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- 2021-06-30 发布
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[基础题组练]
1.从分别写有 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张,放回后再随机抽取 1 张,
则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )
A. 1
10 B.1
5
C. 3
10 D.2
5
解析:选 D.依题意,记两次取得卡片上的数字依次为 a,b,则一共有 25 个不同的数组
(a,b),其中满足 a>b 的数组共有 10 个,分别为(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),
(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),因此所求的概率为10
25
=2
5
,选 D.
2.高三毕业时,甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念,已知甲、乙相邻,则甲、
丙相邻的概率为( )
A. 1
10 B.1
4
C. 3
10 D.2
5
解析:选 B.五人排队,甲、乙相邻的排法有 A22A44=48(种),若甲、丙相邻,此时甲在
乙、丙中间,排法有 A33A22=12(种),故甲、丙相邻的概率为12
48
=1
4.
3.袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球,其中有 10 个白球,5 个红球,从袋中任
取 2 个球,所取的 2 个球中恰有 1 个白球,1 个红球的概率为( )
A.1 B.11
21
C.10
21 D. 5
21
解析:选 C.从袋中任取 2 个球共有 C215=105 种,其中恰好 1 个白球,1 个红球共有 C110C15
=50 种,所以恰好 1 个白球,1 个红球的概率为 50
105
=10
21.
4.(2020·台州高三质检)已知集合 M={1,2,3,4},N={(a,b)|a∈M,b∈M},A 是
集合 N 中任意一点,O 为坐标原点,则直线 OA 与 y=x2+1 有交点的概率是( )
A.1
2 B.1
3
C.1
4 D.1
8
解析:选 C.易知过点(0,0)与 y=x2+1 相切的直线为 y=2x(斜率小于 0 的无需考虑),
集合 N 中共有 16 个元素,其中使 OA 斜率不小于 2 的有(1,2),(1,3),(1,4),(2,4),
共 4 个,由古典概型知概率为 4
16
=1
4.
5.(2020·湖州模拟)已知函数 f(x)=1
3x3+ax2+b2x+1,若 a 是从 1,2,3 三个数中任取
的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数,则该函数有两个极值点的概率为( )
A.7
9 B.1
3
C.5
9 D.2
3
解析:选 D.f′(x)=x2+2ax+b2,要使函数 f(x)有两个极值点,则有Δ=(2a)2-4b2>0,
即 a2>b2.由题意知所有的基本事件有 9 个,即(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,
2),(3,0),(3,1),(3,2),其中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值.满足
a2>b2 的有 6 个基本事件,即(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),所以所求事
件的概率为6
9
=2
3.
6.一个三位自然数百位,十位,个位上的数字依次为 a,b,c,当且仅当 a>b,b<c
时称为“凹数”(如 213,312 等),若 a,b,c∈{1,2,3,4},且 a,b,c 互不相同,则这
个三位数为“凹数”的概率是( )
A.1
6 B. 5
24
C.1
3 D. 7
24
解析:选 C.由 1,2,3 组成的三位自然数为 123,132,213,231,312,321,共 6 个;
同理由 1,2,4 组成的三位自然数共 6 个;
由 1,3,4 组成的三位自然数也是 6 个;
由 2,3,4 组成的三位自然数也是 6 个.
所以共有 6+6+6+6=24 个.
当 b=1 时,有 214,213,314,412,312,413,共 6 个“凹数”.
当 b=2 时,有 324,423,共 2 个“凹数”.
所以这个三位数为“凹数”的概率 P=6+2
24
=1
3.
7.(2020·杭州学军中学高三质检)甲、乙两个箱子里各装有 2 个红球和 1 个白球,现从
两个箱子中随机各取一个球,则至少有一个红球的概率为________.
解析:两个箱子各取一个球全是白球的概率 P= 1
C13C13
=1
9
,所以至少有一个红球的概率
为 1-P=1-1
9
=8
9.
