【数学】2020届一轮复习人教B版12-4　随机事件的概率与概率的基本性质学案 3页

‎12.4　随机事件的概率与概率的基本性质 典例精析 题型一　频率与概率 ‎【例1】某企业生产的乒乓球被08年北京奥委会指定为乒乓球比赛专用球.日前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示.‎ 抽取球数n ‎50‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎500‎ ‎1 000‎ ‎2 000‎ 优等品数m ‎45‎ ‎92‎ ‎194‎ ‎470‎ ‎954‎ ‎1 902‎ 优等品频率 ‎(1)计算表中乒乓球优等品的频率；‎ ‎(2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)‎ ‎【解析】(1)依据公式，计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900,0.920,0.970,‎ ‎0.940,0.954,0.951.‎ ‎(2)由(1)知，抽取的球数n不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取的球数的增多，却都在常数0.950的附近摆动，所以质量检查为优等品的概率为0.950.‎ ‎【点拨】从表中所给的数据可以看出，当所抽乒乓球较少时，优等品的频率波动很大，但当抽取的球数很大时，频率基本稳定在0.95，在其附近摆动，利用概率的统计定义，可估计该批乒乓球的优等率.‎ ‎【变式训练1】某篮球运动员在最近几场比赛中罚球的结果如下.‎ 投篮次数n ‎8‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎16‎ 进球次数m ‎6‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎12‎ 进球频率 ‎(1)计算表中进球的频率；‎ ‎(2)这位运动员投篮一次，进球的概率是多少？‎ ‎【解析】(1)由公式计算出每场比赛该运动员罚球进球的频率依次为：‎ ‎(2)由(1)知，每场比赛进球的频率虽然不同，但频率总在附近摆动，可知该运动员进球的概率为.‎ 题型二　随机事件间的关系 ‎【例2】从一副桥牌 (52张)中任取1张.判断下列每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件.‎ ‎(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；‎ ‎(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；‎ ‎(3)“抽出的牌点数为3的倍数”与“抽出的牌点数大于‎10”‎.‎ ‎【解析】(1)是互斥事件但不是对立事件.因为“抽出红桃”与“抽出黑桃”在仅取一张时不可能同时发生，因而是互斥的.同时，不能保证其中必有一个发生，因为还可能抽出“方块”或“梅花”，因此两者不对立.‎ ‎(2)是互斥事件又是对立事件.因为两者不可同时发生，但其中必有一个发生.‎ ‎(3)不是互斥事件，更不是对立事件.因为“抽出的牌点数为3的倍数”与“抽出的牌点数大于‎10”‎这两个事件有可能同时发生，如抽得12.‎ ‎【点拨】要区分互斥事件和对立事件的定义.‎ ‎【变式训练2】抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则A的对立事件为(　　)‎ A.至多两件次品 B.至多一件次品 C.至多两件正品 D.至少两件正品 ‎【解析】根据对立事件的定义得选项B.‎ 题型三　概率概念的应用 ‎【例3】 甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于或等于85分为优秀，85分以下为非优秀，统计后，得到如下列联表.‎ 优秀 非优秀 总计 甲 ‎10‎ 乙 ‎30‎ 总计 ‎105‎ 已知从全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为.‎ ‎(1)请完成上面列联表； ‎ ‎(2)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”(参考数据P(K2＞6.635)＝0.05)；‎ ‎(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10人按2到11进行编号，然后两次掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的编号.试求抽到6号或10号的概率.‎ ‎【解析】(1)‎ 优秀 非优秀 总计 甲 ‎10‎ ‎45‎ ‎55‎ 乙 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总计 ‎30‎ ‎75‎ ‎105‎ ‎(2)计算K2的一个观测值 k＝＝6. 109.‎ 因为6.109＜6.635，所以没有95%的把握认为成绩与班级有关.‎ ‎(3)记被抽取人的序号为ζ，‎ 则P(ζ＝6)＝，P(ζ＝10)＝，‎ 所以P(ζ＝6或ζ＝10)＝P(ζ＝6)＋P(ζ＝10)＝＝.‎ ‎【点拨】本题考查概率的概念在实际生活中的应用.‎ ‎【变式训练3】袋内有35个球，每个球上都记有从1~35中的一个号码，设号码为n的球的重量为－5n＋‎20克，这些球以等可能性从袋里取出(不受重量、号码的影响).‎ ‎(1)如果取出1球，试求其重量比号码数大5的概率；‎ ‎(2)如果任意取出2球，试求它们重量相等的概率.‎ ‎【解析】(1)由不等式－5n＋20＞n＋5，得n＞15或n＜3，‎ 由题意知n＝1,2或者n＝16,17，…，35，于是所求概率为.‎ ‎(2)设第n号和第m号的两个球的重量相等，‎ 其中n＜m，则有－5n＋20＝－‎5m＋20，‎ 所以(n－m)(n＋m－15)＝0.‎ 因为n≠m，所以n＋m＝15，‎ 所以(n，m)＝(1,14)，(2,13)，…，(7,8).‎ 故所求概率为.‎ 总结提高 ‎1.对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件.集合A的对立事件记作，从集合的角度来看，事件所含结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成集合的补集，即A∪＝U，A∩＝.对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.‎ 事件A、B的和记作A＋B，表示事件A、B至少有一个发生.当A、B为互斥事件时，事件A＋B是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A不发生”构成的.‎ 当计算事件A的概率P(A)比较困难时，有时计算它的对立事件的概率则要容易些，为此有P(A)＝1－P().‎ ‎2.若A与B互相独立，则与，A与，与B都是相互独立事件.判断A与B是否独立的方法是看P(AB)＝P(A)·P(B)是否成立. ‎