2021届课标版高考理科数学大一轮复习课件：5-1　平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标运算（讲解部分） 21页

考点一    平面向量的概念及线性运算 考点清单 考向基础 1.向量的有关概念及表示法 名称 定义 表示法 向量 既有 大小 又有 方向 的量叫向量; 向量的大小叫做向量的长度(或模) 向量:   ; 模:|   | 零向量 长度为0的向量叫零向量,其方向是 任意的 记作 0 单位向量 长度等于1个单位的向量 常用 e 表示 平行向量 方向 相同 或 相反 的非零向量 a 与 b 共线可记为 a ∥ b ; 0 与任一向量共线 共线向量 平行向量又叫做共线向量 相等向量 长度 相等 且方向 相同 的向量 a = b 相反向量 长度 相等 且方向 相反 的向量 a 与 b 互为相反向量,则 a =- b ; 0 的相反向量为 0 2.平面向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律: a + b = b + a ; (2)结合律: ( a + b )+ c = a +( b + c ) 减法 求 a 与 b 的相反向量- b 的 和的运算 三角形法则 — 数乘 求实数 λ 与向量 a 的积 的运算 (1)| λ a |=| λ || a |; (2)当 λ >0时, λ a 与 a 的方向 相同 ;当 λ <0时, λ a 与 a 的方向 相反 ;当 λ =0时, λ a =0 λ ( μ a )= ( λμ ) a ; ( λ + μ ) a = λ a + μ a ; λ ( a + b )= λ a + λ b 3.向量的共线问题 　　向量共线的判断: (1)若 a 与 b 是两个非零向量,则它们共线的充要条件是有且只有一个实数 λ , 使得 b = λ a ; (2)若 a 与 b 是两个非零向量,则它们共线的充要条件是存在两个均不是零的 实数 λ 、 μ ,使得 λ a + μ b = 0 . 【知识拓展】 (1) A 、 B 、 C 三点共线 ⇔   = λ   + μ   且 λ + μ =1.特别地,当 λ = μ =   时, C 为线 段 AB 的中点. (2)|| a |-| b || ≤ | a ± b | ≤ | a |+| b |. (3)三角形重心的向量公式:在△ ABC 中,若 G 为△ ABC 的重心,则   +   +   = 0 . 考向突破 考向一    平面向量的概念及线性运算 例1 　如图, D , E , F 分别是△ ABC 的边 AB , BC , CA 的中点,则       (　　)   A.   +   +   =0　　　　    B.   -   +   =0 C.   +   -   =0　　　　    D.   -   -   =0 解析 　∵   =   , ∴   +   =   +   =   =   , ∴   +   +   =   +   =0. 答案     A 考向二    向量的共线问题 例2  如图所示,在△ ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点 O 的直线分别交直线 AB 、 AC 于不同的两点 M 、 N ,若   = m   ,   = n   ,则 m + n 的值为 　　　     . 解析 　解法一:连接 AO ,由于 O 为 BC 的中点,故   =   (   +   ),   =   -   =   (   +   )-     =     +     , 同理   =     +     . 由于向量   ,   共线,故存在实数 λ ,使得   = λ   , 即     +     = λ   , 由于   ,   不共线,故得   -   =   λ 且   = λ   , 解得 m + n =2. 解法二:连接 AO ,∵ O 是 BC 的中点, ∴   =   (   +   ). 又∵   = m   ,   = n   ,∴   =     +     . ∵ M 、 O 、 N 三点共线,∴   +   =1.∴ m + n =2. 答案 　2 考点二    平面向量基本定理及坐标运算 考向基础 1.平面向量基本定理 如果 e 1 、 e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意 向量 a ,有且只有一对实数 λ 1 、 λ 2 ,使 a = λ 1 e 1 + λ 2 e 2 . 其中,不共线的向量 e 1 、 e 2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的坐标表示 (1)在平面直角坐标系中,分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基底.对于平面内的一个向量 a ,由平面向量基本定理知,有且只有一对 实数 x 、 y ,使得 a = x i + y j ,这样,平面内的任一向量 a 都可由 x 、 y 唯一确定,我们 把有序数对 ( x , y ) 叫做向量 a 的坐标,记作 a =( x , y ) ,其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标, y 叫做 a 在 y 轴上的坐标,显然 0 =(0,0), i =(1,0), j =(0,1). (2)设   = x i + y j ,则向量   的坐标( x , y )就是终点 A 的坐标,即若   =( x , y ),则 A 点坐标为( x , y ),反之亦成立( O 是坐标原点). 3.