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  • 2021-06-30 发布

宁夏六盘山高级中学2020届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题

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绝密★启用前 宁夏六盘山高级中学2020届高三第一次模拟考试 理科数学试卷 注意事项:‎ ‎1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写在本试题相应的位置、涂清楚。‎ ‎2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。‎ ‎3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。‎ ‎4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。‎ ‎5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ 1. 已知,是虚数单位,若,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ 2. 已知集合,则( )‎ A. ‎ B. C. D. ‎ 3. 函数的图象大致为( )‎ A.B.C.‎ D.‎ 1. 设向量满足,则( )‎ A. B. C. D.‎ 2. 若双曲线的离心率为,则其渐近线方程为( )‎ A. ‎ B. C. D. ‎ 3. 已知△的三个内角所对的边分别为,若,‎ 且,则△的面积( )‎ A. B. C. D. ‎ 4. ‎《算法统宗》是我国古代数学名著,有明代数学家程大位所著.该著作完善了珠算口诀,确立了算盘用法,完成了有筹算到珠算的转变,对我国民间普及珠算起到了重要的作用.如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题.执行该程序框图,若输入的的值为4,则输出的的值为( )‎ 是 否 输出 结束 输入 开始 A. ‎ B. C. D. ‎ 5. 琴、棋、书、画、诗、酒、花、茶被称为中国传统八雅.为弘扬中国传统文化,某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“八雅”知识讲座,每雅安排一节,连排八节.则“琴”“棋”“书”“画”互不相邻的概率为( )‎ A. ‎ B. C. D. ‎ 1. 已知底面为长方形的四棱锥中,平面,,,为中点,则异面直线与所成角的余弦值为( )‎ A. ‎ B. C. D. ‎ 2. 已知函数,,且,则( )‎ A. ‎ 或 B. C. D. 或 ‎ 3. 已知函数为偶函数,为奇函数,且满足.若存在,使得不等式有解,则实数的最大值为( )‎ A. ‎ B. C. D. ‎ 4. 已知是椭圆的左、右焦点,过的直线交椭圆于两点.若依次构成等差数列,且,则椭圆的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ 5. 曲线在点处的切线方程为_________.‎ 1. 若满足约束条件,则的最大值是__________.‎ 2. 若,是第三象限角,则_______________.‎ 3. 在矩形中,,为中点,将和分别沿翻折,使点与重合于点.若,则三棱锥的外接球的表面积为______________.‎ 三、 解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题,考生根据要求作答.‎ (一) 必考题:共60分.‎ 4. ‎(本小题满分12分)‎ 已知数列满足,,设.‎ ‎(I)证明数列是等差数列,并求其通项公式;‎ ‎(II)若,求数列的前项和.‎ 1. ‎(本小题满分12分)‎ 在某企业中随机抽取了5名员工测试他们的艺术爱好指数和创新灵感指数,统计结果如下表(注:指数值越高素质越优秀):‎ 艺术爱好指数 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 创新灵感指数 ‎3‎ ‎3.5‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎5‎ (I) 求创新灵感指数关于艺术爱好指数的线性回归方程;‎ (II) 企业为提高员工的艺术爱好指数,要求员工选择音乐和绘画中的一种进行培 ‎ ‎ 训,培训音乐次数对艺术爱好指数的提高量为,培训绘画次数对艺术爱好指数的提高量为,其中为参加培训的某员工已达到的艺术爱好指数.艺术爱好指数已达到3的员工甲选择参加音乐培训,艺术爱好指数已达到4的员工乙选择参加绘画培训,在他们都培训了20次后,估计谁的创新灵感指数更高?‎ 参考公式:回归方程中,.‎ 参考数据:,‎ 2. ‎(本小题满分12分)‎ ‎ 已知抛物线与圆相交于两点,且点的横坐标为.是抛物线的焦点,过焦点的直线与抛物线相交于不同的两点.‎ (I) 求抛物线的方程.‎ (II) 过点作抛物线的切线,是的交点,求证:点在定直线上.‎ 1. ‎(本小题满分12分)‎ 如图,在四棱锥中,,四边形为平行四边形,‎ 且.‎ ‎(I)证明:平面 ‎(II)当直线与平面所成角的正切值为时,‎ 求锐二面角的余弦值.‎ 2. ‎(本小题满分12分)‎ 已知函数,.‎ (I) 证明:当时,.‎ (II) 若函数在有两个零点,证明:.‎ ‎(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分.‎ 1. ‎(本小题满分10分)[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ 已知在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为:(为参数).