2018届二轮复习 三角恒等变换与解三角形 学案（ 江苏专用） 10页

专题6：三角恒等变换与解三角形 班级 姓名 ‎ 一、前测训练 ‎1．(1)已知cos(α＋)＝，α∈(0，)，则cosα＝ ；sin(α＋)＝ ；，cos(2α＋)＝ ．‎ 答案：（＋2）；；（2－）‎ ‎ (2)已知cos(＋x)＝， ＜x＜，则＝ ．‎ 答案： ‎ (3) ＝ ．‎ 答案：2‎ ‎ (4)已知tan(＋a)＝．则＝ ．‎ 答案：－ ‎2． (1)在△ABC中，b＝，B＝60°，c＝1，则C＝ ；a＝ ．‎ 答案：300；2[来源:学科网]‎ ‎ (2)在△ABC中，A＝1200，a＝7，b＋c＝8，则b＝ ；c＝ ．‎ 答案：3或5；5或3‎ ‎ (3) 如图，在四边形ABCD中，已知AD^CD， AD＝10， AB＝14， ‎ ÐBDA＝60°， ÐBCD＝135° ，则BC＝ .‎ 答案：8 ‎3．(1)在△ABC中，acosA＝bcosB，则△ABC的形状为 ．‎ 答案：等腰或直角三角形 ‎ (2) 在△ABC中，sinA＝2cosBsinC，则△ABC的形状为 ．‎ 答案：等腰三角形 二、方法联想 ‎1．三角变换基本想法 ‎ (1)角：观察角的联系，实现角的统一．‎ ‎ (2)名：弦切互化，异名化同名．‎ ‎ 形：公式变形与逆用．‎ 幂：平方降幂，根式升幂．‎ 解题前先观察角的联系，分析角的变化，实现角的统一，从而决定解题方向，再结合三角函数名、公式的变形、幂的升降，做出公式的选择．‎ 注意 判断角的范围，确定三角函数值的正负或角的值．若在已知范围内不能确定时，利用三角函数值的正负或大小来缩小角的范围．‎ 变式1、在中, ,则 . ‎ 答案：‎ ‎(利用三角函数值缩小角的范围)‎ 变式2、已知sinα＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β＝________.‎ 答案： ‎（用已知角表示要求的角）‎ ‎2．三角形中边角计算 方法 正、余弦定理的本质是六个量中四个量可以建立一些关系式，如涉及三边一角考虑用余弦定理，两边两角考虑用正弦定理．‎ 变式1、在锐角三角形中,角的对边分别为,若,则的值是 . ‎ 答案：‎ ‎(把握正、余弦定理的结构特征)‎ 变式2、在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC,则cosA＝______‎ 答案：－ 解析:设BC边上的高为AD，则BC＝3AD,所以，AC＝AD，AB＝AD，根据余弦定理，求出cosA ‎（平面几何图形中选用正弦定理与余弦定理求解相关的几何量）‎ ‎3．边角转化、角角转化 方法 关于含有边角的关系式，利用(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC或(2)cosA＝等进行边角互化，即边化角或角化边．‎ 方法 角角转化，即利用A＋B＋C＝π消元实现三角化两角，若已知一个角，可以将两角化一角．‎ 变式1、若△ABC的内角满足sin A＋sin B＝2sin C，则cos C的最小值是______.‎ 答案：‎ ‎(边角转化)‎ 变式2、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2(tanA＋tanB)＝＋ 求cosC的最小值.‎ 答案： 解析：切化弦后，化简得2sin(A＋B)＝sinA＋sinB，从而2sinC＝sinA＋sinB，∴a＋b＝2c 所以 ，‎ 当且仅当时，等号成立.‎ 故 cosC的最小值为.‎ ‎（利用正弦定理实现边角转化；三角形中的求角问题，往往要利用余弦定理用边表示角的函数）.[来源:Zxxk.Com]‎ 三、例题分析 例1、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若cosB=，△ABC的周长为5，求b的大小．‎ 解 (1) =2. (2) b=2.‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎（1)主要问题归类与方法： ‎ 边角互化问题 ‎ ‎①利用a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC将边化为角；②利用cosA＝等将余弦化为边；③ccosB＋bcosC＝a等化角为边．