2018-2019学年江苏省宿迁市高一上学期期末考试数学试题（解析版） 18页

‎2018-2019学年江苏省宿迁市高一上学期期末考试数学试题 一、单选题 ‎1．设集合，，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由集合的并集运算直接求解即可.‎ ‎【详解】‎ 因为，，所以= ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查并集的运算，牢记定义即可求解，属于基础题型.‎ ‎2．已知向量，若，则实数的值为（ ）‎ A． B．1 C．6 D．1或6‎ ‎【答案】B ‎【解析】由向量垂直，得到数量积为0，由向量的坐标运算即可求解.‎ ‎【详解】‎ 因为，若，所以，即，解得.‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，由向量垂直可得向量数量积为0，进而可求解，属于基础题型.‎ ‎3．的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由诱导公式以及特殊角所对应的三角函数值计算即可.‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查诱导公式，以及特殊角所对应的三角函数值，只需熟记公式即可解题，属于基础题型.‎ ‎4．若，则实数的值为（ ）‎ A． B．1 C．1或 D．1或3‎ ‎【答案】B ‎【解析】分类讨论或，求出，检验即可.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以或，所以或，‎ 当时，，不符合题意，所以舍去；‎ 故以，‎ 选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查元素与集合之间的关系，注意集合中元素的互异性，属于基础题型.‎ ‎5．函数的定义域为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】求函数的定义域即是求使函数有意义的的范围，列不等式组，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，所以，即.‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的定义域，根据求已知解析式的函数定义域即是求使解析式有意义的的范围，即可求解，属于基础题型.‎ ‎6．化简的结果为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由同角三角函数基本关系即可将原式化简.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查同角三角函数基本关系，熟记公式即可求解，属于基础题型.‎ ‎7．设是两个互相垂直的单位向量，则与的夹角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先由互相垂直，可得其数量积为0，再计算与的数量积，以及与的模，代入夹角公式即可求解.‎ ‎【详解】‎ 因为互相垂直，所以，‎ 所以，，，‎ 所以，所以夹角为.‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量的夹角公式，只需熟记公式，求出对应向量的数量积和向量的模，代入公式即可求解，属于常考题型.‎ ‎8．函数的一段图象大致为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据函数的奇偶性和函数的值域可判断出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，即函数是偶函数，关于轴对称，排除C,D选项，又，所以，即恒大于0，排除A选项，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的图像形状，由函数的基本性质即可确定图像形状，难度不大.‎ ‎9．已知向量不共线，且，，，则共线的三点是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据共线向量基本定理即可判断出结果.‎ ‎【详解】‎ 已知向量不共线，且，，，‎ 由得，则，‎ 即，所以三点共线.‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查共线向量基本定理，灵活掌握定理和向量的线性运算即可，属于基础题型.‎ ‎10．若函数，则函数的值域为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先求出函数的值域，再换元，令，由导数的方法判断的单调性，进而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意得，，因为，所以，‎ 令，则，所以，‎ ‎，解得，‎ 所以当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增，‎ 所以，‎ 又，，‎ 所以，即，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复合函数值域，通常需要用换元法将函数进行换元，由导数的方法研究函数的单调性，进而可确定最值、值域等，属于中档试题.‎ ‎11．已知函数图象上一个最高点P的横坐标为，与P相邻的两个最低点分别为Q，R.若△是面积为的等边三角形，则解析式为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由△的面积求出△的边长和高，从而确定函数周期和，再由函数图象上一个最高点P的横坐标为，求出的值，进而可求出解析式.