高中数学选修2-3教学课件：1_1_1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 37页

1.1.1 分类计数原理 与 分步计数原理 在德国举行的第十八届世界杯足球赛共有 32 支队伍参加。他们先分成 八个小组 进行 循环 赛，决出 16 强 ，这 16 强按确定的程序进行淘汰赛后，最后决出冠亚军，此外还决出了三、四名。 问： 一共安排了多少场比赛？ 思考 ？ 用一个大写的的英文字母 或 一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？ 26+10=36 问题 1. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有 4 班 , 汽车有 2 班，轮船有 3 班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法 ? 分析 : 从甲地到乙地有 3 类方法 , 第一类方法 , 乘火车，有 4 种方法 ; 第二类方法 , 乘汽车，有 2 种方法 ; 第三类方法 , 乘轮船 , 有 3 种方法 ; 所以 从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 种方法。 一、分类计数原理 完成一件事，有 n 类办法 . 在第 1 类办法中有 m 1 种不同的方法，在第 2 类方法中有 m 2 种不同的方法， …… ，在第 n 类方法中有 m n 种不同的方法，则完成这件事共有 2 ）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分类标准下进行分类，然后对每类方法计数 . 1 ）各类办法之间相互独立 , 都能独立的完成这件事，要计算方法种数 , 只需将各类方法数相加 , 因此分类计数原理又称 加法原理 说明 N= m 1 +m 2 +… + m n 种不同的方法 例 1 　在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到 A 、 B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下： A 大学 B 大学 生物学 化学 医学 物理学 工程学 数学 会计学 信息技术学 法学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？ 解：这名同学在 A 大学中有 5 种专业选择，在 B 大学中有 4 种专业选择。 根据分类计数原理：这名同学可能的专业选择共有 5+4 ＝ 9 种。 　　　 用前 6 个大写英文字母和 1 ～ 9 九个阿拉伯数字，以 A 1 ， A 2 ， ··· ， B 1 ， B 2 ， ··· 的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？ 思考 ？ 　 分析 : 由于前 6 个英文字母中的任意一个都能与 9 个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各个不同，因此共有 6×9 ＝ 54 个不同的号码。 字母 　　　　　数字　　　　　 得到的号码 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 A 9 树形图 问题 2 . 如图 , 由 A 村去 B 村的道路有 3 条，由 B 村去 C 村的道路有 2 条。从 A 村经 B 村去 C 村，共有多少种不同的走法 ? A 村 B 村 C 村 北 南 中 北 南 分析 : 从 A 村经 B 村去 C 村有 2 步 , 第一步 , 由 A 村去 B 村有 3 种方法 , 第二步 , 由 B 村去 C 村有 3 种方法 , 所以 从 A 村经 B 村去 C 村共有 3 ×2 = 6 种不同的方法。 二、分步计数原理 完成一件事，需要分成 n 个步骤。做第 1 步有 m 1 种不同的方法，做第 2 步有 m 2 种不同的方法， …… ，做第 n 步有 m n 种不同的方法，则完成这件事共有 2 ）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准，然后对每步方法计数 . 1 ）各个步骤相互依存 , 只有各个步骤都完成了 , 这件事才算完成 , 将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数 , 又称 乘法原理 说明 N= m 1 ×m 2 ×… ×m n 种不同的方法 例 2 、 设某班有男生 30 名，女生 24 名。现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？ 例 3 、 浦江县的部分电话号码是 05798415××××, 后面每个数字来自 0 ～ 9 这 10 个数 , 问可以产生多少个不同的电话号码 ? 变式 : 若要求最后 4 个数字不重复 , 则又有多少种不同的电话号码 ? 05798415 10 10 10 10 × × × =10 4 分析 : 分析 : =5040 10 9 8 7 × × × 例 4 、 书架上第 1 层放有 4 本不同的计算机书 , 第 2 层放有 3 本不同的文艺书 , 第 3 层放有 2 本不同的体育杂志 . (2) 从书架的第 1 、 2 、 3 层各取 1 本书 , 有多少种 不同取法 ? N ＝ 4 ＋ 3+2 ＝ 9 N ＝ 4 ×3×2 ＝ 24 (1) 从书架上任取 1 本书 , 有多少种不同的取法 ? 例 5 、 要从甲、乙、丙 3 幅不同的画中选出 2 幅，分别挂在左右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？ 课堂练习 1 、 8 本不同的书，任选 3 本分给 3 个同学，每人 1 本，有多少种不同的分法？ 2 、将 4 封信投入 3 个不同的邮筒，有多少种不同的投法？ 3 、已知 则方程 可表示不同的圆的个数有多少？ 8*7*6=? 3*3*3*3=? 3*4*2=? 课堂练习 4 、已知二次函数 若 则可以得到多少个不同的二次函数？其中图象过原点的二次函数有多少个？图象过原点且顶点在第一象限的二次函数又有多少个？ (1) 5*6*6=180 (2) 5*6*1=30 开口向下且对称轴大于 0 2*3*1=6 加法原理 乘法原理 联系 区别一 完成一件事情共有 n 类 办法，关键词是“分类” 完成一件事情 , 共分 n 个 步骤，关键词是“分步” 区别二 每类办法都能 独立完成 这件事情。 每一步得到的只是中间结果， 任何一步都 不能能独立完成 这件事情 ，缺少任何一步也 不能完成这件事情，只有每 个步骤完成了，才能完成这 件事情。 分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于 完成一件事情的不同方法的种数的问题。 区别三 各类办法是互斥的、 并列的、独立的 各步之间是相关联的 分类计数与分步计数原理的区别和联系： 如图，从甲地到乙地有 2 条路，从乙地到丁地有 3 条路；从甲地到丙地有 4 条路可以走，从丙地到丁地有 2 条路。从甲地到丁地共有多少种不同地走法？ 课堂练习 甲地 丙地 丁地 乙地 N 1 =2×3=6 N 2 =4×2=8 N= N 1 +N 2 =14 2 . 如图 , 该电路 , 从 A 到 B 共有多少条不同的线路可通电？ A B 解 : 从总体上看由 A 到 B 的通电线路可分三类 , 第一类 , m 1 = 3 条 第二类 , m 2 = 1 条 第三类 , m 3 = 2×2 = 4, 条 所以 , 根据分类原理 , 从 A 到 B 共有 N = 3 + 1 + 4 = 8 条不同的线路可通电。 在解题有时既要分类又要分步。