2021届新高考版高考数学一轮复习教师用书：第九章第四讲　双曲线 10页

第四讲　双曲线 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1.[多选题]以下说法正确的是 (　　)‎ A.若点(2,3)在焦距为4的双曲线x‎2‎a‎2‎‎- ‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)上,则此双曲线的离心率e=1‎ B.若点F,B分别是双曲线x‎2‎a‎2‎‎- ‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的一个焦点和虚轴的一个端点,则线段FB的中点一定不在此双曲线的渐近线上 C.等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于‎2‎ D.若双曲线x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)与y‎2‎b‎2‎‎- ‎-x‎2‎a‎2‎=1(a>0,b>0)的离心率分别是e1,e2,则‎1‎e‎1‎‎2‎+‎1‎e‎2‎‎2‎=1(称这两条双曲线互为共轭双曲线)‎ ‎2.[2016全国卷Ⅰ]已知方程x‎2‎m‎2‎‎+n‎- -‎y‎2‎‎3m‎2‎-n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是(　　)‎ A.( - 1,3) B.( - 1,‎3‎) C.(0,3) D.(0,‎3‎)‎ ‎3.[2019全国卷Ⅲ]双曲线C:x‎2‎‎4‎‎-‎y‎2‎‎2‎=1的右焦点为F ,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF |,则 ‎△PF O的面积为(　　)‎ A.‎3‎‎2‎‎4‎ B.‎3‎‎2‎‎2‎ C.2‎2‎ D.3‎‎2‎ ‎4.[2019全国卷Ⅱ]设F 为双曲线C:x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF |,则C的离心率为 (　　)‎ A.‎2‎ B.‎3‎ C.2 D.‎‎5‎ ‎5.[2018天津高考]已知双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则 双曲线的方程为(　　)‎ A.x‎2‎‎4‎‎-‎y‎2‎‎12‎=1 B.x‎2‎‎12‎‎-‎y‎2‎‎4‎=1‎ C.x‎2‎‎3‎‎-‎y‎2‎‎9‎=1 D.x‎2‎‎9‎‎-‎y‎2‎‎3‎=1‎ ‎6.[双空题]已知双曲线E:x‎2‎a‎2‎‎- ‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程是2‎2‎x-y=0,则双曲线E的离心率e=;若双曲线E的实轴长为2,过双曲线E的右焦点F可作两条直线与圆C:x2+y2-2x+4y+m=0相切,则实数m的取值范围是　　　　. ‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 考法1 双曲线定义的应用 ‎1(1)已知点F 1( - 3,0)和F 2(3,0),动点P到F 1,F 2的距离之差为4,则点P的轨迹方程为 A.x‎2‎‎4‎‎-‎y‎2‎‎5‎=1(y>0) B.x‎2‎‎4‎‎-‎y‎2‎‎5‎=1(x>0)‎ C.y‎2‎‎4‎‎-‎x‎2‎‎5‎=1(y>0) D.y‎2‎‎4‎‎-‎x‎2‎‎5‎=1(x>0)‎ ‎(2)已知F 1,F 2为双曲线C:x2 - y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F 1PF 2=60°,则|PF 1|·|PF 2|=‎ A.2 B.4 C.6 D.8‎ ‎(1)由题设知点P的轨迹是焦点在x轴上的双曲线的右支,(注意“距离之差”与“距离之差的绝对值”的区别)‎ 设其方程为x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(x>0,a>0,b>0),由题设知c=3,a=2,则b2=5,所以点P的轨迹方程为x‎2‎‎4‎‎-‎y‎2‎‎5‎=1(x>0).