山西省晋中市平遥中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理）试题 20页

‎2018-2019学年山西省晋中市平遥中学高二（下）期中数学试卷（理科）‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ ‎1.设复数，则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后利用复数模的公式求解即可.‎ ‎【详解】因为复数，‎ 所以，故选C．‎ ‎【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.‎ ‎2.若函数在区间内可导，且，若，则的值为（　　）‎ A. 2 B. 4 C. 8 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由函数在某一点处的定义可知， ,故选C.‎ 点睛: 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数定义为:函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是li＝，称其为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或.当x变化时，f′(x)称为f(x)的导函数，则f′(x)＝＝.特别提醒：注意f′(x)与f′(x0)的区别，f′(x)是一个函数，f′(x0)是常数，f′(x0)是函数f′(x)在点x0处的函数值．‎ ‎3.已知： ，观察下列式子：类比有，则的值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据所给不等式，归纳可得，从而可得结果.‎ ‎【详解】根据题意，对给出的不等式变形可得：…‎ 归纳可得，‎ ‎∴，故选A．‎ ‎【点睛】本题通过观察几组不等式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.‎ ‎4.设函数．若为偶函数，则在处的切线方程为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由奇偶性求得，可得函数的解析式，求出的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程.‎ ‎【详解】因为函数为偶函数， ‎ 所以，可得，‎ 可得，所以函数，可得，； ‎ 曲线在点处的切线的斜率为， ‎ 则曲线在点处的切线方程为：．即． ‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于中档题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.‎ ‎5.用数学归纳法证明时，由时的假设到证明时，等式左边应添加的式子是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为当时，等式左边是，所以当时，等式的左边是，多增加了，应选答案B。‎ 点睛：解答本题的关键是搞清楚当时，等式的左边的结构形式，当时，等式的左边的结构形式是，最终确定添加的项是什么，使得问题获解。‎ ‎6.从0，2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（　　）‎ A. 24 B. 27 C. 30 D. 36‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分两种情况讨论：选0或2，4，分别求出组成无重复数字的三位奇数的个数，再求和即可.‎ ‎【详解】第一类，从0，2，4中选一个数字，若选0，则0只能排在十位，故有个奇数， ‎ 第二类，从0，2，4中选一个数字，若不选0，先把奇数排个位，再排其它，故有个奇数， ‎ 综上可得，从0，2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为个， 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.‎ ‎7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给丁看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给甲看丁的成绩．看后丁对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（　　）‎ A. 甲、乙可以知道对方的成绩 B. 甲、乙可以知道自己的成绩 C. 乙可以知道四人的成绩 D. 甲可以知道四人的成绩 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由丁不知道自己的成绩可知：乙和丙只能一个是优秀，一个是良好，可得丁和甲也是一个优秀，一个良好，然后经过推理、论证即可得结论.‎ ‎【详解】由丁不知道自己的成绩可知：乙和丙只能一个是优秀，一个是良好；‎ 当乙知道丙的成绩后，就可以知道自己的成绩，但是乙不知道甲和丁的成绩； ‎ 由于丁和甲也是一个优秀，一个良好， ‎ 所以甲知道丁的成绩后，能够知道自己的成绩，但是甲不知道乙和丙的成绩． ‎ 综上所述，甲，乙可以知道自己的成绩． ‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查推理案例，属于中档题.推理案例的题型是高考命题的热点，由于条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得以解决.‎ ‎8.设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在定义域内，由，得，利用，解不等式可得结果.‎ ‎【详解】∵，∴函数的定义域是（0，+∞），，‎ ‎∵，∴由，得．‎ ‎∵函数在区间上单调递减，∴，‎ 解得．即实数的取值范围是,故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围.‎ ‎9.