2019届二轮复习（文）第八章立体几何初步第3节课件（34张）（全国通用） 34页

第 3 节　空间点、直线、平面之间的位置关系 最新考纲　 1. 理解空间直线、平面位置关系的定义； 2. 了解可以作为推理依据的公理和定理； 3. 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题 . 1. 平面的基本性质 (1) 公理 1 ：如果一条直线上 的 在 一个平面内，那么这条直线在此平面内 . (2) 公理 2 ： 过 的 三点，有且只有一个平面 . (3) 公理 3 ：如果两个不重合的平面 有 公共 点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 . 知 识 梳 理 两点 不在同一条直线上 一个 2. 空间点、直线、平面之间的位置关系   直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图形语言 符号语言 a ∥ b a ∥ α α ∥ β 相交关系 图形语言 符号语言 a ∩ b ＝ A a ∩ α ＝ A α ∩ β ＝ l 独有关系 图形语言   符号语言 a ， b 是异面直线 a ⊂ α   3. 平行公理 ( 公理 4) 和等角定理 平行公理 ：平行于同一条直线的两条 直线 . 等角 定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个 角 . 4. 异面直线所成的角 ( 1) 定义：设 a ， b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 a ′ ∥ a ， b ′ ∥ b ，把 a ′ 与 b ′ 所成 的 叫做 异面直线 a 与 b 所成的角 ( 或夹角 ). 互相平行 相等或互补 锐角（或直角） [ 常用结论与微点提醒 ] 1. 空间中两个角的两边分别对应平行，则两个角相等或互补 . 2. 异面直线的判定：经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线 . 3. 唯一性的几个结论： ( 1) 过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直 . ( 2) 过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行 . ( 3) 过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直 . 1. 思考辨析 ( 在括号内打 “√” 或 “×”) (1) 两个平面 α ， β 有一个公共点 A ，就说 α ， β 相交于过 A 点的任意一条直线 .( 　　 ) (2) 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 .( 　　 ) (3) 如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合 .( 　　 ) (4) 若直线 a 不平行于平面 α ，且 a ⊄ α ，则 α 内的所有直线与 a 异面 .( 　　 ) 诊 断 自 测 解析　 (1) 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误 . (3) 如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误 . (4) 由于 a 不平行于平面 α ，且 a ⊄ α ，则 a 与平面 α 相交，故平面 α 内有与 a 相交的直线，故错误 . 答案　 (1)× 　 (2)√ 　 (3)× 　 (4)× 2. ( 必修 2P52B1(2) 改编 ) 如图所示，在正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， E ， F 分别是 AB ， AD 的中点，则异面直线 B 1 C 与 EF 所成角的大小为 ( 　　 ) A.30° B.45 ° C.60 ° D.90 ° 解析 　连接 B 1 D 1 ， D 1 C ，则 B 1 D 1 ∥ EF ，故 ∠ D 1 B 1 C 为所求的角 . 又 B 1 D 1 ＝ B 1 C ＝ D 1 C ， ∴∠ D 1 B 1 C ＝ 60°. 答案 　 C 3. (2018· 贵阳调研 ) α 是一个平面， m ， n 是两条直线， A 是一个点，若 m ⊄ α ， n ⊂ α ，且 A ∈ m ， A ∈ α ，则 m ， n 的位置关系不可能是 ( 　　 ) A . 垂直 B. 相交 C . 异面 D . 平行 解析 　依题意， m ∩ α ＝ A ， n ⊂ α ， ∴ m 与 n 异面、相交 ( 垂直是相交的特例 ) ，一定不平行 . 