数学经典易错题会诊与高考试题预测1 19页

经典易错题会诊与2012届高考试题预测(一)‎ 考点1 集合与简易逻辑 集合的概念与性质 集合与不等式 ‎ 集合的应用 简易逻辑 充要条件 集合的运算 逻辑在集合中的运用 集合的工具性 真假命题的判断 充要条件的应用 经典易错题会诊 命题角度1 集合的概念与性质 ‎ 1．(典型例题)设全集U=R，集合M=｛x|x＞1｝，P=｛x|x2＞1｝，则下列关系中正确的是 ( )‎ ‎ A.M=P B．PM ‎ C.MP D．CUP=ø ‎ [考场错解] D ‎ [专家把脉] 忽视集合P中，x＜-1部分．‎ ‎[对症下药] C ∵x2＞1 ∴x＞1或x＜-1．故MP． ‎ ‎2．(典型例题)设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=｛a+b|aP，bQ｝，若P｛0，2，5｝，Q=｛1，2，6｝，则P+Q中元素的个数是（ ）‎ ‎ A．9 B．8‎ ‎ C．7 D．6‎ ‎ [考场错解] A P中元素与Q中元素之和共有9个． ‎ ‎ [专家把脉] 忽视元素的互异性，即和相等的只能算一个．‎ ‎[对症下药] B P中元素分别与Q中元素相加和分别为1，2，3，4，6，7，8，11共8个． ‎ ‎3．(典型例题)设f(n)=2n+1(nN)，P=｛l，2，3，4，5｝，Q={3，4，5，6，7},记=｛nN|f(n) P｝，=｛nN|f(n) ‎ 则(CN) (CN)等于 ( )‎ ‎ A．｛0，3｝ B．｛1，7｝‎ ‎ C．｛3，4，5｝ D．｛1，2，6，7｝‎ ‎ [考场错解] D PCNQ=｛6，7｝．QCNP=｛1，2｝．故选D．‎ ‎ [专家把脉] 未理解集合 的意义.‎ ‎ [对症下药] B ∵ =｛1，3，5｝．=｛3，5，7｝．∴CN=｛1｝. CN=｛7｝．故选B． ‎ ‎4．(典型例题)设A、B为两个集合，下列四个命题：‎ ‎ ①A B对任意xA,有x B；②A B AB=ø;③A B A B;④A B存在xA, 使得xB.其中真命题的序号是_____.‎ ‎ [考场错解] ∵A B，即A不是B的子集，对于x A，有x B;A B=ø，故①②④正确．‎ ‎ [专家把脉] 对集合的概念理解不清．∵A B，即A不是B的子集，但是A，B可以有公共部分，即存在x A，使得x B.不是对任意x A,有x B，故④正确．“A B”是“任意x A，有xB”的必要非充分条件．②同①.‎ ‎ [对症下药] 画出集合A，B的文氏图或举例A=｛1，2｝，B=｛2，3，4｝，故①、②均不成立，③A｛1，2，3｝，B=｛1,2｝,∴A B但BA，故也错.只有④正确，符合集合定义．故填④ ‎ ‎5．(典型例题Ⅰ)设A、B、I均为非空集合，且满足ABI，则下列各式中错误的是 ( )‎ ‎ A．（CIA）B=I ‎ B．(CIA) (CIB)=I ‎ C．A(CIB)=ø ‎ D．(CIA)(CIB)= CIB ‎ [考场错解] 因为集合A与B的补集的交集为A，B的交集的补集．故选D．‎ ‎ [专家把脉] 对集合A，B，I满足ABI的条件，即集合之间包含关系理解不清．‎ ‎ [对症下药] 如图是符合题意的韦恩图.‎ ‎ 从图中可观察A、C、D均正确，只有B不成立．或运用特例法，如A=｛1，2，3｝，B=｛1，2，3.4｝，I=｛1，2，3，4，5｝．逐个检验只有B错误．‎ ‎ 专家会诊 ‎ 1．解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|xP}，要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，充分运用数形结合(数轴，坐标系，文氏图)或特例法解集合与集合的包含关系以及集合的运算问题，直观地解决问题．‎ ‎2．注意空集ø的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如AB，则有A=ø或Aø 两种可能，此时应分类讨论．