【数学】2018届一轮复习人教A版第四章　平面向量与复数学案 30页

‎　第四章　平面向量与复数)‎ 第1课时　平面向量的概念与线性运算(对应学生用书(文)、(理)73～74页)‎ ‎① 了解向量的实际背景；理解平面向量的基本概念和几何表示；理解向量相等的含义.‎ ‎② 掌握向量加、减法和数乘运算，理解其几何意义；理解向量共线定理.‎ ‎③ 了解向量的线性运算性质及其几何意义．‎ ‎　　掌握向量加、减法、数乘的运算，以及两个向量共线的充要条件．‎ ‎1. 如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，则向量a－b可表示为__________．‎ 答案：e1－3e2‎ 解析：由题图可知a＝－4e2，b＝－e1－e2，则a－b＝e1－3e2.‎ ‎2. 在四边形ABCD中，若＝＋，则四边形ABCD的形状是__________．‎ 答案：平行四边形 解析：依题意知AC是以AB，AD为相邻两边的平行四边形的对角线，所以四边形ABCD是平行四边形．‎ ‎3. 在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则＝____________．‎ 答案：b＋c 解析：如图，因为在△ABC中，＝c，＝b，且点D满足＝2，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝b＋c.‎ ‎4. 设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．‎ 答案： 解析：因为向量λa＋b与a＋2b平行，所以λa＋b＝k(a＋2b)，则所以λ＝.‎ ‎5. (必修4P73习题15改编)已知向量i与j不共线，且＝i＋mj，＝n i＋j.若A，B，D三点共线，则实数m，n 应该满足的条件是________．(填序号)‎ ‎① m＋n＝1；② m＋n＝－1；③ mn＝1；④ mn＝－1.‎ 答案：③‎ 解析：由A，B，D共线可设＝λ，于是有i＋mj＝λ(n i＋j)＝λn i＋λ j．又i，j不共线，因此即有mn＝1.‎ ‎1. 向量的有关概念 ‎(1) 向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)，记作||.‎ ‎(2) 零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的．‎ ‎(3) 单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．‎ ‎(4) 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．‎ 规定：0与任一向量平行．‎ ‎(5) 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．‎ ‎(6) 相反向量：与向量a长度相等且方向相反的向量叫做a的相反向量．规定零向量的相反向量仍是零向量．‎ ‎2. 向量加法与减法运算 ‎(1) 向量的加法 ‎① 定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．‎ ‎② 法则：三角形法则；平行四边形法则．‎ ‎③ 运算律：a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．‎ ‎(2) 向量的减法 ‎① 定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法．‎ ‎② 法则：三角形法则．‎ ‎3. 向量的数乘运算及其几何意义 ‎(1) 实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：‎ ‎① |λa|＝|λ||a|；‎ ‎② 当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.‎ ‎(2) 运算律：设λ，μ∈R，则：① λ(μa)＝(λμ)a；② (λ＋μ)a＝λa＋μa；③ λ(a＋b)＝λa＋λb．‎ ‎4. 向量共线定理 向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．‎ ‎,　　　　　　　　　1　平面向量的基本概念)‎ ‎,　　　　　1)　(1) 给出下列六个命题：‎ ‎① 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；‎ ‎② 若|a|＝|b|，则a＝b；‎ ‎③ 若＝，则A，B，C，D四点构成平行四边形；‎ ‎④ 在ABCD中，一定有＝；‎ ‎⑤ 若m＝n，n＝p，则m＝p；‎ ‎⑥ 若a∥b，b∥c，则a∥c.‎ 其中错误的命题是________．(填序号)‎ ‎(2) (2016·盐城模拟)给出以下命题：‎ ‎① 对于实数p和向量a，b，恒有p(a－b)＝pa－pb；‎ ‎② 对于实数p，q和向量a，恒有(p－q)a＝pa－qa；‎ ‎③ 若pa＝pb(p∈R)，则a＝b；‎ ‎④ 若pa＝qa(p，q∈R，a≠0)，则p＝q.‎ 其中正确的命题是__________．(填序号)‎ 答案：(1) ①②③⑥　(2) ①②④‎ 解析：(1) 两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；|a|＝|b|，由于a与b方向不确定，所以a，b不一定相等，故②不正确；＝，可能有A，B，C，D在一条直线上的情况，所以③不正确；零向量与任一向量平行，故a∥b，b∥c时，若b＝0，则a与c不一定平行，故⑥不正确．‎ ‎(2) 根据实数与向量乘积的定义及其运算律，可知①②④正确；③不一定成立，因为当p＝0时，pa＝pb＝0，而不一定有a＝b.‎ 设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|·a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题个数是________．‎ 答案：3‎ 解析：向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②、③也是假命题，填3.‎ ‎,　　　　　　　　　2　平面向量的线性表示)‎ ‎,　　　　　2)　(2016·无锡期中)如图，在△ABC中，＝＝.若＝λ＋μ，则λ＋μ＝__________．‎ 答案： 解析：由题意，＝，＝，∴ ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.‎ 又＝λ＋μ，∴ λ＝μ＝，λ＋μ＝.‎ 变式训练 ‎(2016·南京、盐城调研)已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且＝2，则向量＝__________(用，表示)．‎ 答案：＋ 解析：∵ ＝2，∴ ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.‎ ‎,　　　　　　　　　3　共线向量)‎ ‎,　　　　　3)　(1) (2016·徐州调研)设a，b是两个不共线向量，＝‎2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b.若A，B，D三点共线，则实数p的值是________．‎ ‎(2) (2016·江门月考)已知D为△ABC边BC的中点，点P满足＋＋＝0，＝λ，则实数λ的值为__________．‎ 答案：(1) －1　(2) －2‎ 解析：(1) ∵ A，B，D三点共线，∴ 存在常数λ，使＝λ.又＝＋＝‎2a－b，＝‎2a＋pb，‎ ‎∴ ∴ p＝－1.‎ ‎(2) 如图所示，由＝λ且＋＋＝0，可知P为以AB，AC为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此＝－2，则λ＝－2.‎ 变式训练 ‎(2016·郑州模拟)已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b.若c与d同向，则实数λ的值为__________．‎ 答案：1‎ 解析：由于c与d同向，所以c＝kd(k＞0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.‎ 由于a，b不共线，所以有整理得2λ2－λ－1＝0，所以λ＝1或λ＝－.因为k＞0，所以λ＞0，故λ＝1.‎ ‎,　　　　　　　　　4　向量共线的应用)‎ ