高中数学 3_2_2 复数代数形式的乘除运算同步练习 新人教A版选修2-2 6页

选修2-2 ‎3.2.2‎ 复数代数形式的乘除运算 一、选择题 ‎1．(2010·安徽理，1)i是虚数单位，＝(　　)‎ A.－i　　　　　　　‎ B.＋i C.＋i ‎ D.－i ‎[答案]　B ‎[解析]　＝ ‎＝＝＋i，故选B.‎ ‎2．在复平面内，复数z＝i(1＋2i)对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 ‎ B．第二象限 C．第三象限 ‎ D．第四象限 ‎[答案]　B ‎[解析]　考查复数的运算．‎ z＝－2＋i，对应点位于第二象限，‎ ‎∴选B.‎ ‎3．已知z是纯虚数，是实数，那么z等于(　　)‎ A．2i ‎ B．i C．－i ‎ D．－2i ‎[答案]　D ‎[解析]　本小题主要考查复数的运算．‎ 设z＝bi(b∈R)，则＝＝＋i，‎ ‎∴＝0，∴b＝－2，‎ ‎∴z＝－2i，故选D.‎ ‎4．i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则乘积ab的值是(　　)‎ A．－15 ‎ B．－3‎ C．3 ‎ D．15‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　本题考查复数的概念及其简单运算．‎ ＝＝＝－1＋3i＝a＋bi，‎ ‎∴a＝－1，b＝3，∴ab＝－3.‎ ‎5．设z是复数，a(z)表示满足zn＝1的最小正整数n，则对虚数单位i，a(i)＝(　　)‎ A．8 ‎ B．6‎ C．4 ‎ D．2‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　考查阅读理解能力和复数的概念与运算．‎ ‎∵a(z)表示使zn＝1的最小正整数n.‎ 又使in＝1成立的最小正整数n＝4，∴a(i)＝4.‎ ‎6．已知复数z的实部为－1，虚部为2，则＝(　　)‎ A．2－i ‎ B．2＋i C．－2－i ‎ D．－2＋i ‎[答案]　A ‎[解析]　考查复数的运算．‎ z＝－1＋2i，则＝ ‎＝＝2－i.‎ ‎7．设a，b∈R且b≠0，若复数(a＋bi)3是实数，则(　　)‎ A．b2＝‎3a2 ‎ B．a2＝3b2‎ C．b2＝‎9a2 ‎ D．a2＝9b2‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　本小题主要考查复数的运算．‎ ‎(a＋bi)3＝a3＋‎3a2bi－3ab2－b3i ‎＝a3－3ab2＋(‎3a2b－b3)i，‎ ‎∴‎3a2b－b3＝0，∴‎3a2＝b2，故选A.‎ ‎8．设z的共轭复数是，若z＋＝4，z·＝8，则等于(　　)‎ A．i ‎ B．－i C．±1 ‎ D．±i ‎[答案]　D ‎[解析]　本题主要考查复数的运算．‎ 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，‎ 由z＋＝4，z ＝8得∴ ‎∴z＝2＋2i，＝2－2i或z＝2－2i，＝2＋2i，＝＝－i或＝＝i.∴＝±i，故选D.‎ ‎9．(2010·新课标全国理，2)已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝(　　)‎ A.　 　　‎ B.　 　　‎ C．1　　　　‎ D．2‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　∵z＝＝＝ ‎＝＝ ‎＝＝＝，∴＝，‎ ‎∴z·＝|z|2＝，故选A.‎ ‎10．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z为(　　)‎ A．3－i ‎ B．1＋3i C．3＋i ‎ D．1－3i ‎[答案]　A ‎[解析]　由定义得＝zi＋z＝z(1＋i)＝4＋2i ‎∴z＝＝3－i.‎ 故应选A.‎ 二、填空题 ‎11.表示为a＋bi(a，b∈R)，则a＋b＝________.‎ ‎[答案]　1‎ ‎[解析]　本小题考查复数的除法运算．‎ ‎∵＝＝i，∴a＝0，b＝1.‎ 因此a＋b＝1.‎ ‎12．若复数z满足z＝i(2－z)(i是虚数单位)，则z＝________.‎ ‎[答案]　1＋i ‎[解析]　本题主要考查复数的运算．‎ ‎∵z＝i(2－z)，∴z＝＝1＋i.‎ ‎13．关于x的不等式mx2－nx＋p>0(m、n、p∈R)的解集为(－1,2)，则复数m＋pi所对应的点位于原复平面内的第________象限．‎ ‎[答案]　二 ‎[解析]　∵mx2－nx＋p>0(m、n、p∈R)的解集为(－1，2)，∴，即m<0，p>0.‎ 故复数m＋pi所对应的点位于复平面内的第二象限．‎ ‎14．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　设＝bi(b∈R且b≠0)，∴z1＝bi(z2)，即a＋2i＝bi(3－4i)＝4b＋3bi.∴⇒a＝.‎ 三、解答题 ‎15．计算：‎ ‎(1)＋2000＋；‎ ‎(2)1＋in＋i2n＋…＋i2000n(n∈N)．‎ ‎[解析]　(1)原式＝＋(－i)100＋ ‎＝i＋1＋＋i＝＋i.‎ ‎(2)当n＝4k(k∈N)时，原式＝1＋1＋…＋1＝2001.‎ 当n≠4k(k∈N)时，‎ 原式＝＝＝＝1.‎ ‎16．已知复数z＝，ω＝z＋ai(a∈R)，当≤时，求a的取值范围．‎ ‎[解析]　z＝ ‎＝＝＝＝1－i ‎∵ω＝z＋ai＝1－i＋ai＝1＋(a－1)i ‎∴＝＝＝ ‎∴＝≤ ‎∴a2－‎2a－2≤0，∴1－≤a≤1＋ 故a的取值范围是[1－，1＋]．‎ ‎17．已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c∈R)．‎ ‎(1)求b，c的值；‎ ‎(2)试证明1－i也是方程的根．‎ ‎[解析]　(1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根 ‎∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0‎ 即b＋c＋(2＋b)i＝0‎ ‎∴解得.‎ ‎(2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0‎ 把1－i代入方程左边得 左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边，即方程成立 ‎∴1－i也是方程的根．‎ ‎18．已知ω＝z＋i(z∈C)，是纯虚数，又|ω＋1|2＋|ω－1|2＝16，求ω.‎ ‎[解析]　设z＝a＋bi(a，b∈R)‎ ‎∴＝＝ 由是纯虚数得　①‎ ‎∴|ω＋1|2＋|ω－1|2＝|z＋i＋1|2＋|z＋i－1|2‎ ‎＝|a＋bi＋i＋1|2＋|a＋bi＋i－1|2‎ ‎＝|(a＋1)＋(b＋1)i|2＋|(a－1)2＋(b＋1)i|2‎ ‎＝(a＋1)2＋(b＋1)2＋(a－1)2＋(b＋1)2‎ ‎＝2(a2＋b2)＋4＋4b＝8＋4＋4b＝12＋4b＝16，‎ ‎∴b＝1，‎ 将b＝1代入①得a＝±.‎ ‎∴z＝±＋i，ω＝±＋2i.‎ ‎ ‎