴f(x)=cosωx,
其对称中心为(,0)(k∈Z).
∵f(x)的图象关于点M对称,∴令=,
∴ω=(2k+1),k=0,1,2,….
当k=0时,ω=,f(x)=sin在上是减函数;
当k=1时,ω=2,f(x)=sin在上是减函数;
当k≥2时,ω≥,f(x)=sin在上不是单调函数.
综上得ω=或ω=2.