‎ 考场思维训练 ‎ ‎1 全集U=R，集合M={1，2，3，4}，集合N=，则M(CUN)等于 ( ) ‎ A．{4} B．{3，4} ‎ C．{2，3，4} D． {1，2，3，4}‎ 答案：B 解析：由N=CUN=‎ ‎2 设集合M={x|x=‎3m+1，m∈Z}，N=y|y{=3n+2，n∈Z}，若x0∈M,y0∈N，则x0y0‎ 与集合M,N的关系是 ( ) ‎ A.x0y0∈M B．x0y0MMM ‎ C.x0y0∈N D．x0y0N 答案：C 解析：∵xo ‎3 设M={x|x‎4a，a∈R}，N={y|y=3x，x∈R}，则 ( )‎ ‎ A．M∩N=Ø B．M=N C. MN D. MN ‎ 答案：B 解析：M=‎ ‎4 已知集合A={0，2，3}，B={x|x=ab,a、b∈A且a≠b}，则B的子集的个数是 ( )‎ A．4 B．‎8 C．16 D．15 ‎ 答案：解析：它的子集的个数为22=4。‎ ‎5 设集合M=｛(x，y)|x=(y+3)·|y-1|+(y+3)，-≤y≤3｝，若(a，b)∈M，且对M中的其他元素(c，d)，总有c≥a，则a=_____.‎ 答案：解析：依题可知，本题等价于求函数不胜数x=f(y)=(y+3).|y-1|+(y+3)在 （1） 当 ‎1≤y≤3时，x=(y+3)(y-1)+(y+3)=y2+3y=(y+)2-‎ 命题角度 2 集合与不等式 ‎1．(典型例题)集合A=，B={x|x-b|＜a＝，若“a=‎1”‎是“A∩B≠Ø”的充分条件，则b的取值范围是 ( )‎ ‎ A．-2≤b<2 B．-20时，t≥恒成立，所以-1≥,解得m≥2；当m<0时，t≤恒成立，所以1≤，解得m≤-2．‎ ‎ 综上：故不存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立．‎ ‎ [专家把脉] (1)讨论x求参数的范围，最后应求参数的交集而不是并集．因为x∈[-1，1]时,f(x)≥0恒成立．(2)注意对求出的m的值范围求并集而不是交集．‎ ‎ [对症下药] (1)因为f(x)=(x∈R)，所以f′(x)=，依题意f′(x)≥0在[-1，1]上恒成立，即2x2-2ax-4≤0在[-1，1]上恒成立．‎ ‎ 当x=0时，a∈R；当00时，t≥恒成立，所以-1≥，解得m≥2；当m<0时，t≤恒成立，所以1<，解得m≤-2．‎ ‎ 综上：存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，m的取值范围是｛m|m≥2或m≤-｝2(注意对求出的m的取值范围求并集)．‎ 方法2：方程f(x)=变形为x2-ax-2=0，|x1-x2|=,又-1≤a≤1，所以|x1-x2|=的最大值为3，m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立等价于m2+tm+1≥3在t∈[-1，1]恒成立，令g(t)=tm+m2-2，有g(-1)=m2+m-2≥0，g(1)=m2-m-2≥0，解得{m|m≥2或m≤-2}．(注意对求出的m的取值范围求交集)．‎ 专家会诊 讨论参数a的范围时，对各种情况得出的参数a的范围，要分清是“或”还是“且”的关系，是“或”只能求并集，是“且”则求交集.‎ 考场思维训练 ‎1 设[x]表示不超过x的最大整数，则不等式[x]2-5[x]+6≤0的解集为 ( )‎ ‎ A．(2，3) B．[2，3]‎ C．[2，4] D．[2，4] ‎ 答案：C 解析：由[x]2-5[x]+6≤0,解得2≤[x] ≤3,由[x]的定义知2≤x<4所选C.‎ ‎2 已知不等式|x-m|<1成立的充分非必要条件是，则实数m的取值范围是 ( )‎ ‎ A. B.‎ C. D. ‎ 答案：B解析：因不等式|x-m|<1等价于m-11时，则超过2个元素，注意区间端点．‎ ‎ [对症下药] 由Sω∩(a，a+1)的元素不超过两个,∴周期×<1．∴ω＞π又∵有a使Sω∩(a，a+1)含两个元素，∴周期≥1．∴ω≤2π．故ω∈(π，2π)．‎ ‎ 2．(典型例题)设函数f(x)=-(x∈R)，区间M=[a,b](a0．