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- 2021-06-30 发布
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新桥中学、肇庆实中2016-2017学年第二学期
高二年级期末考试
数学(理科)
命题人:刘玲 审核人:高二备考组
说明:
1.本试卷满分150分,考试时间120分钟。
2.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目。
3.选择题选出答案后,用黑色2B铅笔在答题卡上涂黑,不能答在试卷上。
4.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效。
5.考生必须保持答题卷的整洁,考试结束后,只交回答题卷以及选择题答题卡。
参考公式:线性回归方程中系数计算公式:
,,其中,表示样本均值.
列联表随机变量. 与k对应值表:
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
一 、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)若z=4+3i,则 =( )
A、1 B、﹣1 C、 D、
(2)盒中有4个白球,5个红球,从中任取3个球,则抽出1个白球和2个红球的概率是 ( )
A、 B、 C、 D、
(3)定积分的值为 ( )
A、 B、 C、 D、
(4)函数y=3x2-2lnx的单调增区间为( )
A、 B、
C、 D、
(5)用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,假设正确的是( )
A、假设至少有一个钝角 B、假设至少有两个钝角
C、假设没有一个钝角 D、假设没有一个钝角或至少有两个钝角
(6)设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),若P(ξ>2)=p,则P(﹣2<ξ<0)=( )
A、+P B、1﹣P C、﹣P D、1﹣2P
(7)设a,b为实数,若复数, 则( )
A、a=1,b=3 B、a=3,b=1 C、a=,b= D、a=, b=
(8)将4名同学录取到3所大学,每所大学至少要录取一名,则不同的录取方法共有( )
A、12 B、24 C、36 D、72
(9)已知随机变量X的概率分布列如表所示:且X的数学期望EX=6,则( )
X
5
6
7
8
p
0.4
a
b
0.1
A、a=0.3,b=0.2 B、a=0.2,b=0.3
C、a=0.4,b=0.1 D、a=0.1,b=0.4
(10)某医疗研究所为了检验某种血清能起到预防感冒的作用,把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较,利用2×2列联表计算得k2≈3.918.
附表:
P(k2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
则作出“这种血清能起到预防感冒的作用”出错的可能性不超过( )
A、95% B、5% C、97.5% D、2.5%
(11)在的展开式中,x4的系数为( )
A、﹣120 B、120 C、-15 D、15
(12)设函数y=f(x)的定义域为R+,若对于给定的正数K,定义函数,则当函数时,定积分的值为( )
A、2ln2+2 B、2ln2-1 C、2ln2 D、2ln2+1
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
(13) 用数学归纳法证明: ,在验证n=1时,左边计算所得的项为________
(14) 10名运动员中有2名老队员和8名新队员,现从中选3人参加团体比赛,要求老队员至多1人入选且新队员甲不能入选的选法有________ 种.
(15) 函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1时有极值为10,则a+b的值为_______
(16) 如图是函数 的导函数的图象,对此图象,有如下结论:
①在区间(-2,1)内是增函数; ②在区间(1,3)内是减函数;
③在x=2时,取得极大值; ④在x=3时,取得极小值。
其中正确的是________.
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出证明过程或演算步骤.
(17)(本小题12分)
如图,四边形ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD.
(Ⅰ)若PO=2AO,求直线AP与平面ABCD夹角的余弦值.
(Ⅱ)证明BD⊥平面PAC.
(18)(本小题12分)
下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x吨与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
(Ⅰ)根据上表数据用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程.
(Ⅱ)由(Ⅰ)预测技改后生产100吨甲产品的生产能耗是多少吨标准煤?
(19)(本小题12分)
某校高三数学备课组为了更好的制定二轮复习的计划,开展了试卷讲评后效果的调研,从上学期期末数学试题中选出一些学生易错题.重新进行测试,并认为做这些题不出任何错误的同学为“过关”,出了错误的同学认为“不过关”,现随机调查了年级50人,他们的测试成绩的频数分别如表:
(Ⅰ)由以上统计数据完成如下2×2列联表,并判断是否有95%的把握认为期末数学成绩不低于90分与测试“过关”是否有关?说明你的理由.
分数低于90分人数
分数不低于90分人数
合计
过关人数
不过关人数
合计
(Ⅱ)在期末分数段[105,120)的5人中,从中随机选3人,记抽取到过关测试“过关”的人数为X,求X的分布列及数学期望.
(20)(本小题12分)
已知x=3是函数f(x)= aln(1+x)+ x2﹣10x的一个极值点.
(Ⅰ)求a;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅲ)若直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点,求b的取值范围.
(21)(本小题12分)
已知函数f(x)= alnx +bx2﹣(b+a)x.
(Ⅰ)当a=1,b=0时,求f(x)的最大值;
(Ⅱ)当b=1时,设α,β是f(x)两个极值点,且α<β,β∈(1,e](其中e为自然对数的底数).求证:对任意的x1 ,x2∈[α,β],|f(x1)﹣f(x2)|<1.
请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
(22)(本小题10分)
极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位,以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴.已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=8cosθ.
(Ⅰ)求C的直角坐标方程;
(Ⅱ)设直线l与曲线C交于A,B两点,求弦长|AB|.
(23)(本小题10分)
已知关于x的不等式|2x﹣1|﹣|x﹣1|≤a.
(Ⅰ)当a=3时,求不等式的解集;
(Ⅱ)若不等式有解,求实数a的取值范围.