‎ 方法选择与优化建议：‎ ‎1、对于等式的右边，我们可以选择方法①，化变为角，推导出；‎ ‎2、利用cosA＝等将等式的左边余弦化为边来做，运算 量较大，所以不选择方法②．‎ ‎3、等式可以化为bcosA＋acosB＝2(bcosC+ccosB),即c=2a, ，所以可以选择方法③．‎ ‎(2)主要问题归类与方法： ‎ 求边长 ①利用正弦定理求边； ② 利用余弦定理求边．‎ 方法选择与优化建议：‎ 因为从第一问已经可以得到c=2a，又a＋b＋c＝5，所以三边可以转化为只含有一个未知量b,利用减元消元解方程的方法解决问题，因此选择方法②的余弦定理解决问题比较方便．‎ 例2 已知函数f(x)＝2 cos2x＋2sinx cosx．‎ ‎（1）求函数f(x)在[－，]上的值域；‎ ‎（2）在△ABC中，若f(C)＝2，2sinB＝cos(A－C)－cos(A＋C)，求tanA的值．‎ 解 （1）函数f(x)在[－，]上的值域为[0，3]． （2）tanA＝．‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎（1)主要问题归类与方法： ‎ 将已知函数转化为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)+b的形式，使此函数变为只含有一个三角名称的一次三角函数．‎ 方法选择与优化建议：‎ 平方降幂，将2次变为1次；角统一，化为只含有一个角的三角函数；注意利用角的范围来确定函数的值域，防止学生求值域时只是代入两个端点．‎ ‎（2）主要问题归类与方法： ‎ 三角形中求某一个角的三角函数值，①正弦定理 ②余弦定理 ③三角恒等变形 方法选择与优化建议：‎ 本题没有边的的条件，所以方法①②不作考虑；注意到角C已知，又A＋B＋C＝π，因此本题可化为只有一个只有未知角A；利用第第二个条件2sinB＝cos(A－C)－cos(A＋C)，化为只有一个未知量角A的方程解决．‎ 例3、已知△的面积为，且．‎ ‎（1）求的值； ‎ ‎（2）若，，求△ABC的面积．‎ 解 （1）.‎ ‎(2) 3．‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎（1)主要问题归类与方法： ‎ 向量的数量积表示有两种方法，①是数量积的定义，②是数量积的坐标表示．[来源:Z§xx§k.Com]‎ 方法选择与优化建议：‎ 本题中没有涉及到向量的坐标，同时还需要表示三角形的面积，所以选择方法①．‎ ‎（2）主要问题归类与方法： ‎ 求三角形的面积问题 计算三角形的面积需要三个条件，①已知两条边一夹角；②已知三条边；③已知一条边以及此边上的高等等．‎ 方法选择与优化建议：‎ 已经知道了两个角一条边，以上的三个方法都可以解决问题，但相对而言，方法①的运算量较小．‎ 四、反馈练习(专题6：三角恒等变换与解三角形)‎ ‎1.若sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，则cos(α－β)的值为________．‎ 答案　(考查两角和与差的三角函数).‎ ‎2.的值是 ；答案 (考查两角和与差的三角函数).‎ ‎3. 设，且，则 ；答案 (考查弦切互化).‎ ‎4.在中,内角所对的边分别是若,则的面积是 ；答案 (考查正,余弦定理).‎ ‎5．已知α，β∈，且tan α＝4，cos(α＋β)＝－，则角β的大小为________．‎ 答案 (考查角的变换).‎ ‎6.钝角三角形的面积是,,则 ；答案 (考查正,余弦定理).‎ ‎7. 在中,内角所对的边分别是又,且,则的面积的最大值是 ；答案 (考查正,余弦定理).‎ ‎8．（2016全国II）的内角的对边分别为，若，，，则 ．答案　 (考查正弦定理,两角和与差公式).‎ ‎9．已知△ABC中，B＝45°，AC＝4，则△ABC面积的最大值为________．‎ 答案　4＋4(考查余弦定理,基本不等式).‎ ‎10．[2014·广东] 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知bcos C＋ccos B＝2b，则＝________．‎ 答案 2(考查正弦定理,两角和与差公式).‎ ‎11. 设函数若在区间上具有单调性,且,则的最小正周期为 ．‎ 答案 (考查三角函数图像性质及周期性).‎ ‎12.已知，且 ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求 答案 （1）（2）(考查两角和与差公式,二倍角公式).