【数学】2019届一轮复习人教A版理第2章第9节　函数模型及其应用教案 8页

第九节　函数模型及其应用 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．‎ ‎(对应学生用书第29页)‎ ‎[基础知识填充]‎ ‎1．常见的几种函数模型 ‎(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．‎ ‎(2)反比例函数模型：y＝＋b(k，b为常数且k≠0)．‎ ‎(3)二次函数模型：y＝ax＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)．‎ ‎(4)指数函数模型：y＝a·b＋c(a，b，c为常数，b＞0，b≠1，a≠0)．‎ ‎(5)对数函数模型：y＝mlogax＋n(m，n，a为常数，a＞0，a≠1，m≠0)．‎ ‎(6)幂函数模型：y＝a·xn＋b(a≠0)．‎ ‎2．三种函数模型之间增长速度的比较 ‎　　函数 性质　　‎ y＝a(a＞1)‎ y＝logax(a＞1)‎ y＝xn(n＞0)‎ 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 因n而异 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜a ‎3.解函数应用问题的步骤(四步八字)‎ ‎(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；‎ ‎(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；‎ ‎(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；‎ ‎(4)还原：将数学问题还原为实际问题．‎ 以上过程用框图表示如下：‎ ‎[知识拓展]　“对勾”函数 形如f(x)＝x＋(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型：‎ ‎(1)该函数在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减．‎ ‎(2)当x＞0时，x＝时取最小值2，‎ 当x＜0时，x＝－时取最大值－2.‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)函数y＝2的函数值比y＝x的函数值大．(　　)‎ ‎(2)幂函数增长比直线增长更快．(　　)‎ ‎(3)不存在x0，使ax0＜x＜logax0.(　　)‎ ‎(4)f(x)＝x，g(x)＝2，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)＜f(x)＜g(x)．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．(教材改编)已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到(　　)‎ A．100只　 B．200只 C．300只 D．400只 B　[由题意知100＝alog3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1)，当x ‎＝8时，y＝100log3 9＝200.]‎ ‎3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是(　　)‎ A．减少7.84%　　 B．增加7.84%‎ C．减少9.5% D．不增不减 A　[设某商品原来价格为a，依题意得：‎ a(1＋0.2)(1－0.2)＝a×1.2×0.8＝0.921 6a，‎ ‎(0.921 6－1)a＝－0.078 4a，‎ 所以四年后的价格与原来价格比较，减少7.84%.]‎ ‎4．若一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为(　　)‎ B　[由题意h＝20－5t(0≤t≤4)，‎ 其图象为B．]‎ ‎5．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________．‎ －1　[设年平均增长率为x，则(1＋x)＝(1＋p)·(1＋q)，‎ ‎∴x＝－1.]‎ ‎(对应学生用书第30页)‎ 用函数图象刻画变化过程 ‎　(1)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是(　　)‎ ‎(2)如图291所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用容器下面所对的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中正确的有(　　)‎ 图291‎ A．1个　 B．2个 C．3个 D．4个 ‎(1)A　(2)C　[(1)前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A、C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，产品的总产量应呈直线上升，故选A．‎ ‎(2)将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的增长速度上反映出来，①中的增长应该是匀速的，故下面的图象不正确；②中的增长速度是越来越慢的，正确；③中的增长速度是先快后慢再快，正确；④中的增长速度是先慢后快再慢，也正确，故②③④正确．选C．]‎ ‎[规律方法]　判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.‎ (2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.‎ ‎[跟踪训练]　设甲、乙两地的距离为a(a ‎>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为(　　) ‎ ‎【导学号：97190066】‎ D　[y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C．又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D．]‎ 应用所给函数模型解决实际问题 ‎　(1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的重量(kg)与其运费(元)由如图292所示的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的重量最大为________ kg.‎ 图292‎ ‎(2)一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－b t(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________ min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．‎ ‎(1)19　(2)16　[(1)由图象可求得一次函数的解析式为y＝30x－570，令30x－570＝0，解得x＝19.‎ ‎(2)当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae－8b＝a，‎ ‎∴e－8b＝，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－b t＝a，e－b t＝‎ ＝(e－8 b)3＝e－4b，则t＝24，所以再经过16 min.]‎ ‎[规律方法]　求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.‎ (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.‎ (3)利用该模型求解实际问题.‎ 易错警示：解决实际问题时要注意自变量的取值范围.‎ ‎[跟踪训练]　(2017·西城区二模)某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)＝已知某家庭2017年前三个月的煤气费如下表： ‎ ‎【导学号：97190067】‎ 月份 用气量 煤气费 一月份 ‎4 m3‎ ‎4元 二月份 ‎25 m3‎ ‎14元 三月份 ‎35 m3‎ ‎19元 若四月份该家庭使用了20 m3的煤气，则其煤气费为(　　)‎ A．11.5元 B．11元 C．10.5元 D．10元 A　[根据题意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝，C＝4，所以f(x)＝所以f(20)＝4＋(20－5)＝11.5，故选A．]‎ 构建函数模型解决实际问题 ‎　(2017·山西孝义模考)为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租．该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超出1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y ‎(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得)．‎ ‎(1)求函数y＝f(x)的解析式及其定义域；‎ ‎(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？‎ ‎[解]　(1)当x≤6时，y＝50x－115.‎ 令50x－115＞0，解得x＞2.3.‎ ‎∵x∈N*，∴3≤x≤6，x∈N*.‎ 当x＞6时，y＝[50－3(x－6)]x－115.‎ 令[50－3(x－6)]x－115＞0，有3x－68x＋115＜0.‎ 又x∈N*，∴6＜x≤20(x∈N*)，‎ 故y＝ ‎(2)对于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈N*)，显然当x＝6时，ymax＝185.‎ 对于y＝－3x＋68x－115＝－3＋(6＜x≤20，x∈N*)，‎ 当x＝11时，ymax＝270.又∵270＞185，‎ ‎∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．‎ ‎[规律方法]　构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法 (1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解.‎ (2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法.‎ (3)构建f(x)＝x＋(a＞0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解.‎ 易错警示：求解过程中不要忽视实际问题是对自变量的限制.‎ ‎[跟踪训练]　(2016·四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)(　　)‎ A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年 B　[设2015年后的第n年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130(1＋12%)n>200，得1.12n>，两边取常用对数，得n>≈＝ ‎，∴n≥4，∴从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．]‎