黑龙江省双鸭山市尖山区第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题 16页

双鸭山市第一中学高二文科数学上学期期中考试题 一、选择题(本大题共60分)‎ ‎1. 命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（ ）‎ A. “若一个数是负数，则它的平方不是正数”‎ B. “若一个数的平方是正数，则它是负数”‎ C. “若一个数不是负数，则它的平方不是正数”‎ D. “若一个数的平方不是正数，则它不是负数”‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：根据四种命题的概念，可知命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”，故选B．‎ 考点：四种命题．‎ ‎2.经过两点的直线的倾斜角是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据斜率公式求出斜率，再由斜率的定义，即可求出倾斜角.‎ ‎【详解】经过两点的直线的斜率为，‎ 设该直线的倾斜角为 ，则，‎ 又，所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查求直线的倾斜角，熟记直线的斜率公式，以及斜率的定义即可，属于基础题型.‎ ‎3. “a＞0”是“|a|＞0”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：本题主要是命题关系的理解，结合|a|＞0就是{a|a≠0}，利用充要条件的概念与集合的关系即可判断．‎ 解：∵a＞0⇒|a|＞0，|a|＞0⇒a＞0或a＜0即|a|＞0不能推出a＞0，‎ ‎∴a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件 故选A 考点：必要条件．‎ ‎4.方程表示圆的条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据方程表示圆，直接得到，求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】由表示圆，可得：，‎ 解得.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查由二元二次方程表示圆求参数，熟记圆的一般方程满足的条件即可，属于基础题型.‎ ‎5.若圆关于直线对称，则的值为（ ）‎ A. 5 B. 3 C. 1 D. -1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由圆关于直线对称，得直线过圆心，将圆心坐标代入直线的方程，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为圆可化为，所以圆心坐标为；‎ 又圆关于直线对称，‎ 所以直线过点，‎ 因此，解得.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查由直线与圆位置关系求参数的问题，只需由题意得到直线过圆心即可，属于常考题型.‎ ‎6.过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是( )‎ A. B. ‎ C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】设过点A(4，1)的直线方程为y-1=k(x-4)(k≠0),‎ 令x=0,得y=1-4k;令y=0,得x=4-.‎ 由已知得1-4k=4-,∴k=-1或k=,‎ ‎∴所求直线方程为x+y-5=0或x-4y=0.故选C.‎ ‎7.已知命题对任意，总有；‎ 是方程的根 则下列命题为真命题的是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】由绝对值的意义可知命题p为真命题；由于，所以命题q为假命题；因此为假命题，为真命题，“且”字联结的命题只有当两命题都真时才是真命题，所以答案选A．‎ ‎8.对任意的实数，直线与圆的位置关系为（ ）‎ A. 相离 B. 相切 C. 相交 D.‎ ‎ 以上选项均有可能 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先确定直线过的定点，然后结合点与圆的位置关系确定直线与圆的位置关系即可.‎ ‎【详解】直线恒过定点，‎ 圆的方程即，当时，，‎ 则点在圆内部，据此可知：直线与圆的位置关系为相交.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线恒过定点问题，直线与圆是位置关系，点与圆是位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎9.下列有关命题的说法正确的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的否命题为：“若则”‎ B. 若为真命题，为假命题，则均为假命题 C. 命题“若成等比数列，则”的逆命题为真命题 D. 命题“若，则”的逆否命题为真命题 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别写出命题的否命题，可判定A不正确；根据复合命题的真假判定，可判定B不正确；根据等比数列的定义，即可判定C不正确；根据四种命题的关系，可判定D正确，得到答案.