‎ ‎(2)由双曲线的方程得a=1,c=‎2‎,‎ 由双曲线的定义得||PF 1| - |PF 2||=2.‎ 在△PF 1F 2中,由余弦定理得 ‎|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2 - 2|PF 1|·|PF 2|cos 60°,‎ 即(2‎2‎)2=|PF 1|2+|PF 2|2 - |PF 1|·|PF 2|‎ ‎=(|PF 1| - |PF 2|)2+|PF 1|·|PF 2|‎ ‎=22+|PF 1|·|PF 2|,‎ 解得|PF 1|·|PF 2|=4.‎ ‎(1)B　(2)B ‎1.[2020广东七校第一次联考]P是双曲线C:x‎2‎‎2‎ - y2=1右支上一点,直线l是双曲线C的一条渐近线.P在l上的射影为Q,F 1是双曲线C的左焦点,则|PF 1|+|PQ|的最小值为(　　)‎ A.1 B.2+‎15‎‎5‎ C.4+‎15‎‎5‎ D.2‎2‎+1‎ 考法2 求双曲线的标准方程 ‎2 [2017全国卷Ⅲ]已知双曲线C:x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=‎5‎‎2‎x,且C与椭圆x‎2‎‎12‎‎+‎y‎2‎‎3‎=1有公共焦点,则C的方程为 A.x‎2‎‎8‎‎-‎y‎2‎‎10‎=1　 B.x‎2‎‎4‎‎-‎y‎2‎‎5‎=1　 C.x‎2‎‎5‎‎-‎y‎2‎‎4‎=1　 D.x‎2‎‎4‎‎-‎y‎2‎‎3‎=1‎ 思路一　根据双曲线的渐近线方程得出a,b的关系,根据C与椭圆共焦点求出c,利用c2=b2+a2求出a2 ,b2,即得双曲线的标准方程.‎ 思路二　利用与椭圆共焦点的双曲线方程的设法求解.‎ 解法一　根据双曲线C的一条渐近线方程为y=‎5‎‎2‎x,可知ba‎=‎‎5‎‎2‎　①.因为椭圆x‎2‎‎12‎‎+‎y‎2‎‎3‎=1的焦点坐标为(3,0)和( - 3,0),所以a2+b2=9　②,根据①②可知a2=4,b2=5.‎ 所以双曲线C的方程为x‎2‎‎4‎‎-‎y‎2‎‎5‎=1.‎ 解法二　因为双曲线与椭圆有共同的焦点,所以设双曲线方程为x‎2‎‎12-λ‎+‎y‎2‎‎3-λ=1(3<λ<12).‎ 令x‎2‎‎12-λ‎+‎y‎2‎‎3-λ=0,得y2=λ-3‎‎12-λx2.‎ 又双曲线的渐近线方程为y=‎5‎‎2‎x,‎ 所以λ-3‎‎12-λ‎=‎‎5‎‎4‎,解得λ=8.‎ 所以双曲线C的方程为x‎2‎‎4‎‎-‎y‎2‎‎5‎=1.‎ B ‎3 [2019辽宁五校联考]已知双曲线过点(2,3),渐近线方程为y=±‎3‎x,则该双曲线的标准方程是 A.‎7‎x‎2‎‎16‎‎-‎y‎2‎‎12‎=1　B.y‎2‎‎3‎‎-‎x‎2‎‎2‎=1　C.x2 - y‎2‎‎3‎=1　D.‎3‎y‎2‎‎23‎‎-‎x‎2‎‎23‎=1‎ 解法一　若双曲线的焦点在x轴上,设其标准方程为x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0),则由题意可得‎4‎a‎2‎‎-‎9‎b‎2‎=1,‎ba‎=‎3‎,‎解得a=1,‎b=‎3‎,‎所以双曲线的标准方程为x2 - y‎2‎‎3‎=1;若双曲线的焦点在y轴上,设其标准方程为y‎2‎a‎2‎‎-‎x‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0),则由题意可得‎9‎a‎2‎‎-‎4‎b‎2‎=1,‎ab‎=‎3‎,‎该方程组无解.‎ 综上,所求双曲线的标准方程为x2 - y‎2‎‎3‎=1.‎ 解法二　设双曲线的方程为x‎2‎m‎-‎y‎2‎n=1(mn>0),则由题意可得‎4‎m‎-‎9‎n=1,‎nm‎=‎3‎,‎解得m=1,‎n=3,‎所以所求双曲线的标准方程为x2 - y‎2‎‎3‎=1.