‎ ‎【详解】‎ 因为△是面积为的等边三角形，所以三角形的边长为2，高为，‎ 由题意可得，所以，‎ 故，‎ 又函数图象上一个最高点P的横坐标为，所以，‎ 即，所以,故，‎ 所以，‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查由三角函数的图像与性质求函数的解析式，只需依题意求出，，的值即可，要求考生熟记三角函数的相关性质等，属于常考题型.‎ ‎12．已知函数，若关于的方程有个不同实数根，则n的值不可能为（ ）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【答案】A ‎【解析】先将函数写成分段函数的形式，并做出其图像，再由得：或，所以方程的解的个数，即转化为函数与轴以及直线交点个数的问题，由图像讨论的范围，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为函数，‎ 作出的图像如下：‎ 由得：或，‎ 所以方程的解的个数，即为函数与轴以及直线交点个数，‎ 由图像可得：与轴有2个交点，‎ ‎①当,即时，函数与直线无交点，故原方程共2个解；‎ ‎②当，即时，原方程可化为，故原方程共2个解；‎ ‎③当，即时，函数与直线有4个交点，故原方程共6个解；‎ ‎④当，即时，函数与直线有3个交点，故原方程共5个解；‎ ‎⑤当，即时，函数与直线有2个交点，故原方程共4个解；‎ 综上，原方程解的个数可能为2,4,5,6.‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数与方程的综合， 解决此类问题的关键在于将方程有实根转化为两个函数有交点的问题，由数形结合即可求解，属于常考题型.‎ 二、填空题 ‎13．设集合，则的真子集的个数为_______．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】由集合真子集的计算公式即可求解.‎ ‎【详解】‎ 因为集合中共有3个元素，因此集合的真子集的个数为.‎ 故答案为7‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考集合真子集个数的问题，熟记公式，根据集合中所含元素的个数即可求解，属于基础题型.‎ ‎14．在平面直角坐标系中，若，，则的值为_______．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】由向量的坐标运算，先求，再由向量数量积的坐标运算公式即可求解.‎ ‎【详解】‎ 因为，，所以，所以.‎ 故答案为4‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量的坐标运算，熟记向量的坐标运算法则即可求解，属于基础题型.‎ ‎15．如图所示，在平面直角坐标系中，动点从点出发在单位圆上运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，则两点在第2019次相遇时，点P的坐标为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由两点相遇2019次，可求出两点的总路程，由两点的速度即可求出两点相遇2019次时所用的时间，进而可求出点所转的弧度，即可确定点位置.‎ ‎【详解】‎ 因为点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，两点相遇1次的路程是单位圆的周长即，所以两点相遇一次用了1秒，因此当两点相遇2019次时，共用了2019秒，‎ 所以此时点所转过的弧度为，‎ 由终边相同的角的概念可知，与终边相同，所以此时点位于y轴上，故点P的坐标为.‎ 答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查任意角，由终边相同的角的概念确定点位置，即可求解，属于基础题型.‎ ‎16．已知函数，，若对所有的，恒成立，则实数的值为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】用分类讨论的方法研究三种情况即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得恒成立，所以 ‎①当时，不等式可化为，即，不满足恒成立的条件，故舍去；‎ ‎②当时，不等式可化为，时，显然不等式成立，因为不等式恒成立，所以有且，即且，显然不成立，故舍去；‎ ‎③当时，不等式可化为，‎ 时，显然不等式成立，因为不等式恒成立，所以有且，即且，所以，即，解得或，因为，所以，‎ 综上，‎ 即答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查含参数的不等式，通常需要用到分类讨论的思想，属于常考题型.‎ 三、解答题 ‎17．设全集，集合，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）或（2）‎ ‎【解析】(1)先解不等式得到集合，进而可求其补集；‎ ‎(2)先由确定之间的包含关系，从而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由得或 故，即；‎ 又，则；‎ ‎（2）由得，‎ 又，‎ 则，即，‎ 故实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的混合运算，熟记相关概念和性质即可求解，属于基础题型.‎ ‎18．如图，已知河水自西向东流速为，设某人在静水中游泳的速度为 ‎，在流水中实际速度为．