f(x)=-1+,∴f(x)在(0，+∞)上为减函数，即y=f(x)在[a，b]上为减函数，∴y=f(x)的值域为 ,∴N∈‎ ‎ ∵M=N，∴MN∴a≥，且b≤，故有无数组解．‎ ‎ [专家把脉] 错误地理解了M=N,只是MN,忽视了M=N，包含MN和NM两层含义． ‎ ‎[对症下药]∵f(x)=，∵y=f(x)在[a，b]上为减函数 ∴‎ y=f(x)的值域为 ‎∵N={y|y=f(x)}，∴N表示f(x)的值域-b ‎∴M=N，∴,而已知a0，得(x-a-1)(x‎-2a)<0．∵a<1，∴a+1>‎2a，∴B=(‎2a，a+1)‎ ‎ ∵BA ∴‎2a>1或a+1≤-1 ∴a>或a≤-2又∵a<1∴a≤-2或‎2a，∴B=(‎2a，a+1) ‎ ‎∵BA,∴‎2a≥1或a+1≤-1，即a≥或a≤-2，而a<1,∴≤a<1或a≤-2，故当BA时，实数a的范围是(-∞，-2)∪[，1]．‎ 专家会诊 集合与不等式、集合与函数、集合与方程等，都有紧密联系.因为集合是一种数学工具.在运用时注意知识的融会贯通.有时要用到分类讨论，数形结合的思想.‎ 考场思维训练 ‎1 已知集合A={x|(a2-a)x+1=0，x∈R}，B={x|ax2-x+1=0，x∈R},若A∪B=Ø，则a的值为 ( ) A．0 B．‎1 C．0或1 D．0或4 ‎ 答案：B 解析：AUB=ø，∴A= ø且B=ø，由A=ø得a=0或1；由B=ø 得a>0且△<0,解得a>‎ ‎2 设集合P={3，4，5}，Q={4，5，6，7}定义P※Q={(a，b)|a∈p，b∈Q，则P※Q中元素的个数为 ( )‎ A．3 B．‎4 C．7 D．12 ‎ 答案：D ‎3 已知关于x的不等式0的解集为M. ‎ ‎ (1)a=4时，求集合M；‎ 答案：(1)当a=4时，原不等式可化为，即 ‎ (2)若3∈M且‎5‎M，求实数a的取值范围．‎ 答案：由3 ①‎ 由                    　②‎ 由①、②得 命题角度4 简易逻辑 ‎ ‎1．(典型例题)对任意实数a、b、c，给出下列命题：‎ ‎ ①“a=b”是“ac=bc”的充要条件；②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a>b”是“a2＞b‎2”‎的充分条件；④“a<‎5”‎是“a<‎3”‎的必要条件．‎ ‎ 其中真命题的个数是 ( )‎ ‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ ‎ [考场错解] D ‎ [专家把脉] 忽视①中c=0的情况，③中a，b小于0的情况．‎ ‎[对症下药] B ①中c=0时，非必要条件；③中0>a>b时，非充分条件，②④正确． ‎ ‎2．(典型例题)给出下列三个命题 ‎ ①若a≥b＞-1，则 ‎ ②若正整数m和n满足m≤n，则 ‎ ③设P(x1，y1)为圆O1：x2+y2=9上任一点，圆O2以Q(a，b)为圆心且半径为1．当(a-x1)2+(b-y1)2=1时，圆O1与圆O2相切 其中假命题的个数为 ( )‎ ‎ A．0 B．‎1 C．2 D．3‎ ‎ [考场错解] A ‎ [专家把脉] ③中(a-x1)2+(b-y1)2=1时，即圆 O2与O1上任一点距离为1，并不一定相切．‎ ‎ [对症下药] B ‎ ‎3．(典型例题)设原命题是“已知a，b，c，d是实数，若a=b，c=d，则a+c=b+d”，则它的逆否命题是( )‎ ‎ A.已知a，b，c，d是实数，若a+c≠b+d，则a≠b且c≠d ‎ B.已知a，b，c，d是实数，若a+c≠b+d，则a≠b或c≠d ‎ C.若a+c≠b+d，则a，b，c，d不是实数，且a≠b，c≠d ‎ D.以上全不对 ‎ [考场错解] A ‎ [专家把脉] 没有分清“且”的否定是“或”，“或”的否定是“且”.‎ ‎ [对症下药] B 逆否命题是“已知a，b，c，d是实数，若a+c≠b+d，则a≠b或c≠d”． ‎ ‎4．