‎ 解法三　因为双曲线的渐近线方程为y=±‎3‎x,所以可设双曲线的方程为3x2 - y2=λ(λ≠0),则由双曲线过点(2,3),可得λ=3×22 - 32=3,故双曲线的方程为3x2 - y2=3,其标准方程为x2 - y‎2‎‎3‎=1.‎ C ‎2.[2017天津高考]已知双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的左焦点为F ,离心率为‎2‎.若经过F 和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为(　　)‎ A.‎2‎‎4‎‎-‎y‎2‎‎4‎=1 B.x‎2‎‎8‎‎-‎y‎2‎‎8‎=1 C.x‎2‎‎4‎‎-‎y‎2‎‎8‎=1 D.x‎2‎‎8‎‎-‎y‎2‎‎4‎=1‎ 考点3 双曲线的几何性质 命题角度1　求双曲线的渐近线　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ ‎4(1)[2018全国卷Ⅱ]双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的离心率为‎3‎,则其渐近线方程为 A.y=±‎2‎x　 B.y=±‎3‎x 　 C.y=±‎2‎‎2‎x　 D.y=±‎3‎‎2‎x ‎(2)[2018全国卷Ⅰ]已知双曲线C:x‎2‎‎3‎ - y2=1,O为坐标原点,F 为C的右焦点,过F 的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=‎ A.‎3‎‎2‎ B.3 C.2 ‎3‎ D.4‎ ‎(1)解法一　由题意知,e=ca‎=‎‎3‎,所以c=‎3‎a,所以b=c‎2‎‎-‎a‎2‎‎=‎‎2‎a,所以ba‎=‎‎2‎,所以该双曲线的渐近线方程为y=±bax=±‎2‎x.‎ 解法二　由e=ca‎=‎1+(‎ba‎)‎‎2‎=‎‎3‎,得ba‎=‎‎2‎,所以该双曲线的渐近线方程为y=±bax=±‎2‎x.‎ ‎(2)易知双曲线x‎2‎‎3‎ - y2=1的渐近线方程为y=±‎3‎‎3‎x,所以∠MON=60°.不妨设过点F 的直线与直线y=‎3‎‎3‎x交于点M,由△OMN为直角三角形,不妨设∠OMN=90°,则∠MF O=60°,又直线MN过点F (2,0),所以直线MN的方程为y= - ‎3‎(x - 2),由y=-‎3‎(x-2),‎y=‎3‎‎3‎x,‎得x=‎3‎‎2‎,‎y=‎3‎‎2‎,‎所以M(‎3‎‎2‎,‎3‎‎2‎),所以|OM|=‎(‎3‎‎2‎‎)‎‎2‎+(‎‎3‎‎2‎‎)‎‎2‎‎=‎‎3‎,所以|MN|=‎3‎|OM|=3.‎ ‎(1)A　(2)B 命题角度2　求双曲线的离心率或其范围 ‎ 5[2019全国卷Ⅰ]已知双曲线C:x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若F‎1‎A‎=‎AB,F‎1‎B·F‎2‎B=0,则C的离心率为　　　　. ‎ 思路一‎ ‎由F‎1‎B·F‎2‎B=0‎推得F‎1‎B⊥F‎2‎B由F‎1‎A=AB推得F‎1‎B⊥OA→由tan∠BOF 2=tan 2∠BF 1O建立关于a,b的方程→可求得离心率的值 思路二‎ ‎由‎1‎B·F‎2‎B=0‎推得F‎1‎B⊥F‎2‎B由F‎1‎A=AB推得△OBF‎2‎为等边三角形→由点B在直线y=bax上建立关于a,b的方程→可求得离心率的值 解法一　因为F‎1‎B·F‎2‎B=0,所以 F 1B⊥F 2B,如图9 - 4 - 1.所以|OF 1|=|OB|,所以 ‎∠BF 1O=∠F 1BO,所以∠BOF 2=2∠BF 1O.因为F‎1‎A‎=‎AB,所以点A为线段F 1B的中点,又点O为线段F 1F 2的中点,所以OA∥BF 2,所以F 1B⊥OA.因为直线OA,OB为双曲线C的两条渐近线,所以tan∠BF 1O=ab,tan∠BOF 2=ba.