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  • 2021-06-30 发布

2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破:第十章 5 第5讲 古典概型

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[基础题组练] 1.从分别写有 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张,放回后再随机抽取 1 张, 则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ) A. 1 10 B.1 5 C. 3 10 D.2 5 解析:选 D.依题意,记两次取得卡片上的数字依次为 a,b,则一共有 25 个不同的数组 (a,b),其中满足 a>b 的数组共有 10 个,分别为(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2), (4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),因此所求的概率为10 25 =2 5 ,选 D. 2.高三毕业时,甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念,已知甲、乙相邻,则甲、 丙相邻的概率为( ) A. 1 10 B.1 4 C. 3 10 D.2 5 解析:选 B.五人排队,甲、乙相邻的排法有 A22A44=48(种),若甲、丙相邻,此时甲在 乙、丙中间,排法有 A33A22=12(种),故甲、丙相邻的概率为12 48 =1 4. 3.袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球,其中有 10 个白球,5 个红球,从袋中任 取 2 个球,所取的 2 个球中恰有 1 个白球,1 个红球的概率为( ) A.1 B.11 21 C.10 21 D. 5 21 解析:选 C.从袋中任取 2 个球共有 C215=105 种,其中恰好 1 个白球,1 个红球共有 C110C15 =50 种,所以恰好 1 个白球,1 个红球的概率为 50 105 =10 21. 4.(2020·台州高三质检)已知集合 M={1,2,3,4},N={(a,b)|a∈M,b∈M},A 是 集合 N 中任意一点,O 为坐标原点,则直线 OA 与 y=x2+1 有交点的概率是( ) A.1 2 B.1 3 C.1 4 D.1 8 解析:选 C.易知过点(0,0)与 y=x2+1 相切的直线为 y=2x(斜率小于 0 的无需考虑), 集合 N 中共有 16 个元素,其中使 OA 斜率不小于 2 的有(1,2),(1,3),(1,4),(2,4), 共 4 个,由古典概型知概率为 4 16 =1 4. 5.(2020·湖州模拟)已知函数 f(x)=1 3x3+ax2+b2x+1,若 a 是从 1,2,3 三个数中任取 的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数,则该函数有两个极值点的概率为( ) A.7 9 B.1 3 C.5 9 D.2 3 解析:选 D.f′(x)=x2+2ax+b2,要使函数 f(x)有两个极值点,则有Δ=(2a)2-4b2>0, 即 a2>b2.由题意知所有的基本事件有 9 个,即(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2, 2),(3,0),(3,1),(3,2),其中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值.满足 a2>b2 的有 6 个基本事件,即(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),所以所求事 件的概率为6 9 =2 3. 6.一个三位自然数百位,十位,个位上的数字依次为 a,b,c,当且仅当 a>b,b<c 时称为“凹数”(如 213,312 等),若 a,b,c∈{1,2,3,4},且 a,b,c 互不相同,则这 个三位数为“凹数”的概率是( ) A.1 6 B. 5 24 C.1 3 D. 7 24 解析:选 C.由 1,2,3 组成的三位自然数为 123,132,213,231,312,321,共 6 个; 同理由 1,2,4 组成的三位自然数共 6 个; 由 1,3,4 组成的三位自然数也是 6 个; 由 2,3,4 组成的三位自然数也是 6 个. 