‎ ‎（1）若此人朝正南方向游去，且，求他实际前进方向与水流方向的夹角和的大小；‎ ‎（2）若此人实际前进方向与水流垂直，且，求他游泳的方向与水流方向的夹角和的大小．‎ ‎【答案】（1）,的大小为；（2）为，的大小为．‎ ‎【解析】用平面向量的方法求解，由向量的分解作出平行四边形，先设结合每一问的条件即可求解.‎ ‎【详解】‎ 解：如图，设，‎ 则由题意知，，‎ 根据向量加法的平行四边形法则得四边形为平行四边形．‎ ‎（1）由此人朝正南方向游去得四边形为矩形，且，如图所示，‎ 则在直角中，，‎ ‎，又，所以；‎ ‎（2）由题意知，且，，如图所示，‎ 则在直角中，，‎ ‎，又，所以，‎ 则．‎ 答：（1）他实际前进方向与水流方向的夹角为，的大小为；‎ ‎（2）他游泳的方向与水流方向的夹角为，的大小为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查平面向量在解三角形中的应用，需要熟记向量的基本定理，以及向量的模等概念，即可求解，分析的过程非常关键，计算量不大.‎ ‎19．已知函数．‎ ‎（1）将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象．若，求的值域；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由函数的图像变换，先求出函数的解析式，再结合三角函数的图像和性质即可求解；‎ ‎(2)根据和函数先求出，再用三角恒等变换，将所求式子化简，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 解:(1)将的图象上所有点横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到 的图象,则,‎ 又,则,‎ 所以当,即时取得最小值,‎ 当时即时取得最大值,‎ 所以函数的值域为.‎ ‎(2)因为,所以,‎ 则,‎ 又,‎ 则,‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的图像和性质，以及三角恒等变换，熟记三角函数的性质，以及相关公式，即可解题，属于基础题型.‎ ‎20．已知函数为偶函数，．‎ ‎（1）求的值，并讨论的单调性；‎ ‎（2）若，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）a=1,在上单调递增，在上单调递减．（2）‎ ‎【解析】(1)由函数的奇偶性，先求出，再由单调性的定义，即可判断其单调性；‎ ‎(2)由（1）确定的函数的单调性，可得和的大小，进而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为函数为偶函数，所以 所以，‎ 所以,‎ 化简得,所以．‎ 所以，定义域为 设为内任意两个数，且，‎ 所以，所以，‎ 所以，‎ 所以，所以在上单调递减，‎ 又因为函数为偶函数，所以在上单调递增，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减．‎ ‎（2）因为，由（1）可得，，‎ 所以，‎ 所以的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的基本性质，以及由函数的单调性解不等式，需要考生熟记函数的奇偶性以及单调性等，会用定义法判断函数的单调性即可，难度不大.‎ ‎21．如图，在中，，，分别在边上，且满足，‎ 为中点．‎ ‎（1）若，求实数的值；‎ ‎（2）若，求边的长．‎ ‎【答案】（1）（2）6‎ ‎【解析】(1)先由，确定向量与，与之间的关系，用与表示出，由对应系数相等，即可求出结果；‎ ‎（2）用向量，表示出向量和，再由向量数量积运算求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为，所以，‎ 所以，所以，‎ ‎（2）因为，‎ ‎，‎ 所以，‎ 设，因为，‎ 所以，又因为，‎ 所以，‎ 化简得，‎ 解得(负值舍去)，所以的长为6．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量的基本定理以及向量的数量积运算，只需熟记定理和公式即可求解，难度不大.‎ ‎22．已知函数．‎ ‎（1）若，，求的值；‎ ‎（2）若对任意的，满足，求的取值范围；‎ ‎（3）若在上的最小值为，求满足的所有实数的值．‎ ‎【答案】（1）的值为（2）（3）‎ ‎【解析】(1)将代入函数解析式，解对应的含绝对值方程即可；‎ ‎(2)由对任意的，满足，通过因式分解，约分，得到对任意的恒成立，进而去绝对值即可求出结果;‎ ‎(3)讨论函数对称轴的位置，得到，再由解方程即可求解.‎ ‎【详解】‎ 解:（1）因为,所以,‎ 所以,解得的值为.‎ ‎（2）对任意的，均有，‎ 则，即，‎ 所以，则，‎ 所以且对任意的恒成立，‎ 所以；‎ ‎(3)的对称轴为.‎ ‎①当时，即，最小值；‎ ‎②当时，即，；‎ ‎③当时，即，；‎ 所以.‎ 方法一：‎ 当时，，‎ ‎，即，则（舍）；‎ 当时，，‎ ‎，即，则（舍）；‎ 当时，，‎ ‎，即，则.‎ 综上所述，实数的取值集合为.‎ 方法二：‎ 引理:若当时，单调递减，当时，单调递减，则在上单调递减.‎ 证明如下：‎ 在上任取，且.‎ 若，因为当时，单调递减，则；‎ 若，因为当时，单调递减，则；‎ 若，则,综上可知，恒成立.‎ 由引理可知单调递减，则可得，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数与方程的综合，需要学生熟记三个二次之间的关系，以及函数的基本性质等，通常需要用到分类讨论的思想求解，属于常考题型.‎