在以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为:.‎ (I) ‎ 求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程;‎ (II) 设点的直角坐标为,若直线与曲线分别交于两点,‎ 求的值.‎ 2. ‎(本小题满分10分)[选修4-5:不等式选讲]‎ 设函数.‎ (I) 求函数的最小值及取得最小值时的的取值范围.‎ (II) 若集合,求实数的取值范围.‎ 绝密★启用前 宁夏六盘山高级中学2020届高三第一次模拟考试 理科数学试卷 注意事项:‎ ‎1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写在本试题相应的位置、涂清楚。‎ ‎2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。‎ ‎3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。‎ ‎4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。‎ ‎5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ 1. 已知,是虚数单位,若,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】D. 以为复数,,,所以,故选D 2. 已知集合,则( )‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎【解析】C 因为,‎ ‎,所以,故选C 3. 函数的图象大致为( )‎ A. B.C.D.‎ ‎【解析】由表达式可知,函数为偶函数,排除A,当时,为正,,所以,B正确.故选:B 1. 设向量满足,则( )‎ A. ‎ B. C. D.‎ ‎【解析】D.由已知得,得,‎ 所以 ‎ 2. 若双曲线的离心率为,则其渐近线方程为( )‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎【解析】A. 因为双曲线的离心率为,则,所以,所以渐近线方程为,故选A .‎ 3. 已知△的三个内角所对的边分别为,若,且,则△的面积( )‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎【解析】B.因为,所以有正弦定理得,又因为,所以,由余弦定理得,所以,.故选B.‎ 1. ‎《算法统宗》是我国古代数学名著,有明代数学家程大位所著.该著作完善了珠算口诀,确立了算盘用法,完成了有筹算到珠算的转变,对我国民间普及珠算起到了重要的作用.如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题.执行该程序框图,若输入的的值为4,则输出的的值为( )‎ 是 否 输出 结束 输入 开始 A. ‎ B. C. D. ‎ ‎【解析】C.‎ 2. 琴、棋、书、画、诗、酒、花、茶被称为中国传统八雅.为弘扬中国传统文化,某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“八雅”知识讲座,每雅安排一节,连排八节.则“琴”“棋”“书”“画”互不相邻的概率为( )‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎【解析】 C.对八雅进行全排列,方法总数为种,满足“琴”“棋”“书”“画”互不相邻的方法书为种,则所求概率为,故选C.‎ 3. 已知底面为长方形的四棱锥中,平面,,,为中点,则异面直线与所成角的余弦值为( )‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎【解析】D. 如图,去PB 中点F,连接AF,EF,因为E为PD中点,所以EF//BD,所以∠AEF(或补角)为异面直线与 所成角.由已知得,,,‎ 所以,故选D.‎ 1. 已知函数,,且,则( )‎ A. ‎ 或 B. C. D. 或 ‎ ‎【解析】A. 因为,所以函数图象关于对称,‎ 所以,所以或,故选A. ‎ 2. 已知函数为偶函数,为奇函数,且满足.若存在,使得不等式有解,则实数的最大值为( )‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎【解析】 B.因为函数为偶函数,为奇函数,且满足,‎ 所以,得,‎ 由得,,由于为增函数,所以当时函数取得最大值,故,即实数的最大值为,故选B.‎ 3. 已知是椭圆的左、右焦点,过的直线交椭圆于两点.若依次构成等差数列,且,则椭圆的离心率为( )‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎【解析】A. 依次构成等差数列,设公差为,根据椭圆的定义得,因为,所以,所以,解得,,所以,所以在△和△中,由余弦定理得,‎ 整理得,故选A .‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ 1. 曲线在点处的切线方程为_________.‎ 答案:‎ ‎【解析】:因为,所以,所以在点处的切线方程为,即:.‎ 2. 若满足约束条件,则的最大值是__________.‎ 答案:4‎ 3. 若,是第三象限角,则_______________.‎ 答案:‎ ‎【解析】‎ 1. 在矩形中,,为中点,将和分别沿翻折,使点与重合于点.若,则三棱锥的外接球的表面积为______________.‎ 答案:‎ ‎【解析】由题意知,,所以,设外接圆的半径为,则有正弦定理可得,所以,设三棱锥的外接球的半径为,则,所以外接球的表面积为.‎ 三、 解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题,考生根据要求作答.‎ (一) 必考题:共60分.‎ 2. ‎(本小题满分12分)‎ 已知数列满足,,设.