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  • 2021-06-30 发布

2019届二轮复习(理)专题30不等关系与不等式学案(全国通用)

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‎1.了解现实世界和日常生活中的不等关系. ‎ ‎2.了解不等式(组)的实际背景. ‎ ‎3.掌握不等式的性质及应用.‎ ‎ ‎ ‎1.不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a>b⇔bb,b>c⇒a>c ‎⇒‎ 可加性 a>b⇔a+c>b+c ‎⇔‎ 可乘性 ⇒ac>bc] ] ]‎ 注意c的符号 学+ + ] ‎ ⇒acb+d ‎⇒‎ 同向同正可乘性 ⇒ac>bd ‎⇒‎ 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥1)‎ a,b同为正数 可开方性 a>b>0⇒>(n∈N,n≥2)‎ ‎2.不等式的一些常用性质 ‎(1)倒数的性质 ‎①a>b,ab>0⇒<.‎ ‎②a<0b>0,0.‎ ‎④0b>0,m>0,则 ‎①<;>(b-m>0).‎ ‎②>;<(b-m>0).‎ 高频考点一 比较不等式的大小 例1、(1)已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系是(  )‎ A.c≥b>a B.a>c≥b C.c>b>a D.a>c>b ‎(2)若<<0,给出下列不等式:①<;②|a|+b>0;③a->b-;④ln a2>ln b2.其中正确的不等式是(  )‎ A.①④ B.②③ C.①③ D.②④‎ ‎ ‎ ‎(2)法一 因为<<0,故可取a=-1,b=-2.‎ 显然|a|+b=1-2=-1<0,所以②错误;因为ln a2=ln(-1)2=0,ln b2=ln(-2)2=ln 4>0,所以④错误.综上所述,可排除A,B,D.‎ 法二 由<<0,可知b<a<0.①中,因为a+b<0,ab>0,所以<0,>0.故有<,即①正确; ‎ ‎②中,因为b<a<0,所以-b>-a>0.故-b>|a|,即|a|+b<0,故②错误;‎ ‎③中,因为b<a<0,又<<0,则->->0,‎ 所以a->b-,故③正确;‎ ‎④中,因为b<a<0,根据y=x2在(-∞,0)上为减函数,可得b2>a2>0,而y=ln x在定义域(0,+∞)上为增函数,所以ln b2>ln a2,故④错误.由以上分析,知①③正确.‎ 答案 (1)A (2)C ‎【感悟提升】比较大小的常用方法 ‎(1)作差法:‎ 一般步骤:①作差;②变形;③定号;④结论.其中关键是变形,常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时,有时也可以先平方再作差.‎ ‎(2)作商法:‎ 一般步骤:①作商;②变形;③判断商与1的大小;④结论.‎ ‎(3)函数的单调性法:将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值,根据函数的单调性得出大小关系.‎ ‎【变式探究】(1)已知p=a+,q=,其中a>2,x∈R,则p,q的大小关系是(  )‎ A.p≥q B.p>q C.pq D.p≥q 答案 B 解析 (作差法)p-q=+-a-b ‎=+=(b2-a2)· ‎==,‎ 因为a<0,b<0,所以a+b<0,ab>0.‎ 若a=b,则p-q=0,故p=q;若a≠b,则p-q<0,故p0>b>-a,cbc;②+<0;③a-c>b-d;④a(d-c)>b(d-c)中成立的个数是(  )‎ A.1 B.2‎ C.3 D.4‎ 答案 C 解析 ∵a>0>b,c0,‎ ‎∴ad0>b>-a,∴a>-b>0,‎ ‎∵c-d>0,‎ ‎∴a(-c)>(-b)(-d),‎ ‎∴ac+bd<0,∴+=<0,‎ 故②正确.‎ ‎∵c-d,‎ ‎∵a>b,∴a+(-c)>b+(-d),‎ a-c>b-d,故③正确.‎ ‎∵a>b,d-c>0,∴a(d-c)>b(d-c),‎ 故④正确,故选C.‎ 高频考点三 不等式性质的应用 例3、已知a>b>0,给出下列四个不等式:‎ ‎①a2>b2;②2a>2b-1;③>-;④a3+b3>2a2b.‎ 其中一定成立的不等式为(  )‎ A.①②③ B.①②④‎ C.①③④ D.②③④‎ 答案 A 方法二 令a=3,b=2, ‎ 可以得到①a2>b2,②2a>2b-1,③>-均成立,而④a3+b3>2a2b不成立,故选A.‎ ‎【感悟提升】(1)判断不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质.‎ ‎(2)在判断一个关于不等式的命题真假时,先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题真假,当然判断的同时还要用到其他知识,比如对数函数、指数函数的性质等.‎ ‎【变式探究】 (1)若a B.a2bn ‎(2)设a>b>1,c<0,给出下列三个结论:‎ ‎①>;②acloga(b-c).