所以共有 6+6+6+6=24 个. 当 b=1 时,有 214,213,314,412,312,413,共 6 个“凹数”. 当 b=2 时,有 324,423,共 2 个“凹数”. 所以这个三位数为“凹数”的概率 P=6+2 24 =1 3. 7.(2020·杭州学军中学高三质检)甲、乙两个箱子里各装有 2 个红球和 1 个白球,现从 两个箱子中随机各取一个球,则至少有一个红球的概率为________. 解析:两个箱子各取一个球全是白球的概率 P= 1 C13C13 =1 9 ,所以至少有一个红球的概率 为 1-P=1-1 9 =8 9. 答案:8 9 8.在 3 张奖券中有一、二等奖各 1 张,另 1 张无奖.甲、乙两人各抽取 1 张,两人都 中奖的概率是________. 解析:记“两人都中奖”为事件 A,设中一、二等奖及不中奖分别记为 1,2,0,那么 甲、乙抽奖结果有(1,2),(1,0),(2,1),(2,0),(0,1),(0,2),共 6 种.其中甲、乙都 中奖有(1,2),(2,1),2 种,所以 P(A)=2 6 =1 3. 答案:1 3 9.从 20 名男生、10 名女生中任选 3 名参加体能测试,则选到的 3 名学生中既有男生 又有女生的概率为________. 解析:选到的学生中有男生 1 名、女生 2 名的选法有 C120C210 种,选到的学生中有男生 2 名、女生 1 名的选法有 C220C110 种,则选到的 3 名学生中既有男生又有女生的概率为 P= C120C210+C220C110 C330 =20 29. 答案:20 29 10.有 100 本书,既分为文科、理科 2 类,又分为精装、平装 2 种,其中文科书 40 本, 精装书 70 本,理科的平装书 20 本,则: (1)任取 1 本恰是文科精装书的概率是________; (2)先任取 1 本恰是文科书,放回后再取 1 本恰是精装书的概率是________. 解析:(1)基本事件总数为 100,其中文科书 40 本,理科书 60 本;精装书 70 本,理科 的平装书 20 本,精装书 40 本;文科的精装书 30 本,文科的平装书 10 本. 则任取 1 本恰是文科精装书的概率为 30 100 =0.3. (2)基本事件总数为 100×100,则所求概率 P= C140C170 100×100 = 4 10 × 7 10 =0.28. 答案:(1)0.3 (2)0.28 11.某旅游爱好者计划从 3 个亚洲国家 A1,A2,A3 和 3 个欧洲国家 B1,B2,B3 中选择 2 个国家去旅游. (1)若从这 6 个国家中任选 2 个,求这 2 个国家都是亚洲国家的概率; (2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个,求这 2 个国家包括 A1 但不包括 B1 的概率. 解:(1)由题意知,从 6 个国家中任选 2 个国家,其一切可能的结果组成的基本事件有: {A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2}, {A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},共 15 个. 所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有:{A1,A2},{A1,A3},{A2, A3},共 3 个. 则所求事件的概率为 P= 3 15 =1 5. (2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个,其一切可能的结果组成的基本事件有: {A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2}, {A3,B3},共 9 个. 包括 A1 但不包括 B1 的事件所包含的基本事件有:{A1,B2},{A1,B3},共 2 个, 则所求事件的概率为 P=2 9. 12.在 100 件产品中,有 95 件合格品、5 件次品,从中任取 2 件,求: (1)2 件都是合格品的概率; (2)2 件都是次品的概率; (3)1 件是合格品、1 件是次品的概率. 