(典型例题)已知c>0，设P：函数y=cx在R上单调递减；Q：不等式x+|x‎-2c|＞1的解集为R，如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围．‎ ‎ [考场错解] 由函数y=cx在R上单调递减，得0＜c<1;∵x+|x‎-2c|=所以函数y=x+|x‎-2c|在R上的最小值为‎2c，因为不等式 x+|x‎-2c|>1的解集为R，所以‎2c>1，得c>．‎ ‎ 如果P真，得0．‎ ‎ 所以c的取值范围是(0，+∞)． [专家把脉] 将P和Q有且仅有一个正确，错误理解成P正确或Q正确．‎ ‎ [对症下药] 由函数y=cx在R上单调递减，得0＜c<1；∵x+|x‎-2c|=所以函数y=x+|x‎-2c|在R上的最小值为‎2c，因为不等式x+|x‎-2c|>1的解集为R，所以‎2c>1，得c>． ‎ ‎ 如果P真Q假，则0＜c≤；如果Q真P假，则c≥1．‎ 所以c的取值范围是(0, )∪[1,+∞]‎ 专家会诊 1．在判断一个结论是否正确时，若正面不好判断，可以先假设它不成立，再推出矛盾，这就是正难则反．‎ ‎2．求解范围的题目，要正确使用逻辑连结词，“且”对应的是集合的交集，“或”对应的是集合的并集．‎ 考场思维训练 ‎ ‎1 已知条件P：|x+1|>2，条件q：5x-6>x2，则p是q的 ( )‎ ‎ A.充要条件 B．充分但不必要条件 C.必要但不充分条件 D.既非充分也非必要条件 ‎ 答案：Ｂ解析：p:x<-3或x>1,q:21⇒a<2.‎ 若p为真，q为假时，无解；若p为假，q为真时，结果为10 B．b>0且c<0 ‎ C．b<0且c=0 D．b≥0且c=0‎ ‎ [考场错解] B △=b2‎-4ac．当c<0时，△>0．故f(x)有两个不同实根，∴x有7个不同根．‎ ‎ [专家把脉] ∵f(x)的根为正时，x有4个不同实根．应考虑f(x)的根的正负．‎ ‎ [对症下药] C 当x=1时f(x)=0，∴c=0．‎ ‎ 当x≠1时,f(x)=|‎1g|x-1||，∴f2(x)+bf(x)+c=‎1g2|x-1|+b|‎‎1g ‎|x-1||=0．即，|‎1g|x-1||(‎1g|x-1|+b)=0，‎ ‎ ∴‎1g|x-1|=0或‎1g|x-1|=-b，∴x=2或x=0或‎1g|x-1|=-b①∴b<0．①式有4个不同实根故c=0且b<0，恰有7个不同实根 ‎ ‎3．(典型例题)若非空集合MN，则a∈M或a∈N是a∈(M∩N)的 ( )‎ ‎ A.充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎ [考场错解] a∈(M∩N)的意思是a∈M且a∈N，所以a∈M或a∈N不能推出a∈(M∩N)，同样a∈(M∩N)也不能推出a∈M或a∈N，所以a∈M或a∈N是a∈(M∩N)的既不充分也不必要条件，所以选D．‎ ‎ [专家把脉] “或”与“且”理解错误，逻辑中的“或”与生活中的“或”有区别，a∈M或a∈N包括三种：a∈M但aN；a∈N但a M；a∈M且a∈N.所以a∈(M∩N)可以推得a∈M或a∈N.‎ ‎[对症下药] a∈(M∩N)的意思是a∈M且a∈N，而a∈M或a∈N包括三种：a∈M但aN；a∈N但aM；a∈M且a∈N，所以a∈M或a∈N不能推出a∈(M∩N)；a∈(M∩N)可以推得a∈M或a∈N.所以选B． ‎ ‎4．(典型例题)设命题p：关于x的不等式a1x2+b1x+c1＞0与a2x2+b2x+c2>0的解集相同；命题q：，则命题p是命题g的 ( )‎ ‎ A.充分但不必要条件 ‎ B．必要但不充分条件 ‎ C．充要条件 ‎ D．既不充分也不必要条件 [考场错解] 因为，所以不等式a1x2+b1x+c1>0与a2x2+b2x+c2>0是等价的不等式，解集相同，所以q能推出p而不等式a1x2+b1x+c1>0与a2x2+ b2x+c2>0的解集相同不能得出，所以选B．‎ ‎ [专家把脉] 因为若a1与a2的符号不同，这时a1x2+b1x+c1>0与a2x2+b2x+c2>0的解集不相同，如-x2+3x-2>0与x2-3x+2>0，尽管=-1，但它们的解集不相同，所以q不能推出P. ‎ ‎[对症下药] 因为，若a1与a2的符号不同，这时alx2+b1x+c1>0与a2x2+b2x+c2>0的解集不相同，所以q不能推出p；不等式x2+x+3>0与x2+1> 0的解集相同，但，所以p不能推出q，所以选D．