‎ 其中所有的正确结论的序号是(  )‎ A.① B.①②‎ C.②③ D.①②③‎ 答案 (1)C (2)D ‎ ‎ ‎(2)由不等式性质及a>b>1知<,‎ 又c<0,所以>,①正确;‎ 构造函数y=xc,‎ ‎∵c<0,∴y=xc在(0,+∞)上是减函数,‎ 又a>b>1,∴acb>1,c<0,∴a-c>b-c>1,‎ ‎∴logb(a-c)>loga(a-c)>loga(b-c),知③正确. ‎ 高频考点四 用特殊值判断不等式 例4、已知实数x,y满足axln (y2+1) B.sinx>siny C.x3>y3 D.> 解析 解法一:因为实数x,y满足axy.‎ 对于A,取x=1,y=-3,不成立;‎ 对于B,取x=π,y=-π,不成立;‎ 对于C,由于f(x)=x3在R上单调递增,故x3>y3成立;‎ 对于D,取x=2,y=-1,不成立.故选C.‎ 解法二:根据指数函数的性质得x>y,此时x2,y2‎ 的大小不确定,故选项A,D中的不等式不恒成立;根据三角函数的性质,选项B中的不等式也不恒成立;根据不等式的性质知,选项C中的不等式成立.‎ 答案 C ‎【方法技巧】(1)当选择题中包含不止一个结论时,宜采用边选边排除的方法.,(2)在判断多个不等式是否成立时,可采用特值法验证,若取值不能代表所有情况,可采用多次赋值法验证结论是否成立.                      ‎ ‎【变式探究】若<<0,则下列不等式:‎ ‎①<;②|a|+b>0;③a->b-;④ln a2>ln b2中,正确的不等式是(  )‎ A.①④ B.②③ C.①③ D.②④‎ 答案 C 解法二:由<<0,可知b0,所以<0,>0,‎ 故有<,故①正确,排除B、D;‎ ‎③中,因为bb-,故③正确,排除A.选C.‎ ‎1. (2018年全国Ⅲ卷理数)设,,则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎,即 又 即 故选B. ‎ ‎1. 【2016高考新课标1卷】若,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】C ‎1.【2015高考湖北,理10】设,表示不超过的最大整数. 若存在实数,使得,,…, 同时成立,则正整数的最大值是( )‎ ‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为表示不超过的最大整数.由得,由得,由得,所以,所以,由得,所以,由得,与矛盾,故正整数的最大值是4.‎ ‎2.【2015高考上海,理17】记方程①:,方程②:,方程③:,其中,,是正实数.当,,成等比数列时,下列选项中,能推出方程③无实根的是( )‎ A.方程①有实根,且②有实根 B.方程①有实根,且②无实根 C.方程①无实根,且②有实根 D.方程①无实根,且②无实根 ‎【答案】B ‎【解析】当方程①有实根,且②无实根时,,从而即方程③:无实根,选B.而A,D由于不等式方向不一致,不可推;C推出③有实根。学 . ‎ ‎3.(2014·山东卷)已知实数x,y满足ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是(  )‎ A. > B. ln(x2+1)>ln(y2+1) ‎ C. sin x>sin y D. x3>y3‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎ ‎4.(2014·四川卷)若a>b>0,c B.< ‎ C.> D.< ‎【答案】D ‎ ‎【解析】因为c<d<0,所以<<0,即->->0,与a>b>0对应相乘得,->->0,所以<.故选D.‎ ‎5.(2014·安徽卷)若函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,则实数a的值为(  )‎ A.5或8 B.-1或5‎ C.-1或-4 D.-4或8‎ ‎【答案】D ‎ ‎【解析】当a≥2时,‎ f(x)= ‎ ‎ 由图可知,当x=-时,fmin(x)=f=-+1=3,可得a=-4.综上可知,a的值为-4或8.‎ ‎6.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是(  )‎ A.(0,1) B. C. D. ‎【答案】B ‎ ‎【解析】方法一:易得△ABC面积为1,利用极限位置和特值法.当a=0时,易得b=1-;当a=时,易得b=;当a=1时,易得b=-1>.故选B.‎ 方法二:(直接法) y= ,y=ax+b与x 轴交于,结合图形与a>0 ,××=(a+b)2=a(a+1)>0a=.‎ ‎∵a>0,∴>0b<,当a=0时,极限位置易得b=1-,故答案为B.‎ ‎7.(2013·新课标全国卷Ⅱ)设a=log36,b=log510,c=log714,则(  )‎ A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c ‎【答案】D ‎ ‎ ‎

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