答案:8
9
8.在 3 张奖券中有一、二等奖各 1 张,另 1 张无奖.甲、乙两人各抽取 1 张,两人都
中奖的概率是________.
解析:记“两人都中奖”为事件 A,设中一、二等奖及不中奖分别记为 1,2,0,那么
甲、乙抽奖结果有(1,2),(1,0),(2,1),(2,0),(0,1),(0,2),共 6 种.其中甲、乙都
中奖有(1,2),(2,1),2 种,所以 P(A)=2
6
=1
3.
答案:1
3
9.从 20 名男生、10 名女生中任选 3 名参加体能测试,则选到的 3 名学生中既有男生
又有女生的概率为________.
解析:选到的学生中有男生 1 名、女生 2 名的选法有 C120C210 种,选到的学生中有男生
2 名、女生 1 名的选法有 C220C110 种,则选到的 3 名学生中既有男生又有女生的概率为 P=
C120C210+C220C110
C330
=20
29.
答案:20
29
10.有 100 本书,既分为文科、理科 2 类,又分为精装、平装 2 种,其中文科书 40 本,
精装书 70 本,理科的平装书 20 本,则:
(1)任取 1 本恰是文科精装书的概率是________;
(2)先任取 1 本恰是文科书,放回后再取 1 本恰是精装书的概率是________.
解析:(1)基本事件总数为 100,其中文科书 40 本,理科书 60 本;精装书 70 本,理科
的平装书 20 本,精装书 40 本;文科的精装书 30 本,文科的平装书 10 本.
则任取 1 本恰是文科精装书的概率为 30
100
=0.3.
(2)基本事件总数为 100×100,则所求概率 P= C140C170
100×100
= 4
10
× 7
10
=0.28.
答案:(1)0.3 (2)0.28
11.某旅游爱好者计划从 3 个亚洲国家 A1,A2,A3 和 3 个欧洲国家 B1,B2,B3 中选择
2 个国家去旅游.
(1)若从这 6 个国家中任选 2 个,求这 2 个国家都是亚洲国家的概率;
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个,求这 2 个国家包括 A1 但不包括 B1 的概率.
解:(1)由题意知,从 6 个国家中任选 2 个国家,其一切可能的结果组成的基本事件有:
{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},
{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},共 15 个.
所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有:{A1,A2},{A1,A3},{A2,
A3},共 3 个.
则所求事件的概率为 P= 3
15
=1
5.
(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个,其一切可能的结果组成的基本事件有:
{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},
{A3,B3},共 9 个.
包括 A1 但不包括 B1 的事件所包含的基本事件有:{A1,B2},{A1,B3},共 2 个,
则所求事件的概率为 P=2
9.
12.在 100 件产品中,有 95 件合格品、5 件次品,从中任取 2 件,求:
(1)2 件都是合格品的概率;
(2)2 件都是次品的概率;
(3)1 件是合格品、1 件是次品的概率.
解:从 100 件产品中任取 2 件可能出现的结果数就是从 100 个元素中任取 2 个元素的组
合数 C2100,由于任意抽取,这些结果出现的可能性相等,则 C2100=4 950 为基本事件总数.
(1)100 件产品中有 95 件合格品,取到 2 件合格品的结果数就是从 95 个元素中任取 2 个
的组合数 C295,记“任取 2 件都是合格品”为事件 A1,那么 P(A1)= C295
C2100
=893
990.
(2)由于在 100 件产品中有 5 件次品,取到 2 件次品的结果数为 C25,记“任取 2 件都是
次品”为事件 A2,那么事件 A2 的概率 P(A2)= C25
C2100
= 1
495.
(3)记“任取 2 件,1 件是次品,1 件是合格品”为事件 A3,而取到 1 件合格品、1 件次
品的结果有 C195·C 15种,则事件 A3 的概率 P(A3)=C195·C15
C2100
= 19
198.