‎ ‎【详解】对于A中，命题“若，则”的否命题为：“若则”，所以不正确；‎ 对于B中，由为真命题，为假命题，则为真命题，均为假命题，所以不正确；‎ 对于C中，命题“若成等比数列，则”的逆命题为“若，则成等比数列”为假命题，所以不正确；‎ 对于D中，命题“若，则 ‎”为真命题，所以命题的逆否命题也是真命题，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用为载体考查了四种命题的概念，及其四种命题的真假关系，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎10.圆与圆的位置关系是（ ）‎ A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 相离 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 据题意可知两个圆的圆心分别为，；半径分别为1和4；圆心距离为5，再由半径长度与圆心距可判断两圆位置关系.‎ ‎【详解】设两个圆的半径分别为和，因为圆的方程为 与圆 ‎ 所以圆心坐标为，圆心距离为5，由，可知两圆外切，故选C.‎ ‎【点睛】本题考查两圆的位置关系，属于基础题.‎ ‎11.若，满足不等式组，则的最小值为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 作出可行域（如图所示），表示平面区域内点到原点的距离的平方，‎ 由图象，得的最小值为，即的最小值为；故选D.‎ ‎12.已知圆，圆，分别为圆上点，为轴上的动点，则的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出圆关于轴的对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即可求得的最小值，得到答案．‎ ‎【详解】如图所示，圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为1，‎ 圆的圆心坐标为,，半径为3，‎ 由图象可知，当三点共线时，取得最小值，‎ 且的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径之和，‎ 即，‎ 故选D．‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题主要考查了圆的对称圆的方程的求解，以及两个圆的位置关系的应用，其中解答中合理利用两个圆的位置关系是解答本题的关键，着重考查了数形结合法，以及推理与运算能力，属于基础题．‎ 二、填空题(本大题共20分)‎ ‎13.若，满足约束条件，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】-3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据约束条件作出可行域，化目标函数为，则表示直线在轴的截距，结合图像，即可得出结果.‎ ‎【详解】作出约束条件所表示的可行域如下：‎ 因为目标函数可化为，所以表示直线在轴的截距；‎ 截距越小，越小；‎ 由图像可得：当直线过点时，截距最小；‎ 由得，即，‎ 因此.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，由约束条件作出可行域，根据目标函数的几何意义，结合图像即可得出结果，属于常考题型.‎ ‎14.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎∵直线与直线平行 ‎∴‎ 解得：，直线即为 ‎∴它们之间的距离是 故答案为：‎ ‎15.已知圆，如果圆的弦的中点坐标是，那么弦所在的直线方程是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由圆的方程，得到圆心坐标，由弦所在直线垂直圆心与弦中点的连线，求出弦所在的直线的斜率，进而可求出结果.‎ ‎【详解】由得，所以圆的圆心为，‎ 因为圆的弦的中点坐标是，‎ 所以弦所在直线垂直圆心与弦中点的连线，‎ 则，所以，‎ 因此弦所在的直线方程是，‎ 即.‎ 故答案：‎ ‎【点睛】本题主要考查求圆的弦所在直线方程，熟记直线的点斜式方程，根据直线与圆位置即可求解，属于常考题型.‎ ‎16.由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出圆心到直线的距离，由直线与圆相切，列出切线长的关系式即可求出切线长的最小值。‎ ‎【详解】由题意可知，圆心坐标为，则圆心到直线的距离为，故切线长的最小值为.‎ ‎【点睛】切线长=（其中为点到圆心的距离，为圆的半径），当最小时，切线长最小。‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤）‎ ‎17.已知直线经过直线与直线的交点 ‎（1）若直线平行于直线，求直线的方程；‎ ‎（2）若直线垂直于直线，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 两直线联立可求得交点坐标；（1）根据平行关系可设直线为，代入交点坐标即可求得结果；（2）根据垂直关系可设直线为，代入交点坐标可求得结果.