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- 2021-06-30 发布
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高考专题突破二 高考中的三角函数与解三角形问题
题型一 三角函数的图象和性质
例1 设f(x)=2sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求g的值.
解 (1)由f(x)=2sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2
=2sin2x-(1-2sin xcos x)
=(1-cos 2x)+sin 2x-1
=sin 2x-cos 2x+-1
=2sin+-1.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),
得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).
所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
(2)由(1)知f(x)=2sin+-1,
把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),
得到y=2sin+-1的图象,
再把得到的图象向左平移个单位长度,
得到y=2sin x+-1的图象,
即g(x)=2sin x+-1.
所以g=2sin +-1=.
思维升华 三角函数的图象与性质是高考考查的重点,通常先将三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,然后将t=ωx+φ视为一个整体,结合y=sin t的图象求解.
跟踪训练1 已知函数f(x)=5sin xcos x-5cos2x+(其中x∈R),求:
(1)函数f(x)的最小正周期;
(2)函数f(x)的单调区间;
(3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心.
解 (1)因为f(x)=sin 2x-(1+cos 2x)+
=5=5sin,
所以函数的最小正周期T==π.
(2)由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),
得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
由2kπ+≤2x-≤2kπ+(k∈Z),
得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),
所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z).
(3)由2x-=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z),
所以函数f(x)的对称轴方程为x=+(k∈Z).
由2x-=kπ(k∈Z),得x=+(k∈Z),
所以函数f(x)的对称中心为(k∈Z).
题型二 解三角形
例2 △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=0,a=2,b=2.
(1)求角A和边长c;
(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.
解 (1)∵sin A+cos A=0,
∴tan A=-,
又00,且α∈(0,π),
所以当tan α取最大值时,α也取得最大值.
答 游客在观赏亭P处的观察效果最佳时,sin θ=.
1.(2018·江苏联考)设函数f(x)=2tan ·cos2 -2cos2 +1.
(1)求f(x)的定义域及最小正周期;
(2)求f(x)在[-π,0]上的最值.
解 (1)f(x)=2sin cos -cos
=sin -cos
=sin -cos +sin
=sin .
由≠+kπ(k∈Z),
得f(x)的定义域为{x|x≠2π+4kπ(k∈Z)},
故f(x)的最小正周期为T==4π.
(2)∵-π≤x≤0,∴-≤-≤-.
∴当-∈,
即x∈时,f(x)单调递减,
当-∈,
即x∈时,f(x)单调递增,
∴f(x)min=f=-,
又f(0)=-,f(-π)=-,
∴f(x)max=f(0)=-.
2.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象过点P,图象上与P点最近的一个最高点坐标为.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若f(x)<3,求x的取值范围.
解 (1)由题意得A=6,=-=,∴T=π,
∴=π,∴ω=2.
∴f(x)=6sin(2x+φ),
又f(x)过点,∴6sin=6,
∴2×+φ=2kπ+,k∈Z,∴φ=2kπ-,k∈Z.
又|φ|<,∴φ=-,∴f(x)=6sin.
(2)6sin<3,即sin<,
在区间中,要使sin<,
则-<2x-<,
所以-+2kπ<2x-<+2kπ,k∈Z,
解得kπ-0),
则在△ABD中,AD2=AB2+BD2-2AB·BDcos B,
即=25x2+×49x2-2×5x××7x×,
解得x=1(负值舍去),所以a=7,c=5,
故S△ABC=acsin B=10.
5.(2018·江苏省南京市溧水高级中学模拟)如图,在海岸线l一侧C处有一个美丽的小岛,某旅游公司为方便游客,在l上设立了A,B两个报名点,满足A,B,C中任意两点间的距离为10 km.公司拟按以下思路运作:先将A,B两处游客分别乘车集中到A,B之间的中转点D处(点D异于A,B两点),然后乘同一艘游轮前往C岛.据统计,每批游客A处需发车2辆,B处需发车4辆,每辆汽车每千米耗费2a元,游轮每千米耗费12a元(其中a是正数).设∠CDA=α,每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本为S元.
(1)写出S关于α的函数表达式,并指出α的取值范围;
(2)问:中转点D距离A处多远时,S最小?
解 (1)由题意知在△ACD中,∠CAD=,∠CDA=α,AC=10,∠ACD=-α.
由正弦定理知==,
即CD=,AD=,
所以S=4aAD+8aBD+12aCD=(12CD-4AD+80)a
=a+80a
=a+60a.
(2)S′=20··a,
令S′=0,得cos α=,
当cos α>时,S′<0;
当cos α<时,S′>0,
所以当cos α=时,S取得最小值,
此时sin α=,AD=
=5+=,
所以中转点D距A处 千米时,运输成本S最小.
6.已知函数f(x)=cos 2ωx+sin 2ωx+t(ω>0),若f(x)的图象上相邻两条对称轴的距离为,图象过点(0,0).
(1)求f(x)的表达式和f(x)的单调增区间;
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,若函数F(x)=g(x)+k在区间上有且只有一个零点,求实数k的取值范围.
解 (1)f(x)=cos 2ωx+sin 2ωx+t=2sin+t,
f(x)的最小正周期为=,∴ω=2,
∵f(x)的图象过点(0,0),∴2sin+t=0,
∴t=-1,即f(x)=2sin-1.
令2kπ-≤4x+≤2kπ+,k∈Z,
求得-≤x≤+,k∈Z,
故f(x)的单调增区间为,k∈Z.
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,可得
y=2sin-1=2sin-1的图象,
再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)=2sin-1的图象.
∵x∈,∴2x-∈,∴sin∈,
故g(x)=2sin-1在区间上的值域为.
若函数F(x)=g(x)+k在区间上有且只有一个零点,
由题意可知,函数g(x)=2sin-1的图象和直线y=-k有且只有一个交点,
根据图象(图略)可知,k=-1或1-