平面向量的坐标运算 (1)加法、减法、数乘运算 　　(2)向量坐标的求法 已知 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ),则   =( x 2 - x 1 , y 2 - y 1 ),即一个向量的坐标等于 该向量终点 的坐标减去始点的坐标 . (3)平面向量共线的坐标表示 设 a =( x 1 , y 1 ), b =( x 2 , y 2 ),其中 b ≠ 0,则 a 与 b 共线 ⇔ a = λb ⇔ x 1 y 2 - x 2 y 1 =0 . 向量 a b a + b a - b λ a 坐标 ( x 1 , y 1 ) ( x 2 , y 2 ) ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) ( x 1 - x 2 , y 1 - y 2 ) ( λx 1 , λy 1 ) 考向突破 考向一    平面向量基本定理的应用 例1     (2019豫南九校第三次联考,8)如图所示,在△ ABC 中,点 M 是 AB 的中 点,且   =     , BN 与 CM 相交于点 E ,设   = a ,   = b ,则   等于   (　　)   A.   a +   b 　　　　    B.   a +   b C.   a +   b 　　　　    D.   a +   b 解析 　由题意得   =     =   b ,   =     =   a , 由 N , E , B 三点共线可知,存在实数 m ,满足   = m   +(1- m )   =   m b +(1- m ) a . 由 C , E , M 三点共线可知,存在实数 n ,满足   = n   +(1- n )   =   n a +(1- n ) b , 所以   m b +(1- m ) a =   n a +(1- n ) b , 因为 a , b 为基底,所以   解得   所以   =   a +   b ,故选A. 答案     A 考向二    平面向量的坐标运算 例2 　向量 a , b , c 在正方形网格中的位置如图所示.若 c = λ a + μ b ( λ , μ ∈R),则   = 　　　     .   解析 以向量 a 和 b 的交点为坐标原点建立如图所示的坐标系,设每个小正方形的边长为1个单位,则 A (1,-1), B (6,2), C (5,-1),所以 a =   =(-1,1), b =   =(6,2), c =   =(-1,-3).由 c = λ a + μ b 可得   解得   所以   =4. 答案 　4 方法1      平面向量的线性运算技巧和数形结合的方法 1.解题的关键在于理清构成三角形的三个向量间的相互关系,能熟练地找 出图形中的相等向量,能熟练地运用相反向量将加减法相互转化. 2.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:(1)观察各向量的位置; (2)寻找相应的三角形或多边形;(3)运用法则找关系;(4)化简结果. 3.适当选择基底是解题关键. 方法技巧 例1     (2018吉林长春模拟,6) D 为三角形 ABC 所在平面内一点,且   =     +     ,则   =   (　　) A.   　　　　    B.   　　　　    C.   　　　　    D.   解题导引   解析 　如图,分别取 AC , BC 的中点 E , F ,连接 EF , BE .因为   =     +     =     +   ,所以 EF 上靠近点 F 的三等分点即为点 D , 故 S △ BCD =   S △ BEC =   S △ ABC , S △ ABD =   S △ ABC , ∴   =   =   .故选B.   答案     B 方法2      平面向量基本定理的应用策略与坐标运算技巧 用平面向量基本定理解决问题的一般思路:先选择一组基底,并运用平面向 量基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合,再通过向量的运算来证 明.在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便.另外,要熟 练运用线段中点的向量表达式. 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘的运算法则进行的,若已知有向 线段两端点的坐标,则应先求出向量坐标.注意一个向量的坐标等于表示此 向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.如:若 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ),则有   =( x 2 - x 1 , y 2 - y 1 ). 例2     (2019河北邯郸重点中学9月联考,11)给定两个长度为1的平面向量   和   ,它们的夹角为120 ° ,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上运动,若   = x   + y   ,则 x + y 的最大值是   (　　) A.   　　　　    B.1　　　　    C.   　　　　    D.2 解题导引   解析　 以 O 为原点, OA 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系,如图所示,   则 A (1,0), B   , C (cos θ ,sin θ )   . ∵   = x   + y   ,∴   ∴   ∴ x + y =   sin θ +cos θ +   sin θ =   sin θ +cos θ =2sin   . 又知0 ≤ θ ≤   π,∴sin   ∈   ,∴当 θ =   时, x + y 取最大值2,故选D. 答案     D