已知函数的导函数为，且满足（为自然对数的底数），则等于（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得：，令可得的值.‎ ‎【详解】由题意可得：，‎ 令可得：.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的运算法则，方程思想的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎10.函数有（　　）‎ A. 极大值5，极小值 B. 极大值5，极小值-11‎ C. 极大值5，无极小值 D. 极小值-27，无极大值 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：，令得到，令，结合 ‎，所以函数在上单调递增，在 单调递减，当时取到极大值，无极小值 考点：函数的单调性和极值 ‎11.若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 点是曲线上任意一点,‎ 所以当曲线在点P的切线与直线平行时，点P到直线的距离的最小，‎ 直线的斜率为1，由，解得或（舍）.‎ 所以曲线与直线的切点为.‎ 点到直线的距离最小值是.选C.‎ ‎12.设， ，若对于任意，总存在，使得成立，则的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出在的值域与在的值域，利用在的值域是在的值域的子集列不等式组，从而可求出的取值范围．‎ ‎【详解】，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 由，．‎ 故 又因为，且，．‎ 故．‎ 因为对于任意，总存在，使得成立，‎ 所以在的值域是在的值域的子集，‎ 所以须满足，‎ ‎，的取值范围是，故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查全称量词与存在量词的应用，以及函数值域的求解方法，属于中档题．求函数值域的常见方法有①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，；②换元法：常用代数或三角代换法；③不等式法：借助于基本不等式 求函数的值域；④单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间 ，最后再根据其单调性求函数的值域，⑤图象法：画出函数图象，根据图象的最高和最低点求最值.‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ ‎13.______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用定积分的几何意义可求的值，再由微积分基本定理求得的值，从而可得结果.‎ ‎【详解】根据题意，，‎ 等于半径为1的圆的面积的四分之一,为，‎ 所以，‎ ‎，则；‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题主要考查定积分的几何意义，属于中档题.一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、曲线以及直线之间的曲边梯形面积的代数和 ，其中在轴上方的面积等于该区间上的积分值，在轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求解.‎ ‎14.设为虚数单位，则_____．‎ ‎【答案】1.‎ ‎【解析】‎ 解：‎ ‎15.对于三次函数，定义：设是函数 的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，函数，则它的对称中心为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据拐点的定义，令，解得，则，由拐点的性质可得结果.‎ ‎【详解】∵函数，‎ ‎∴，∴．‎ 令，解得，且，‎ 所以函数对称中心为，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的运算，以及新定义问题，属于中档题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.‎ ‎16.已知函数有极大值和极小值，则的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 解：因为函数有极大值和极小值，则说明了函数的导函数 ‎，故解得a<-3或a>6‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ ‎17.设是虚数，是实数，且．‎ ‎（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围．‎ ‎（2）若，求证：为纯虚数．‎ ‎【答案】（1）；（2）略 ‎【解析】‎ ‎【详解】分析：（1）设z1=a+bi，（a，b∈R，且b≠0），则=（a+）+（b﹣），由z1是实数，得a2+b2=1，由此求出z1的实部的取值范围为[﹣，]．‎ ‎（2）ω====，由此能证明ω=是纯虚数．‎ 详解：(1)解:设.则 ‎,‎ 因为.所以，又，所以.所以.‎ 所以,‎ 又,即.解得.‎ 所以的实部的取值范围的取值范围为.‎ ‎(2)证明:,‎ 因为.所以,‎ 所以为纯虚数.‎ 点睛：复数实部为，虚部为，共轭复数实部为，虚部为，在复平面内对应的点关于是轴对称，复数的运算，难点是乘除法法则，设，则，‎ ‎．‎ ‎18.用数学归纳法证明：．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先验证时等式成立，再假设成立，只需证明当时，等式成立即可.‎ ‎【详解】（1）当时，左边，右边．‎ ‎∴左边=右边，故当时，结论成立；‎ ‎（2）假设结论成立，即，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∴当时，结论成立，‎ 故对任意，结论都成立．‎ ‎【点睛】本题主要考查等数学归纳法的应用，属于难题. 