答案 　 D 4. ( 一题多解 )(2017· 全国 Ⅰ 卷 ) 如图，在下列四个正方体中， A ， B 为正方体的两个顶点， M ， N ， Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是 ( 　　 ) 解析　法一 　 对于选项 B ，如图 (1) 所示，连接 CD ，因为 AB ∥ CD ， M ， Q 分别是所在棱的中点，所以 MQ ∥ CD ，所以 AB ∥ MQ ，又 AB ⊄ 平面 MNQ ， MQ ⊂ 平面 MNQ ，所以 AB ∥ 平面 MNQ . 同理可证选项 C ， D 中均有 AB ∥ 平面 MNQ . 因此 A 项不正确 . 图 (1) 法二 　 对于选项 A ，其中 O 为 BC 的中点 ( 如图 (2) 所示 ) ，连接 OQ ，则 OQ ∥ AB ，因为 OQ 与平面 MNQ 有交点，所以 AB 与平面 MNQ 有交点，即 AB 与平面 MNQ 不平行 .A 项不正确 . 答案　 A 图 (2) 5. 如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 α 上，且 AB ∥ CD ，则直线 EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 ________. 解析 　 EF 与正方体左、右两侧面均平行 . 所以与 EF 相交的侧面有 4 个 . 答案 　 4 考点一　平面的基本性质及应用 【例 1 】 (1) (2016· 山东卷 ) 已知直线 a ， b 分别在两个不同的平面 α ， β 内，则 “ 直线 a 和直线 b 相交 ” 是 “ 平面 α 和平面 β 相交 ” 的 ( 　　 ) A . 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 解析 　由题意知 a ⊂ α ， b ⊂ β ，若 a ， b 相交，则 a ， b 有公共点，从而 α ， β 有公共点，可得出 α ， β 相交；反之，若 α ， β 相交，则 a ， b 的位置关系可能为平行、相交或异面 . 因此 “ 直线 a 和直线 b 相交 ” 是 “ 平面 α 和平面 β 相交 ” 的充分不必要条件 . 答案 　 A ① 证明：四边形 BCHG 是平行四边形； ② C ， D ， F ， E 四点是否共面？为什么？ ∴ 四边形 BCHG 为平行四边形 . ∴ 四边形 BEFG 为平行四边形， ∴ EF ∥ BG . 由 (1) 知 BG 綉 CH ， ∴ EF ∥ CH ， ∴ EF 与 CH 共面 . 又 D ∈ FH ， ∴ C ， D ， F ， E 四点共面 . 规律方法 　 1. 证明线共面或点共面的常用方法 (1) 直接法，证明直线平行或相交，从而证明线共面 . (2) 纳入平面法，先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内 . (3) 辅助平面法，先证明有关的点、线确定平面 α ，再证明其余元素确定平面 β ，最后证明平面 α ， β 重合 . 2. 证明点共线问题的常用方法 (1) 基本性质法，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质 3 证明这些点都在这两个平面的交线上 . (2) 纳入直线法，选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上 . 【训练 1 】 如图，正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， E ， F 分别是 AB 和 AA 1 的中点 . 求证： (1) E ， C ， D 1 ， F 四点共面； (2) CE ， D 1 F ， DA 三线共点 . 证明　 (1) 如图，连接 EF ， CD 1 ， A 1 B . ∵ E ， F 分别是 AB ， AA 1 的中点 ， ∴ EF ∥ A 1 B . 又 A 1 B ∥ D 1 C ， ∴ EF ∥ CD 1 ， ∴ E ， C ， D 1 ， F 四点共面 . (2) ∵ EF ∥ CD 1 ， EF < CD 1 ， ∴ CE 与 D 1 F 必相交， 设交点为 P ，如图所示 . 则由 P ∈ CE ， CE ⊂ 平面 ABCD ，得 P ∈ 平面 ABCD . 同理 P ∈ 平面 ADD 1 A 1 . 又平面 ABCD ∩ 平面 ADD 1 A 1 ＝ DA ， ∴ P ∈ 直线 DA . ∴ CE ， D 1 F ， DA 三线共点 . 考点二　判断空间两直线的位置关系 【例 2 】 (1) 若 m ， n 为两条不重合的直线， α ， β 为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是 ( 　　 ) ① 若直线 m ， n 都平行于平面 α ，则 m ， n 一定不是相交直线； ② 若直线 m ， n 都垂直于平面 α ，则 m ， n 一定是平行直线； ③ 已知平面 α ， β 互相垂直，且直线 m ， n 也互相垂直，若 m ⊥ α ，则 n ⊥ β ； ④ 若直线 m ， n 在平面 α 内的射影互相垂直，则 m ⊥ n . A . ② B. ②③ C. ①③ D. ②④ (2) (2018· 唐山一中月考 ) 如图， G ， H ， M ， N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH ， MN 是异面直线的图形有 ________( 填上所有正确答案的序号 ). 