因为tan∠BOF 2=tan 2∠BF 1O,所以ba‎=‎‎2×‎ab‎1-(‎ab‎)‎‎2‎,所以b2=3a2,所以c2 - a2=3a2,即2a=c,所以双曲线的离心率e=ca=2. ‎ 解法二　因为F‎1‎B·F‎2‎B=0,所以F 1B⊥F 2B.在Rt△F 1BF 2中,|OB|=|OF 2|,所以∠OBF 2=∠OF 2B.又F‎1‎A‎=‎AB,所以A为线段F 1B的中点,所以OA∥F 2B,所以∠F 1OA=∠OF 2B.又∠F 1OA=∠BOF 2,所以△OBF 2为等边三角形.由F 2(c,0)可得B(c‎2‎,‎3‎c‎2‎),因为点B在直线y=bax上,所以‎3‎‎2‎c=ba·c‎2‎,所以ba‎=‎‎3‎,所以e=‎1+‎b‎2‎a‎2‎=2.‎ 命题角度3　与双曲线有关的范围(或最值)问题 ‎ 6 [2020湘东六校联考]已知双曲线C:x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的两个顶点分别为A1,A2,F 为双曲线的一个焦点,B为虚轴的一个端点,若在线段BF 上(不含端点)存在两点P1,P2,使得∠A1P1A2=∠A1P2A2=π‎2‎,则双曲线的渐近线的斜率k的平方的取值范围是 A.(1,‎5‎‎+1‎‎2‎) B.(1,‎3‎‎+1‎‎2‎) C.(0,‎5‎‎+1‎‎2‎) D.(‎3‎‎+1‎‎2‎,‎3‎‎2‎)‎ 由以A1A2为直径的圆O上存在两点P1,P2,使得∠A1P1A2=∠A1P2A2=π‎2‎→由圆心O到直线BF 的距离小于圆的半径a建立关于a,b的不等式→可求得双曲线的渐近线的斜率k的平方的取值范围 不妨设点F 为双曲线的左焦点,点B在y轴正半轴上,则F ( - c,0),B(0,b),直线BF 的方程为bx - cy= - bc.如图9 - 4 - 2所示,以O为圆心,A1A2为直径作圆O,则P1,P2在圆O上.‎ 由题意可知b>a,‎bcb‎2‎‎+‎c‎2‎‎0,b>0)的左、右焦点,若双曲线上存在点P满足PF‎1‎·PF‎2‎= - a2,则该双曲线离心率的取值范围为(　　)‎ A.[‎3‎,+∞) B.[‎2‎,+∞) C.(1,‎3‎] D.(1,‎2‎]‎ ‎(2)[2020广东省百校联考]已知双曲线C:x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的离心率为2,F 1,F 2分别是双曲线的左、右焦点,点M( -a,0),‎ ‎(0,b),点P为线段MN上的动点,当PF‎1‎·PF‎2‎取得最小值和最大值时,△PF 1F 2的面积分别为S1,S2,则S‎2‎S‎1‎=(　　)‎ A.4 B.8 C.2‎3‎ D.4‎‎3‎ 考法4 直线与双曲线的综合问题 ‎7 已知双曲线C:x2 - y2=1及直线l:y=kx - 1.‎ ‎(1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;‎ ‎(2)若l与C交于A,B两点,O是坐标原点,且△AOB的面积为‎2‎,求实数k的值.‎ ‎(1)联立双曲线方程与直线方程,消去y→x2的系数不为0且Δ>0→求k的取值范围 ‎(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)→S△OAB转化为S△OAD±S△OBD→根与系数的关系→解关于k的方程 ‎(1)联立双曲线C与直线l的方程得x‎2‎‎-y‎2‎=1,‎y=kx-1,‎消去y整理得(1 - k2)x2+2kx - 2=0.‎ 因为l与C有两个不同的交点,即上式有两个不同的实数根,‎ 所以‎1-k‎2‎≠0,‎Δ=4k‎2‎+8(1-k‎2‎)>0,‎ 解得 - ‎2‎‎<‎k‎<‎‎2‎且k≠±1.即当双曲线C与直线l有两个不同的交点时,实数k的取值范围是( - ‎2‎, - 1)∪( - 1,1)∪(1,‎2‎).