新桥中学、肇庆实中2016-2017学年第二学期
高二年级期末考试
( 理科数学)参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
C
C
B
C
D
C
A
B
C
D
二、填空题
(13)_________1+a+a2_____________ (14)__________77____________
(15)___________-7__________ __ (16)_________③_____________
17(12分)
(Ⅰ)PO⊥平面ABCD,AC平面ABCD,PO⊥AC
在RtAOP中,PO=2AO,AP=
直线AP与平面ABCD夹角的余弦值为
(Ⅱ)PO⊥平面ABCD,BD平面ABCD,
PO⊥BD;
AC、BD是正方形ABCD的对角线,
AC⊥BD;
PO⊥BD,AC⊥BD,PO∩AC=O,且PO平面PAC,AC平面PAC,
BD⊥平面PAC.
18 (12分)
(1)对照数据,计算得=86, =66.5,=4.5,
=3.5,
∴回归方程的系数为b==0.7,a=0.35,
∴所求线性回归方程为y=0.7x+0.35
(2)由(1)求出的线性回归方程,估计生产100吨甲产品的生产能耗为0.7×100+0.35=70.35(吨),
∴估计生产100吨甲产品的生产能耗为70.35吨.
19(12分)
(I)依题意得,a=12,b=18,c=14,d=6,
填写列联表如下;
分数低于9(0分)人数
分数高于9(0分)人数
合计
过关人数
12
14
26
不过关人数
18
6
24
合计
30
20
50
计算观测值K2=
对照数表知,有95%的把握认为期末数学成绩不低于90(分)与测试“过关”有关;
(II)在期末分数段[105,120)的5人中,有3人 测试“过关”,
随机选3人,抽取到过关测试“过关”的人数为X的可能取值为1、2、3,
则P(X=1)==,P(X=2)===, P(X=3)==,
所以,X的分布列为:
X
1
2
3
P
X的数学期望为E(X)=1×+2×+3×==1.8.
20 (12分)
解:(Ⅰ)因为 所以 因此a=16
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=16ln(1+x)+x2﹣10x,x∈(﹣1,+∞)
当x∈(﹣1,1)∪(3,+∞)时,f′(x)>0
当x∈(1,3)时,f′(x)<0
所以f(x)的单调增区间是(﹣1,1),(3,+∞), f(x)的单调减区间是(1,3)
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,f(x)在(﹣1,1)内单调增加,
在(1,3)内单调减少,在(3,+∞)上单调增加,且当x=1或x=3时,f′(x)=0
所以f(x)的极大值为f(1)=16ln2﹣9,极小值为f(3)=32ln2﹣21
因此f(16)>162﹣10×16>16ln2﹣9=f(1)f(e﹣2﹣1)<﹣32+11=﹣21<f(3)
所以在f(x)的三个单调区间(﹣1,1),(1,3),(3,+∞)直线y=b有y=f(x)的图象各有一个交点,当且仅当f(3)<b<f(1)
因此,b的取值范围为(32ln2﹣21,16ln2﹣9)
21 (12分)
(Ⅰ)当a=1,b=0时,f(x)=lnx﹣x(x>0),导数f′(x)=-1,
当x>1时,f′(x)<0,
当0<x<1时,f′(x)>0,
∴x=1时,函数取极大值,也为最大值,且为﹣1;
(Ⅱ)证明:当b=1时,f(x)=alnx+x2﹣(1+a)x,
导数f′(x)=+x﹣(1+a)= (x>0),
∵α,β是f(x)两个极值点,且α<β,β∈(1,e],
∴α=1,β=a,(1<a≤e),
∴当1<x<a时,f′(x)<0,即函数f(x)递减,
当x>a或0<x<1,f′(x)>0,即函数f(x)递增,
∵任意的x1 ,x2∈[α,β],则函数f(x)在该区间内是减函数,
∴f(1)最大且为﹣(1+a),f(a)最小且为alna+a2﹣(1+a)a,
∴|f(x1)﹣f(x2)|≤f(1)﹣f(a)=﹣(1+a)﹣alna﹣a2+(1+a)a=(a2﹣1)﹣alna,
令g(x)=(x2﹣1)﹣xlnx(1<x≤e)
则g′(x)=x﹣1﹣lnx,g′(1)=0,g′(e)=e﹣1﹣1>0,
∴g(x)在(1,e]上递增,
故g(x)≤(e2﹣1)﹣elne=,即(a2﹣1)﹣alna≤,而<1,
∴|f(x1)﹣f(x2)|<1.
22. (10分)
(I)由曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=8cosθ,即ρ2sin2θ=8ρcosθ,化为y2=8x.
(II)把直线l的参数方程为(t为参数)代入y2=8x化为3t2﹣16t﹣64=0.
解得t1=8,t2=.
∴弦长|AB|=|t1﹣t2|= 8+=
23 (10分)
(Ⅰ)当a=3时,关于x的不等式即|2x﹣1|﹣|x﹣1|≤3,
故有 ①,或②,或 ③.
解①求得﹣3≤x<,解②求得 ≤x≤1,解③求得1<x≤3.
综上可得,不等式的解集为[﹣3,3].
(Ⅱ)若不等式有解,则a大于或等于f(x)=|2x﹣1|﹣|x﹣1|的最小值.
由f(x)=,可得函数f(x)的最小值为f()=﹣,
故a≥﹣.
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