2019届二轮复习（理）第十一章计数原理与概率分布第68讲课件（23张）（全国通用） 23页

考试要求　 1. 加法原理与乘法原理 (B 级要求 ) ； 2. 高考中对本讲的考查将以运用分类、分步计数原理解决有关问题，涉及的数据不大，难度较小 . 可能会与概率问题结合 . 需要加强对本讲知识的理解深度和应用知识解决问题的熟练程度 . 第 68 讲　两个基本原理 1. 思考辨析 ( 在括号内打 “√” 或 “×”) (1) 在分类计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同 .( 　　 ) (2) 在分类计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事 .( 　　 ) (3) 在分步计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成 .( 　　 ) 诊 断 自 测 (4) 如果完成一件事情有 n 个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法 m i ( i ＝ 1 ， 2 ， 3 ， … ， n ) ，那么完成这件事共有 m 1 m 2 m 3 … m n 种方法 .( 　　 ) (5) 在分步计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的 . 答案　 (1)× 　 (2)√ 　 (3)√ 　 (4)√ 　 (5)√ 2. 用 0 ， 1 ， … ， 9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 ________. 解析　 由分步计数原理知，用 0 ， 1 ， … ， 9 十个数字组成三位数 ( 可用重复数字 ) 的个数为 9 × 10 × 10 ＝ 900 ，组成没有重复数字的三位数的个数为 9 × 9 × 8 ＝ 648 ，则组成有重复数字的三位数的个数为 900 － 648 ＝ 252. 答案 　 252 3.( 教材改编 ) 已知集合 M ＝ {1 ，－ 2 ， 3} ， N ＝ { － 4 ， 5 ， 6 ，－ 7} ，从 M ， N 这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是 ________. 解析　 分两步：第一步先确定横坐标，有 3 种情况，第二步再确定纵坐标，有 2 种情况，因此第一、二象限内不同点的个数是 3 × 2 ＝ 6. 答案　 6 4. (2017· 天津卷 ) 用数字 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 ________ 个 ( 用数字作答 ). 解析 　当不含偶数时， 有 ＝ 120 个， 当含有一个偶数时， 有 ＝ 960 个， 所以这样的四位数共有 1 080 个 . 答案 　 1 080 5. ( 教材改编 ) 现有 4 种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有 ________ 种 . 解析　 按 A → B → C → D 顺序分四步涂色，共有 4 × 3 × 2 × 2 ＝ 48( 种 ). 答案　 48 分类计数原理与分步计数原理 知 识 梳 理 　原理 异同点 分类计数原理 分步计数原理 定义 如果完成一件事，有 n 类方式，在第 1 类方式中有 m 1 种不同的方法，在第 2 类方式中有 m 2 种不同的方法， …… 在第 n 类方式中有 m n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ __________ _____ 种 不同的方法 如果完成一件事，需要分成 n 个步骤，做第 1 步有 m 1 种不同的方法，做第 2 步有 m 2 种不同的方法， …… 做第 n 步有 m n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ _______________ 种 不同的方法 区别 各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事 各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成才能做完这件事 m 1 ＋ m 2 ＋ … ＋ m n m 1 × m 2 ×…× m n 考点一　分类计数原理的应用 【例 1 】 已知 I ＝ {1 ， 2 ， 3} ， A ， B 是集合 I 的两个非空子集，且 A 中所有数的和大于 B 中所有数的和，则集合 A ， B 共有 ________ 对 . 解析　 依题意，当 A ， B 均有一个元素时，有 3 对； 当 B 有一个元素， A 有两个元素时，有 8 对； 当 B 有一个元素， A 有三个元素时，有 3 对； 当 B 有两个元素， A 有三个元素时，有 3 对； 当 A ， B 均有两个元素时，有 3 对； 故集合 A ， B 共有 3 ＋ 8 ＋ 3 ＋ 3 ＋ 3 ＝ 20( 对 ). 答案　 20 规律方法 　分类标准是运用分类计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置 . 首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类 . 【训练 1 】 (2017· 全国 Ⅱ 卷改编 ) 安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有 ________ 种 . 答案　 36 考点二　分步计数原理的应用 【例 2 】 (1) (2016· 全国 Ⅱ 卷改编 ) 如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 ________. (2) 有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有 ________ 种不同的报名方法 . 解析　 (1) 从 E 点到 F 点的最短路径有 6 种，从 F 点到 G 点的最短路径有 3 种，所以从 E 点到 G 点的最短路径为 6 × 3 ＝ 18 种 . (2) 每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有 6 种选法，第二个项目有 5 种选法，第三个项目有 4 种选法，根据分步计数原理，可得不同的报名方法共有 6 × 5 × 4 ＝ 120( 种 ). 答案　 (1)8 　 (2)120 规律方法 　 (1) 利用分步计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事 . (2) 分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成 . 【训练 2 】 (1)( 2018· 无锡模拟 ) 用 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 可组成无重复数字的三位数的个数为 ________. (2)( 2018· 徐州质检 ) 五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为 ________. 五名学生争夺四项比赛的冠军 ( 冠军不并列 ) ，则获得冠军的可能性有 ________ 种 . 解析　 (1) 可分三步给百、十、个位放数字，第一步：百位数字有 5 种放法；第二步：十位数字有 5 种放法；第三步：个位数字有 4 种放法，根据分步计数原理，三位数的个数为 5 × 5 × 4 ＝ 100. (2) 五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有 4 种报名方法，共有 4 5 种不同的报名方法 . 五名学生争夺四项比赛的冠军，可对 4 个冠军逐一落实，每个冠军有 5 种获得的可能性，共有 5 4 种获得冠军的可能性 . 答案　 (1)100 　 (2)4 5 　 5 4 考点三　两个计数原理的综合应用 【例 3 】 (1) 如图，矩形的对角线把矩形分成 A ， B ， C ， D 四部分，现用 5 种不同颜色给四部分涂色，每部分涂 1 种颜色，要求共边的两部分颜色互异，则共有 ________ 种不同的涂色方法 . (2) 如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个 “ 正交线面对 ”. 在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的 “ 正交线面对 ” 的个数是 ________. 解析　 (1) 区域 A 有 5 种涂色方法；区域 B 有 4 种涂色方法；区域 C 的涂色方法可分 2 类：若 C 与 A 涂同色，区域 D 有 4 种涂色方法；若 C 与 A 涂不同色，此时区域 C 有 3 种涂色方法，区域 D 也有 3 种涂色方法 . 所以共有 5 × 4 × 4 ＋ 5 × 4 × 3 × 3 ＝ 260( 种 ) 涂色方法 . (2) 第 1 类，对于每一条棱，都可以与两个侧面均成 “ 正交线面对 ” ，这样的 “ 正交线面对 ” 有 2 × 12 ＝ 24( 个 ) ；第 2 类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成 “ 正交线面对 ” ，这样的 “ 正交线面对 ” 有 12 个 . 所以正方体中 “ 正交线面对 ” 共有 24 ＋ 12 ＝ 36( 个 ). 答案　 (1)260 　 (2)36 规律方法 　 利用两个计数原理解决应用问题的一般思路 (1) 弄清完成一件事是做什么 . (2) 确定是先分类后分步，还是先分步后分类 . (3) 弄清分步、分类的标准是什么 . (4) 利用两个计数原理求解 . 【训练 3 】 如图，用 4 种不同的颜色对图中 5 个区域涂色 (4 种颜色全部使用 ) ，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数为 ________. 解析　 按区域 1 与 3 是否同色分类： 故由 分类计数原理，不同的涂色种数为 24 ＋ 72 ＝ 96 . 答案　 96