解:从 100 件产品中任取 2 件可能出现的结果数就是从 100 个元素中任取 2 个元素的组 合数 C2100,由于任意抽取,这些结果出现的可能性相等,则 C2100=4 950 为基本事件总数. (1)100 件产品中有 95 件合格品,取到 2 件合格品的结果数就是从 95 个元素中任取 2 个 的组合数 C295,记“任取 2 件都是合格品”为事件 A1,那么 P(A1)= C295 C2100 =893 990. (2)由于在 100 件产品中有 5 件次品,取到 2 件次品的结果数为 C25,记“任取 2 件都是 次品”为事件 A2,那么事件 A2 的概率 P(A2)= C25 C2100 = 1 495. (3)记“任取 2 件,1 件是次品,1 件是合格品”为事件 A3,而取到 1 件合格品、1 件次 品的结果有 C195·C 15种,则事件 A3 的概率 P(A3)=C195·C15 C2100 = 19 198. [综合题组练] 1.从 1 到 10 这十个自然数中随机取三个数,则其中一个数是另两个数之和的概率是 ( ) A.1 6 B.1 4 C.1 3 D.1 2 解析:选 A.不妨设取出的三个数为 x,y,z(xf(2a)>0 的概 率为( ) A.1 3 B.3 7 C.1 2 D.4 7 解析:选 B.因为 a∈{1 5 ,1 4 ,2,4,5,8,9}, 所以 3a+2>2a, 又 f(3a+2)>f(2a)>0,所以函数 f(x)为单调递增函数. 因为 f(x)=logax-3loga2=loga x 8 , 所以 a>1, 又 f(2a)>0,所以 loga 2a 8 >0, 所以2a 8 >1,即 a>4,则 f(3a+2)>f(2a)>0 的概率 P=3 7.故选 B. 3.某同学同时掷两颗骰子,得到的点数分别为 a,b,则双曲线x2 a2 -y2 b2 =1 的离心率 e> 5 的概率是________. 解析:由 e= 1+b2 a2> 5,得 b>2a. 当 a=1 时,b=3,4,5,6 四种情况; 当 a=2 时,b=5,6 两种情况,总共有 6 种情况. 又同时掷两颗骰子,得到的点数(a,b)共有 36 种结果. 所以所求事件的概率 P= 6 36 =1 6. 答案:1 6 4.连续抛掷同一颗均匀的骰子,记第 i 次得到的向上一面的点数为 ai,若存在正整数 k, 使 a1+a2+…+ak=6,则称 k 为幸运数字,则幸运数字为 3 的概率是________. 解析:连续抛掷同一颗均匀的骰子 3 次,所含基本事件总数 n=6×6×6, 要使 a1+a2+a3=6,则 a1,a2,a3 可取 1,2,3 或 1,1,4 或 2,2,2 三种情况, 其所含的基本事件个数 m=A33+C13+1=10. 故幸运数字为 3 的概率为 P= 10 6×6×6 = 5 108. 答案: 5 108 5.已知 8 支球队中有 3 支弱队,以抽签方式将这 8 支球队分为 A,B 两组,每组 4 支, 求: (1)A,B 两组中有一组恰好有 2 支弱队的概率; (2)A 组中至少有 2 支弱队的概率. 解:(1)法一:3 支弱队在同一组中的概率为C15 C48 ×2=1 7 , 故有一组恰好有 2 支弱队的概率为 1-1 7 =6 7. 法二:A 组恰有 2 支弱队的概率为C23C25 C48 ,B 组恰好有 2 支弱队的概率为C23C25 C48 , 所以有一组恰好有 2 支弱队的概率为C23C25 C48 +C23C25 C48 =6 7. (2)法一:A 组中至少有 2 支弱队的概率为C23C25 C48 +C33C15 C48 =1 2. 法二:A,B 两组有一组中至少有 2 支弱队的概率为 1(因为此事件为必然事件).由于对 A 组和 B 组而言,至少有 2 支弱队的概率是相同的,所以 A 组中至少有 2 支弱队的概率为1 2. 6.在某大型活动中,甲、乙等五名志愿者被随机地分到 A,B,C,D 四个不同的岗位 服务,每个岗位至少有一名志愿者. (1)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率; (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率; (3)求五名志愿者中仅有一人参加 A 岗位服务的概率. 解:(1)记“甲、乙两人同时参加 A 岗位服务”为事件 EA,那么 P(EA)= A33 C25A44 = 1 40 ,即 甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是 1 40. (2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件 E,那么 P(E)= A44 C25A44 = 1 10 ,所以甲、 乙两人不在同一岗位服务的概率是 P( E-)=1-P(E)= 9 10. (3)有两人同时参加 A 岗位服务的概率 P2=C25A33 C25A44 =1 4 ,所以仅有一人参加 A 岗位服务的 概率 P1=1-P2=3 4.

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