利用数学归纳法证明结论的步骤是:(1)验证时结论成立；（2）假设时结论正确，证明时结论正确（证明过程一定要用假设结论）；（3）得出结论.‎ ‎19.‎ 设，其中为正实数 ‎（Ⅰ）当时，求的极值点；‎ ‎（Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先对函数求导，然后让导函数为零，求出的值，通过列表，判断出函数的极值点。‎ ‎（2）根据导函数与单调性的关系，可通过在R上恒成立，求出的取值范围。‎ ‎【详解】 ‎ ‎(1) 时， 解得 ‎ x ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ ‎↗ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ↗‎ 综合①，可知 所以，是极小值点，是极大值点．‎ ‎(2)若f(x)为R上单调函数，则在R上不变号，‎ 结合①与条件a＞0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，‎ 因此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a＞0，知0＜a≤1.‎ ‎【点睛】本题一方面考查了用列表法求函数的极值点；另一方面考查了已知函数的单调性求参数取值的问题，其实也就是不等式恒成立问题，主要方法是结合导函数的类型进行求解。‎ ‎20.已知函数，．‎ ‎（1）当时，在（1，+∞）上恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）当时，若函数在区间（1，3）上恰有两个不同零点，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1) 可将问题转化为时，恒成立问题。令，先求导，导数大于0得原函数的增区间，导数小于0得原函数的减区间，根据单调性可求最小值。只需即可。(2)可将问题转化为方程,在上恰有两个相异实根，令。同(1)一样用导数求函数的单调性然后再求其极值和端点处函数值。比较极值和端点处函数值得大小，画函数草图由数形结合分析可知直线应与函数的图像有2个交点。从而可列出关于的方程。‎ 试题解析：‎ 解：(1)由，可得1分 ‎，即，记，‎ 则在上恒成立等价于. 3分 求得 当时,;‎ 当时,.‎ 故在处取得极小值，也是最小值，即，故.‎ 所以，实数的取值范围为5分 ‎(2)函数在上恰有两个不同的零点 等价于方程,在上恰有两个相异实根． 6分 令，则.‎ 当时，；‎ 当时，，‎ ‎∴在上是单调递减函数，在上是单调递增 8分 函数．故，‎ 又，，‎ ‎∵，∴只需，‎ 故a的取值范围是． 10分 考点：1导数研究函数的单调性；2用单调性求最值；3数形结合思想。‎ ‎21.已知函数 ‎ ‎（1）若的图象在点处的切线方程为，求在区间[-2，4]上的最大值；‎ ‎（2）当时，若在区间（-1，1）上不单调，求的取值范围．‎ ‎【答案】.解：（Ⅰ）…………………………………………1分 ‎………………………………2分 ‎∴a=0或2. ………………………………………………………………………4分 ‎(Ⅱ)∵（1，f(1)）是切点，∴1+f(1)-3=0， ∴f(1)=2…………………5分 ‎∵切线方程x+y-3=0的斜率为-1，‎ ‎……………………………7分 ‎…………8分……………………………………9分 ‎∴y=f(x)在区间[-2，4]上的最大值为8. …………………………………………10分 ‎(Ⅲ)因为函数f(x)在区间（-1，1）不单调，所以函数在（-1，1）上存在零点.‎ 而=0的两根为a-1,a+1，区间长为2，‎ ‎∴在区间（-1，1）上不可能有2个零点. ……………………………11分 ‎………………………………12分 ‎……………………………………………14分 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先利用的图象在点处的切线方程为求出，再求函数在区间上的最大值.（2）由题得得或，再解不等式 或 得解.‎ ‎【详解】（1）由已知得 ， ，‎ ‎， ，‎ ‎ 令, 得或2， ‎ 又 , ,‎ ‎.‎ ‎（2）得或， ‎ 若在上不单调，则在上有解,‎ ‎ 或 ，‎ 或.‎ ‎【点睛】(1)本题主要考查利用函数研究函数的单调性和最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）解答本题的关键是分析推理出在上有解,即 或 .‎ ‎22.已知函数．‎ ‎（Ⅰ）设，讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若对任意恒有，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）当时，‎ 所以上为增函数 ‎②当，由 上为增函数，‎ 在上是减函数 ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 试题分析：（I）的定义域为（，1）（1，）‎ 因（其中）恒成立，所以 ‎⑴ 当时，在（，0）（1，）上恒成立，所以在（，1）（1，）上为增函数；‎ ‎⑵ 当时，在（，0）（0，1）（1，）上恒成立，所以在（，1）（1，）上为增函数；‎ ‎⑶ 当时，的解为：（，）（t，1）（1，+）‎ ‎（其中）‎ 所以在各区间内的增减性如下表：‎ 区间 ‎ ‎（，） ‎ ‎（，t） ‎ ‎（t，1） ‎ ‎（1，+） ‎ 的符号 ‎ ‎+ ‎ ‎ ‎ ‎+ ‎ ‎+ ‎ 的单调性 ‎ 增函数 ‎ 减函数 ‎ 增函数 ‎ 增函数 ‎ ‎ ‎ ‎（II）显然 ‎⑴ 当时，在区间0，1上是增函数，所以对任意（0，1）都有；‎ ‎⑵ 当时，是在区间0，1上的最小值，即，这与题目要求矛盾；‎ ‎⑶ 若，在区间0，1上是增函数，所以对任意（0，1）都有。‎ 综合⑴、⑵、⑶ ，a的取值范围为（，2）‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数应用，利用导数研究函数的单调性、最值，函数的恒成立问题。‎ 中档题，导数的应用是高考必考内容，思路往往比较明确根据导数值的正负，确定函数的单调性。对于恒成立问题，往往通过“分离参数法”，转化成求函数的最值问题。‎ ‎ ‎