‎ ‎(2)设交点A(x1,y1),B(x2,y2),直线l与y轴交于点D(0, - 1),由(1)知,联立双曲线C和直线l的方程并整理得(1 - k2)x2+2kx - 2=‎ ‎0( - ‎2‎‎<‎k‎<‎‎2‎且k≠±1),‎ 所以x‎1‎‎+x‎2‎=‎-2k‎1-‎k‎2‎,‎x‎1‎x‎2‎‎=‎-2‎‎1-‎k‎2‎.‎ 当A,B在双曲线的同一支上且|x1|>|x2|时,‎ S△OAB=S△OAD - S△OBD=‎1‎‎2‎(|x1| - |x2|)=‎1‎‎2‎|x1 - x2|;‎ 当A,B分别在双曲线的两支上且x1>x2时,‎ S△OAB=S△OAD+S△OBD=‎1‎‎2‎(|x1|+|x2|)=‎1‎‎2‎|x1 - x2|.‎ 综上,S△OAB=‎1‎‎2‎|x1 - x2|=‎2‎,‎ 所以(x1 - x2)2=(x1+x2)2 - 4x1x2=(2‎2‎)2,‎ 即(‎-2k‎1-‎k‎2‎)2+‎8‎‎1-‎k‎2‎=8,解得k=0或k=±‎6‎‎2‎.‎ 所以当△AOB的面积为‎2‎时,实数k的值为0或‎6‎‎2‎或 - ‎6‎‎2‎.‎ ‎318‎ ‎1.BCD　对于A,双曲线的焦点为(- 2,0),(2,0),2a=|‎(2+2‎)‎‎2‎+(3- 0‎‎)‎‎2‎‎-‎‎(2- 2‎)‎‎2‎+(3- 0‎‎)‎‎2‎|=2,a=1,从而离心率e=2,所以A错误;‎ 对于B,F(±c,0),B(0,±b),FB的中点坐标(±c‎2‎,±b‎2‎)不满足双曲线的渐近线方程y=±bax,所以B正确;‎ 对于C,由等轴双曲线的性质可得C正确;‎ 对于D,由共轭双曲线的性质可知D正确.故选BCD.‎ ‎2.A　解法一　因为双曲线x‎2‎m‎2‎‎+n‎-‎y‎2‎‎3m‎2‎- n=1两焦点之间的距离为4,则:‎ ‎①当焦点在x轴上时,‎2‎‎2‎‎=m‎2‎+n+3m‎2‎- n,‎‎3m‎2‎- n>0,‎m‎2‎‎+n>0,‎解得m‎2‎‎=1,‎‎- 10,‎‎|m‎2‎+n+3m‎2‎- n|=4,‎化简可得‎(m‎2‎+n)(3m‎2‎- n)>0,‎m‎2‎‎=1,‎ 则- 11,解得e=‎2‎,故选A.‎ ‎5.C　解法一　因为直线AB经过双曲线的右焦点,所以不妨取A(c,b‎2‎a),B(c,- b‎2‎a),取双曲线的一条渐近线为直线bx- ay=0,由点到直线的距离公式可得d1=‎|bc- b‎2‎|‎a‎2‎‎+‎b‎2‎‎=‎bc- ‎b‎2‎c,d2=‎|bc+b‎2‎|‎a‎2‎‎+‎b‎2‎‎=‎bc+‎b‎2‎c,因为d1+d2=6,所以bc- ‎b‎2‎c‎+‎bc+‎b‎2‎c=6,所以2b=6,得b=3.因为双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的离心率为2,即ca=2,所以a‎2‎‎+‎b‎2‎a‎2‎=4,所以a‎2‎‎+9‎a‎2‎=4,解得a2=3,所以双曲线的方程为x‎2‎‎3‎‎-‎y‎2‎‎9‎=1,故选C.‎ 解法二　由直线AB过双曲线的右焦点且垂直于x轴,d1+d2=6,得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3,所以b=3.因为双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的离心率为2,所以ca=2,所以a‎2‎‎+‎b‎2‎a‎2‎=4,所以a‎2‎‎+9‎a‎2‎=4,解得a2=3,所以双曲线的方程为x‎2‎‎3‎‎-‎y‎2‎‎9‎=1,故选C.‎ ‎6.3　(- 3,5)　因为双曲线E的一条渐近线的方程是2‎2‎x- y=0,所以ba=2‎2‎,所以e=ca‎=a‎2‎‎+‎b‎2‎a‎2‎=‎1+‎b‎2‎a‎2‎=‎‎1+(2‎‎2‎‎)‎‎2‎=3.因为双曲线E的实轴长为2,所以2a=2,即a=1,所以c=3,F(3,0).由题意得右焦点F在圆C外,所以需满足‎3‎‎2‎‎+‎0‎‎2‎- 2×3+4×0+m>0,‎‎(x- 1‎)‎‎2‎+(y+2‎)‎‎2‎=5- m>0,‎解得- 3