[综合题组练]
1.从 1 到 10 这十个自然数中随机取三个数,则其中一个数是另两个数之和的概率是
( )
A.1
6 B.1
4
C.1
3 D.1
2
解析:选 A.不妨设取出的三个数为 x,y,z(xf(2a)>0 的概
率为( )
A.1
3 B.3
7
C.1
2 D.4
7
解析:选 B.因为 a∈{1
5
,1
4
,2,4,5,8,9},
所以 3a+2>2a,
又 f(3a+2)>f(2a)>0,所以函数 f(x)为单调递增函数.
因为 f(x)=logax-3loga2=loga
x
8
,
所以 a>1,
又 f(2a)>0,所以 loga
2a
8 >0,
所以2a
8 >1,即 a>4,则 f(3a+2)>f(2a)>0 的概率 P=3
7.故选 B.
3.某同学同时掷两颗骰子,得到的点数分别为 a,b,则双曲线x2
a2
-y2
b2
=1 的离心率 e> 5
的概率是________.
解析:由 e= 1+b2
a2> 5,得 b>2a.
当 a=1 时,b=3,4,5,6 四种情况;
当 a=2 时,b=5,6 两种情况,总共有 6 种情况.
又同时掷两颗骰子,得到的点数(a,b)共有 36 种结果.
所以所求事件的概率 P= 6
36
=1
6.
答案:1
6
4.连续抛掷同一颗均匀的骰子,记第 i 次得到的向上一面的点数为 ai,若存在正整数 k,
使 a1+a2+…+ak=6,则称 k 为幸运数字,则幸运数字为 3 的概率是________.
解析:连续抛掷同一颗均匀的骰子 3 次,所含基本事件总数 n=6×6×6,
要使 a1+a2+a3=6,则 a1,a2,a3 可取 1,2,3 或 1,1,4 或 2,2,2 三种情况,
其所含的基本事件个数 m=A33+C13+1=10.
故幸运数字为 3 的概率为 P= 10
6×6×6
= 5
108.
答案: 5
108
5.已知 8 支球队中有 3 支弱队,以抽签方式将这 8 支球队分为 A,B 两组,每组 4 支,
求:
(1)A,B 两组中有一组恰好有 2 支弱队的概率;
(2)A 组中至少有 2 支弱队的概率.
解:(1)法一:3 支弱队在同一组中的概率为C15
C48
×2=1
7
,
故有一组恰好有 2 支弱队的概率为 1-1
7
=6
7.
法二:A 组恰有 2 支弱队的概率为C23C25
C48
,B 组恰好有 2 支弱队的概率为C23C25
C48
,
所以有一组恰好有 2 支弱队的概率为C23C25
C48
+C23C25
C48
=6
7.
(2)法一:A 组中至少有 2 支弱队的概率为C23C25
C48
+C33C15
C48
=1
2.
法二:A,B 两组有一组中至少有 2 支弱队的概率为 1(因为此事件为必然事件).由于对
A 组和 B 组而言,至少有 2 支弱队的概率是相同的,所以 A 组中至少有 2 支弱队的概率为1
2.
6.在某大型活动中,甲、乙等五名志愿者被随机地分到 A,B,C,D 四个不同的岗位
服务,每个岗位至少有一名志愿者.
(1)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率;
(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率;
(3)求五名志愿者中仅有一人参加 A 岗位服务的概率.
解:(1)记“甲、乙两人同时参加 A 岗位服务”为事件 EA,那么 P(EA)= A33
C25A44
= 1
40
,即
甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是 1
40.
(2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件 E,那么 P(E)= A44
C25A44
= 1
10
,所以甲、
乙两人不在同一岗位服务的概率是 P( E-)=1-P(E)= 9
10.
(3)有两人同时参加 A 岗位服务的概率 P2=C25A33
C25A44
=1
4
,所以仅有一人参加 A 岗位服务的
概率 P1=1-P2=3
4.