‎ 专家会诊 ‎ (1)要理解“充分条件”“必要条件”的概念：当“若p则q”形式的命题为真时，就记作pq称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件,因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假. ‎ ‎ (2)要理解“充要条件”的概念，对于符号“”要熟悉它的各种同义词语：“等价于”，“当且仅当”，“必须并且只需”，“……，反之也真”等． ‎ ‎ (3)数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质． ‎ ‎ (4)从集合观点看，若AB，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；若A=B，则A、B互为充要条依.‎ ‎ (5)证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性)． ‎ 考场思维训练 ‎ ‎1 设ab、是非零向量，则使a·b=|a||b|成立的一个必要非充分条件是 ( )‎ ‎ A．a=b B．a⊥b ‎ C．a∥b D．a=λb(>0)‎ 答案：Ｃ解析：由a·b=|a| |b|可得a∥b;但a∥b, a·b=±|a| |b|, 故使a·b=|a| |b| 成立的一个必要充分条件是：a∥b.故选Ｃ.‎ ‎ 2若条件甲：平面α内任一直线平行于平面β，条件乙：平面α∥平面β，则条件甲是条件乙的 ( )‎ ‎ A．充分不必要条件 ‎ B．必要不充分条件 ‎ C. 充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎ 答案：C 解析：甲乙可以互推。选Ｃ.‎ ‎3.已知函数f(x)=ax+b(0≤x<1)，则a+2b>0是f(x)>0在[0，1]上恒成立的 ( )‎ ‎ A.充分不必要条件 ‎ B.必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 ‎ 答案：B 解析：∵f(x)>0在［０，１］上恒成立⇒a+2b>0,但a+2b>0推不出f(x)>0在［０，１］上恒成立。‎ ‎4 命题A：|x-1|<3，命题B：(x+2)(x+a)<0，若A是B的充分不必要条件，则a的取值范围是( )‎ ‎ A．(4，+∞) B．[4，+∞]‎ C．(-∞，-4) D．(-∞，-4)‎ 答案：Ｃ ‎ 探究开放题预测 预测角度1 集合的运算 ‎ ‎1．设I是全集，非空集合P、Q满足PQI，若含P、Q的一个运算表达式，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是_______；如果推广到三个，即PQRI，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是_______.(只要求写出一个表达式)．‎ ‎ [解题思路] 画出集合P、Q、I的文氏图就可以看出三个集合之间的关系，从它们的关系中构造集合表达式，使之运算结果为空集．‎ ‎ [解答] 画出集合P、Q、I的文氏图，可得满足PQI，含P、Q的一个运算表达式，使运算结果为空集的表达式可以是P∩(CIQ)；同理满足PQRI，使运算结果为空集的表达式可以是(P∩Q)∩(CIR)，或(P∩Q) ∩(CIR)．答案不唯一． ‎ ‎2．设A={(x，y)|y2-x-1=0}，B={(x，y)|4x2+2x-2y+5=0}，C={(x，y)|y=kx+b}，是否存在k、b∈N，使得(A∪B)∩C=Ø，证明此结论．‎ ‎ [解题思路] 由集合A与集合B中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行限制，可得到b、k的范围，又因b、k∈N，进而可得值．