解析 　 (1) 对于 ① ， m 与 n 可能平行，可能相交，也可能异面， ① 错误； 对于 ② ，由线面垂直的性质定理可知， m 与 n 一定平行，故 ② 正确； 对于 ③ ，还有可能 n ∥ β 或 n 与 β 相交， ③ 错误； 对于 ④ ，把 m ， n 放入正方体中，如图，取 A 1 B 为 m ， B 1 C 为 n ，平面 ABCD 为平面 α ，则 m 与 n 在 α 内的射影分别为 AB 与 BC ，且 AB ⊥ BC . 而 m 与 n 所成的角为 60° ，故 ④ 错误 . (2) 图 ① 中，直线 GH ∥ MN ； 图 ② 中， G ， H ， N 三点共面，但 M ∉ 平面 GHN ， N ∉ GH ，因此直线 GH 与 MN 异面； 图 ③ 中，连接 MG ， GM ∥ HN ， 因此 GH 与 MN 共面； 图 ④ 中， G ， M ， N 共面，但 H ∉ 平面 GMN ， G ∉ MN ， 因此 GH 与 MN 异面 . 所以在图 ②④ 中， GH 与 MN 异面 . 答案 　 (1)A 　 (2) ②④ 规律方法 　 1. 异面直线的判定方法： (1) 反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面 . (2) 定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是异面直线 . 2. 点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系 . 【训练 2 】 (1) (2018· 哈尔滨一模 ) 下列命题正确的是 ( 　　 ) A . 若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行 B . 若一直线与两个平面所成的角相等，则这两个平面平行 C . 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D . 若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行 ( 2) 如图，在正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中，点 E ， F 分别在 A 1 D ， AC 上，且 A 1 E ＝ 2 ED ， CF ＝ 2 FA ，则 EF 与 BD 1 的位置关系是 ( 　　 ) A. 相交但不垂直 B . 相交且垂直 C. 异面 D . 平行 解析 　 (1)A 选项，两条直线可能平行，可能异面，也可能相交； B 选项，一直线可以与两垂直平面所成的角都是 45° ；易知 C 正确； D 中的两平面也可能相交 . 答案 　 (1)C 　 (2)D (2) 连接 D 1 E 并延长，与 AD 交于点 M ，因为 A 1 E ＝ 2 ED ，可得 M 为 AD 的中点， 考点三　异面直线所成的角 【例 3 】 (2017· 全国 Ⅱ 卷 ) 已知直三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中， ∠ ABC ＝ 120° ， AB ＝ 2 ， BC ＝ CC 1 ＝ 1 ，则异面直线 AB 1 与 BC 1 所成角的余弦值为 ( 　　 ) 解析 　将直三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 补形为直四棱柱 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 ， 如 图所示，连接 AD 1 ， B 1 D 1 ， BD . 由题意知 ∠ ABC ＝ 120° ， AB ＝ 2 ， BC ＝ CC 1 ＝ 1 ， 在 △ ABD 中，由余弦定理知 BD 2 ＝ 2 2 ＋ 1 2 － 2 × 2 × 1 × cos 60° ＝ 3 ， 又 AB 1 与 AD 1 所成的角即为 AB 1 与 BC 1 所成的角 θ ， 答案 　 C 规律方法 　 1. 求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点 ( 线段的端点或中点 ) 作平行线平移；补形平移 . 2. 求异面直线所成角的三个步骤 (1) 作：通过作平行线，得到相交直线的夹角 . (2) 证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角 . (3) 求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角 . 解析 　取 A 1 C 1 的中点 E ，连接 B 1 E ， ED ， AE ，易知 BD ∥ B 1 E . 在 Rt △ AB 1 E 中， ∠ AB 1 E 为异面直线 AB 1 与 BD 所成的角 .