‎ ‎13.【2015江苏】在中，已知.‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）求的值.[‎ 答案：（1）(考查余弦定理).‎ ‎（2）(考查正弦定理，二倍角公式).‎ ‎14. （2016浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知b+c=2a cos B.‎ ‎（I）证明：A=2B；‎ ‎（II）若△ABC的面积，求角A的大小.‎ ‎（II）由得，故有 ‎，‎ 因，得．‎ 又，，所以．‎ 当时，；‎ 当时，．‎ 综上，或． ( 考查正弦定理，两角和与差公式).‎ ‎15．在△ABC中，A、B、C为三个内角，f(B)＝4cos B·sin2＋cos 2B－2cos B.‎ ‎(1)若f(B)＝2，求角B；‎ ‎(2)若f(B)－m＞2恒成立，求实数m的取值范围．‎ 解　(1)f(B)＝4cos B×＋cos 2B－2cos B ‎＝2cos B(1＋sin B)＋cos 2B－2cos B ‎＝2cos Bsin B＋cos 2B ‎＝sin 2B＋cos 2B＝2sin.‎ ‎∵f(B)＝2，∴2sin＝2，‎ ‎∵0＜B＜π，∴2B＋＝.∴B＝.(考查两角和与差公式,二倍角公式).‎ ‎(2)f(B)－m＞2恒成立，即2sin＞2＋m恒成立．‎ ‎∴2sin∈[－2,2]，∴2＋m＜－2.∴m＜－4. (考查两角和与差公式).‎ ‎16．已知向量a＝(1－tan x,1)，b＝(1＋sin 2x＋cos 2x,0)，记函数f(x)＝a·b.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式，并指出它的定义域；‎ ‎(2)若f＝，且α∈，求f(α)．‎ 解　(1)f(x)＝a·b＝(1－tan x)(1＋sin 2x＋cos 2x)＝·(2cos2x＋2sin xcos x)＝2(cos2x－sin2x)＝2cos 2x.定义域为.(考查角的变换,二倍角公式).‎ ‎(2)因为f＝2cos＝，‎ 所以cos＝，且2α＋∈，‎ 所以sin＝.‎ 所以f(α)＝2cos 2α＝2cos＝‎ ‎2coscos＋2sinsin ＝.(考查角的变换，两角和差公式).‎ ‎17．某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边BC，CD用一根5米长的材料弯折而成，边BA、AD用一根9米长的材料弯折而成，要求∠A和∠C互补，且AB＝BC.‎ ‎(1)设AB＝x米，cos A＝f(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范围；‎ ‎(2)求四边形ABCD面积的最大值．‎ 解　(1)在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos A.‎ 同理，在△CBD中，BD2＝CB2＋CD2－2CB·CD·cos C.[来源:学_科_网Z_X_X_K]‎ 因为∠A和∠C互补，所以AB2＋AD2－2AB·AD·cos A＝CB2＋CD2－2CB·CD·cos C＝CB2＋CD2＋2CB·CD·cos A.‎ 即x2＋(9－x)2－2x(9－x)cos A＝x2＋(5－x)2＋2x(5－x)·cos A．解得cos A＝，即f(x)＝，其中x∈(2,5)．(考查角的变换,余弦定理).‎ ‎(2)四边形ABCD的面积S＝(AB·AD＋CB·CD)sin A＝[x(9－x)＋x(5－x)]＝x(7－x) ＝＝.‎ 记g(x)＝(x2－4)(x2－14x＋49)，x∈(2,5)．‎ 由g′(x)＝2x(x2－14x＋49)＋(x2－4)(2x－14)‎ ‎＝2(x－7)(2x2－7x－4)＝0，解得x＝4.‎ 函数g(x)在区间(2,4)内单调递增，在区间(4,5)内单调递减．因此g(x)的最大值为g(4)＝12×9＝108.‎ 所以S的最大值为＝6.(考查角的变换,导数求最值).‎ 答：所求四边形ABCD面积的最大值为6 m2.‎ ‎18. (2016江苏)在中，. ‎ ‎（1）求AB的长；‎ ‎（2）求的值. ‎ 解（1）因为所以 由正弦定理知，所以 ‎（2）在三角形ABC中，所以 于是 又，故 因为，所以 因此 ‎(考查正弦定理，两角和与差公式).‎