‎ ‎ [解答] ∵(A∪B) ∩C=Ø,‎ ‎ ∴A∩C=Ø且B∩C=Ø ‎ ∵‎ ‎ ∴k2x2+(2bk-1)x+b2-1=0‎ ‎ ∵A∩C=Ø ‎ ∴△1=(2bk-1)2-4k2(b2-1)<0‎ ‎∴4k2-4bk+1＜0，此不等式有解，其充要条件是 16b2-16>0，即b2>1 ①‎ ‎∴‎ ‎∴4x2+(2-2k)x+(5+2b)=0‎ ‎∴B∩C=Ø，‎ ‎∴△2(1-k)2-4(5-2b)<0‎ ‎∴k2-2k+8b-19<0，从而8b<20，即b<2．5 ②‎ 由①②及b∈N，得b=2代入由△1<0和△2<0组成的不等式组，得 ‎ ‎∴k=1，故存在自然数k=1，b=2，使得(A∪B) ∩C=Ø．‎ 预测角度2 逻辑在集合中的运用 ‎1.已知不等式： ①|x+3|>|2x|；②;③2x2+mx-1＜0． ‎ (1) 若同时满足①、②的x也满足③，求m的取值范围； ‎ (2) 若满足③的x至少满足①、②中的一个，求m的取值范围． ‎ ‎[解题思路] (1)若同时满足①、②的x也满足③，即求出不等式①、②的交集是③的解集的子集；第(2)问，若满足③的x至少满足①、②中的一个，即满足③的x满足①、②的并集．‎ ‎ [解答] (1)由|x+3|＞| 2x|得-14＝．‎ ‎①∩②={x|x≤-1或x＞4}，补集为(-1，4)，即方程2x2+mx-1<0的两根在(-1，4)内，由根的分布可得-≤m<1． ‎ ‎2．集合A={x|x2-ax+a2-19=0}，B={x|log2(x2-5x+8)=1}，C={x|x2+2x-8=0},求当a取什么实数时，A∩B Ø和A∩C=Ø同时成立．‎ ‎ [解题思路] 求出集合B，C.由A∩B Ø，即A∩B≠Ø,从而求a.，由A∩C=Ø，来检验．‎ ‎ [解答] log2(x2-5x+8)=1，由此得x2-5x+8=2，∴B={2，3}．由x2+2x-8=0，∴C={2，-4}，又A∩C=Ø，∴2和-4都不是关于x的方程x2-ax+a2-19=0的解，而A∩B Ø，即A∩B≠Ø，‎ ‎ ∴3是关于x的方程x2-ax+a2-19=0的解，∴可得a=5或a=-2．‎ 当a=5时，得A={2，3}，A∩二{2}，这与A∩C=Ø不符合，所以a=5(舍去)；当a=-2时，可以求得A={3，-5}，符合A∩C=Ø，A∩B Ø，∴a=-2．‎ 预测角度3 集合的工具性 ‎ ‎1．已知{an}是等差数列，d为公差且不为零，a1和d均为实数，它的前n项和为Sn，设集合A={(an，)|n∈N*},B={(x,y)|x2-y2=1，x，y∈R}，试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明．‎ ‎ (1)若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；‎ ‎ (2)A∩B中至多有一个元素； ‎ ‎ (3)当a1≠0时，一定有A∩B≠Ø．‎ ‎[解题思路] (1)要证明这些点都在同一条直线上；即证任意两点的斜率相等；(2)A∩B中至多有一个元素；集合A，B所表示的曲线至多有一个交点；(3)当a1≠0时，集合A，B所表示的曲线一定有交点． ‎ ‎[解答](1)an=a1+(n-1)d，=a1+d，An=[a1+(n-1)d，a1+d]‎ ‎∵=，‎ ‎∴这些点都在同一条直线上．‎ ‎ (2)方法1(几何法)：集合A表示的点在直线y=x+a1上，集合B表示的点在双曲线x2-y2=1上，由数形结合可知，当a1≠O时，直线y=x+a1与双曲线x2-y2‎ ‎=1只有一个交点，当a1=0时，直线y=x+a1与双曲线x2-y2=1无交点．‎ ‎ 故A∩B中至多有一个元素；‎ ‎ 方法2(代数法)：集合A表示的点在直线y=x+a1上，集合B表示的点在双曲线x2-y2=1上，将y=x+a1代入方程x2-y2=1，化成关于x的方程 ‎2a1x++4=0，当a1=0时，x无解，当a1≠0时，x有惟一解．