‎ ‎【详解】由解得点坐标为：‎ ‎（1）由于所求直线与直线平行 可设所求直线的方程为 将点的坐标代入得：，解得：‎ 所求直线的方程为：‎ ‎（2）由于所求直线与直线垂直 可设所求直线的方程为：‎ 将点的坐标代入得：，解得：‎ 所求直线的方程为：‎ ‎【点睛】本题考查交点坐标求解、根据直线的位置关系求解直线方程的问题，关键是明确平行或垂直时的直线系方程的形式.‎ ‎18.求满足下列条件的圆的方程：‎ ‎(1)已知圆的半径为2，圆心在轴正半轴上，直线与圆相切，求圆的方程；‎ ‎(2)求过三点，，的圆的方程．‎ ‎【答案】（1）；(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先由题意，设圆心，（），根据题意得到半径为，再由直线与圆相切，列出方程，求解，即可得出结果；‎ ‎（2）先设所求圆的方程为：，根据题意得到，求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】（1）因为圆心在轴正半轴上，所以设圆心，（），半径为，‎ 又圆的半径为2，所以；‎ 因为直线与圆相切，所以，解得，‎ 因此，所求圆的方程为：；‎ ‎（2）设所求圆的方程为：，‎ 因为圆过点，，，‎ 所以，解得；‎ 因此所求圆的方程为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查求圆的方程，熟记圆的一般方程与标准方程即可，属于常考题型.‎ ‎19.已知命题：方程有两个不相等的实数根；命题：不等式的解集为.若或为真，为假，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据“或为真，为假”判断出“为真，为假”，利用判别式列不等式分别求得为假、为真时的取值范围，再取两者的交集求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】因为或为真，为假，所以为真，为假 为假，，即：，∴或 , ‎ 为真，，即：，∴或, ‎ 所以取交集为或 .‎ ‎【点睛】本小题主要考查含有简单逻辑联结词命题的真假性，考查一元二次方程根与判别式的关系，考查一元二次不等式解集为与判别式的关系，属于中档题.‎ ‎20.已知定点，点圆上的动点。‎ ‎（1）求的中点的轨迹方程；‎ ‎（2）若过定点的直线与的轨迹交于两点，且，求直线的方程.‎ ‎【答案】(1) ;(2) 直线的方程为或.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用相关点法求动点的轨迹方程；（2）当直线的斜率不存在时，直接写出直线的方程；当直线斜率存在时，利用勾股关系求出斜率k的值，进而得到直线方程.‎ 试题解析：‎ ‎（1）设，由题意知：‎ ‎，化简得，‎ 故的轨迹方程为。‎ ‎（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，满足条件； ‎ 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，‎ 因为半径，，故圆心到直线的距离，‎ 由点到直线的距离公式得，解得，‎ 直线的方程为， ‎ 故直线的方程为或。‎ ‎21.设命题：实数满足，其中，命题：实数满足．‎ ‎（1）若，且为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）的取值范围是.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用p∧q为真，求实数x的取值范围；‎ ‎（2）利用是的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ 试题解析：‎ ‎（1）若，，解得，‎ ‎，解得，‎ 若为真，则， ∴，‎ ‎∴；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，则是的充分不必要条件，‎ ‎，则，‎ ‎∴， ∴，‎ ‎∴的取值范围是．‎ ‎22.已知圆过点,且圆心在直线上．‎ ‎（1）求圆方程；‎ ‎（2）平面上有两点，点是圆上的动点，求的最小值；‎ ‎（3）若是轴上的动点，分别切圆于两点，试问：直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标，若不是，说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）26；（3）直线恒过定点．证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设圆心，根据则，求得和圆的半径，即可得到圆的方程；‎ ‎（2）设，化简得，根据圆的性质，即可求解；‎ ‎（3）设，圆方程，根据两圆相交弦的性质，求得相交弦的方程，进而可判定直线恒过定点．‎ ‎【详解】（1）由题意知，圆心在直线上，设圆心为，‎ 又因为圆过点,‎ 则，即，解得，‎ 所以圆心为，半径，‎ 所以圆方程为．‎ ‎（2）设，则，‎ 又由，‎ 所以，‎ 即的最小值为．‎ ‎（3）设，则以为直径圆圆心为，半径为，‎ 则圆方程为，‎ 整理得，‎ 直线为圆与圆的相交弦，‎ 两式相减，可得得直线方程，‎ 即，‎ 令，解得，即直线恒过定点．‎ ‎【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，其中解答中涉及到圆的标准方程的求解，圆的最值问题的求解，以及两圆的相交弦方程的求解及应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