‎ ‎(I)证明数列是等差数列,并求其通项公式;‎ ‎(II)若,求数列的前项和.‎ 1. ‎(本小题满分12分)‎ 在某企业中随机抽取了5名员工测试他们的艺术爱好指数和创新灵感指数,统计结果如下表(注:指数值越高素质越优秀):‎ 艺术爱好指数 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 创新灵感指数 ‎3‎ ‎3.5‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎5‎ (I) 求创新灵感指数关于艺术爱好指数的线性回归方程;‎ (II) 企业为提高员工的艺术爱好指数,要求员工选择音乐和绘画中的一种进行培训,培训音乐次数 对艺术爱好指数的提高量为,培训绘画次数对艺术爱好指数的提高量为,其中为参加培训的某员工已达到的艺术爱好指数.艺术爱好指数已达到3的员工甲选择参加音乐培训,艺术爱好指数已达到4的员工乙选择参加绘画培训,在他们都培训了20次后,估计谁的创新灵感指数更高?‎ 参考公式:回归方程中,.‎ 参考数据:,‎ 解析:(I)设,有,‎ ‎(II)员工甲经过20次的培训后,‎ ‎    估计他的艺术爱好指数将达到,‎ ‎    因此估计他的创新灵感指数为.‎ ‎    员工乙经过20次的培训后,‎ ‎    估计他的艺术爱好指数将达到,‎ ‎    因此估计他的创新灵感指数为.‎ ‎    由于,故培训后乙的创新灵感指数更高.‎ 1. ‎(本小题满分12分)‎ ‎ 已知抛物线与圆相交于两点,且点的横坐标为.是抛物线的焦点,过焦点的直线与抛物线相交于不同的两点.‎ (I) 求抛物线的方程.‎ (II) 过点作抛物线的切线,是的交点,求证:点在定直线上.‎ ‎【解析】(I)点的横坐标为,所以点的坐标为,……………2分 代入解得,所以抛物线的方程为……………4分 ‎ (II)抛物线,则,设……………5分 ‎      所以切线的方程为,即 ‎      同理切线的方程为………………………………………7分 ‎      联立解得点 ………………………………………………9分 ‎      设直线的方程为,代入 得,所以………………………………… … 11分 所以点在上,结论得证.…………………………………………12分 1. 如图,在四棱锥中,,四边形为平行四边形,且.‎ ‎(I)证明:平面 ‎(II)当直线与平面所成角的正切值为时,求锐二面角的余弦值.‎ 解:‎ (I) 证明:∵ 四边形为平行四边形,‎ ‎ ∴,,……………………2分 ‎ ‎ ∴在△中,,∴.‎ ‎ ∴,即,……………………………………3分 ‎ 又∵平面,∴,……………………………………4分 又∵‎ ‎ ∴平面……………………………………………………………5分 (II) ‎ 由(I)知,是直线与平面所成角,,‎ ‎ ∴, 又∵平面,∴.………6分 ‎ ∴△是等腰直角三角形,如图建立空间直角坐标系,则有:‎ ‎ ,………………7分 由已知是平面的法向量,………………………… …8分 设平面的法向量为,,,‎ ‎,,………………………… …10分 ‎,…………………………… …… …11分 ‎∴ 锐二面角的余弦值…………………………… …… …12分 1. 已知函数,.‎ (I) 证明:当时,.‎ (II) 若函数在有两个零点,证明:.‎ 解析:(I),……………………………2分 ‎ 当时,‎ ‎ 在区间上单调递增………………… ………………3分 ‎ ,不等式成立.………………… ……………………4分 ‎ (II)函数在有两个零点,‎ ‎     即方程在区间上有两解,…………5分 ‎ 令,则 ‎ 令,,‎ 在区间单调递增…………………………………………6分 又,‎ 故存在唯一的实数,使得,‎ 即…………………………………………………………8分 所以在上单调递减,在区间上单调递增,‎ 且,…………………………………………………………9分 ‎,‎ 又因为,所以,…………………………………11分 方程关于的方程在上有两个零点,‎ 由的图象可知,,‎ 即.……………………………………………………………12分 ‎(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分.‎ ‎[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ 已知在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为:(为参数).在以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为:.‎ (I) 求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程;‎ (II) 设点的直角坐标为,若直线与曲线分别交于两点,求的值.‎ ‎ 【解析】(I)将曲线的参数方程(为参数),‎ 化为普通方程,………………………………………………………2分 由直线的极坐标方程得:,…………4分 将代入上式得:直线的方程为,…………5分 ‎(II)因为点的直角坐标为在直线上,‎ 可设直线的参数方程为(为参数),………………………………7分 与曲线的方程联立,化简得:,,设对应的参数分别为,则………………………………………………………8分 故…………………………………………………10分 1. ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ 设函数.‎ (I) 求函数的最小值及取得最小值时的的取值范围.‎ (II) 若集合,求实数的取值范围.‎ ‎【解析】(1)因为 当且仅当,即时,上式等号成立,‎ 故函数的最小值为3,‎ 且取得最小值时的取值范围是.………………………………4分 (2) 因为,所以 函数化为……………………6分 令,其图像为过点,斜率为的一条直线.‎ 如图,‎ 则直线的斜率为,‎ 直线的斜率为,………………………………8分 因为,所以,即.‎ 所以的取值范围为………………………………10分