故A∩B中至多有一个元素；‎ ‎(3)由(2)可知，当a1≠0时，直线y=x+a1与双曲线x2-y2=1只有一个交点，A∩B中有一个元素．故一定有A∩B≠Ø． ‎ ‎2．设M是满足下列两个条件的函数f(x)的集合：①f(x)的定义域是[-1，1]；②若x1，x2∈[-1，1]，则|f(x1)-f(x2)|≤4|x1-x2|．试问：‎ ‎ (1)定义在[-1，1]上的函数g(x)=x2+3x+2005是否属于集合M?并说明理由；‎ ‎ (2)定义在[-1，1]上的函数h(x)=4sinx+2006是否属于集合M?并说明理由．‎ ‎ [解题思路] 判断函数g(x)与h(x)的集合是否属于集合M，即证明函数g(x)与h(x)是否满足下列两个条件①f(x)的定义域是[-1，1]；②若x1，x2∈[-1，1]，则 |f(x1)-f(x2)|≤4|x1-x2|．‎ ‎ [解答] (1)|g(x1)-g(x2)|=|+3x1--3x2|=|x1-x2||x1+x2+3|，∵-2≤x1+x2≤2，即1≤x1+x2 +3≤5，∴|x1+x2+3 |≤5，|g(x1)-g(x2)|≤5|x1-x2|，不符合条件②．故不属于M；‎ ‎(2)|h(x1)-h(x2)|=|4sinx1-4sinx2|=4|sinx1-sinx2|≤4|x1-x2|，故属于M； ‎ ‎3．向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人．问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人?‎ ‎ [解题思路] 画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系．‎ ‎[解答] 赞成A的人数为50×=30，赞成B的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B.‎ 设对事件A、B都赞成的学生人数为x，则对A、B都不赞成的学生人数为+1，赞成A而不赞成B的人数为30-x，赞成B而不赞成A的人数为33-x．‎ ‎ 依题意(30-x)+(33-x)+x+(+1)=50，解得x=21．‎ 所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人．‎ 预测角度4 真假命题的判断 ‎1．已知p、q为命题，命题“(p或q)”为假命题，则 ( )‎ ‎ A.p真且q真 B.p假且q假 ‎ C.p，q中至少有一真 D.p，q中至少有一假 ‎ [解题思路] 利用p与p一真一假，得p或q为真命题，或将“(p或q)”为假命题转化为“p且q”为假命题．‎ ‎ [解答] 由已知“(p或q)”为假命题，得p或q为真命题，根据真值表，得p、q中至少有一真；或由“(p或q)”为假命题，得“p且q”为假命题，所以p、q中至少有一假，得p、q中至少有一真．所以本题答案是C．‎ ‎ 2．已知p：|1-≤2，q：x2-2x+1-m2≤0(m>0)，若﹂p是﹂q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．‎ ‎ [解题思路] 利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决．‎ ‎ [解答] 由题意知：‎ ‎ 命题：若﹂P是﹂q的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p是q的充分不必要条件．‎ ‎ p：|1-|≤2-2≤-1≤2-1≤ ≤3-2≤x≤10‎ ‎ q：x2-2x+1-m2≤0[x-(1-m)][x-(1+m)]≤0 *‎ ‎ ∵p是q的充分不必要条件，‎ ‎ ∴不等式|1-|≤2的解集是x2-2x+1-m2≤0(m>0)解集的子集．‎ ‎ 又∵m>0‎ ‎ ∴不等式*的解集为1-m≤x≤1+m ‎ ∴∴m≥9，‎ ‎∴实数m的取值范围是[9，+∞]．‎ 预测角度5 充要条件的应用 ‎1．设符合命题p的所有元素组成集合A，符合命题q的所有元素组成集合B，已知q的充分不必要条件是p，则 ‎ 集合A、B的关系是 ( )‎ ‎ A．AB B．A B ‎ C．B A D．A=B ‎ [解题思路] 由q的充分不必要条件是p，可得p可推q，但q不能推p，再利用充要条件与集合之间的关系可求解．‎ ‎[解答] 由q的充分不必要条件是p，可得P可推q，但q不能推p，所以A中的元素都是B中的元素，B中至少有一个元素不是A中的元素，所以A B，所以选B． ‎ ‎2．03}，B={x|x2+x-6≤0}，则A∩B= ( )‎ ‎ A．(-3，-2)∪(1，+∞) B．(-3，-2)∪[1，2]‎ C．[-3，-2]∪(1，2) D．(-∞，-3)∪(1，2) ‎ 答案：Ｃ　解析：由|2x+1|>3,得x>1或x<-2,由x2+x-6≤0得-3≤x≤2, ∴故选Ｃ.‎ ‎3 已知命题“非空集合M中至少有一个元素是集合N中的元素”是假命题，下列命题：‎ ‎ (1)M中的元素都不是集合N中的元素 ‎ (2)M中的元素都是集合N中的元素 ‎ (3)M中的元素至多有一个元素是集合N中的元素 ‎ (4)N中的元素都不是集合M中的元素 ‎ 其中正确的命题个数为 ( )‎ A.1个 B．2个 C 3个 D．4个 ‎ 答案：B 解析：“非空集合Ｍ中至少有一个元素是集合Ｎ中的元素”是假命题，则它的否命题：Ｍ中的元素都不是集合Ｎ中的元素是真命题.故只有（１）正确。选Ａ。‎ ‎4 已知a>b>0，全集U=R，集合M={x|b1是|a+b|＞1的充分而不必要条件．‎ ‎ 命题q：函数y=的定义域是(-∞，-1)∪[3，+∞]，则 ( )‎ ‎ A.“p或q”为假 B．“p且q”为真 C.p真q假 D.p假q真 ‎ 答案：D 解析：命题p:由|a|+|b|>1 ⇒|a+b|≯1∴命题p是假，命题q:函数y=≥2, ∴x≥3或x≤1, ∴命题q为真。‎ ‎8 两个集合A与B之差记作“A／B”，定义为：A／B={x|x∈A，且xB}，如果集合A={x|log2x<1，x∈R}，集合B={x|x-2|<1，x∈R}，那么A／B等于 ( )‎ ‎ A．{x|x≤1} B．{x|x≥3}‎ C．{x|1≤x<2} D．{x|00的解集是__________． ‎ 答案：(-∞，-2)解析：取三点代入函数中解出不等式即可。‎ ‎11 每天早晨，李强要做完以下几件事，再去公司上班：‎ 起床穿衣8分钟；洗脸刷牙5分钟；煮早饭t分钟；吃早饭7分钟；听广播15分钟；整理房间6分钟．若李强做完这些事最快需要30分钟，那么煮早饭的时间t最多为_______分钟． ‎ 答案：15解析：起床穿衣8分钟；煮早饭t分钟；吃早饭7分钟；这三项不能同时做.洗脸刷牙5分钟；与听广播15分钟；整理房间6分钟；都可同时做.若李强做完这此事最快需要30分钟，那么煮早饭的时间t最多为30分钟.‎ ‎12 设全集U=R，(Ⅰ)解关于x的不等式|x-1|+a-1>0(a∈R)；(Ⅱ ‎)记A为(1)中不等式的解集，集合B={x|sin(πx-)+cos(πx-)=0}．若(CUA)∩B恰有3个元素，求a的取值范围． ‎ 答案：解析：(1)由|x-1|+a-1>0得|x-1|>1-a,当a>1时，解集是R；当a≤1时，解集是.(2)当a>1时，CUA=∅；当a≤1时，CUA=由sinnx=0得x=k∈Z，∴B=Z ‎ 当(CuA)⋂B恰有3个元素时，a应满足 13 已知三个集合E={x|x2-3x+2=0}，F={x|x2-ax+(a-1)=0}，G={x|x2-bx+2=0}，问：同时满2足F E，GE的实数a和b是否存在?若存在．求出a、b所有值的集合；若不存在，请说明理由． ‎ 答案：解析：E，F=‎ 综上所述，、3且-2‎ ‎14 已知椭圆方程+=1(a>b>0)，A(m，0)为椭圆外一定点，过A作直线l交椭圆于P、Q两点，且有，Q关于x轴的对称点为B，x轴 ‎ 上一点C，当l变化时，求点C在BP上的充要条件．‎ 答案：解析：连结AB，因为B、Q关于x轴对称，所以 C(xo,O),则B(x2,-y2),可得y1=‎ 又 将(1)代入(2)中得由于上述解题过程可逆，所以C在BP上的充要条件是C的坐标为 ‎ ‎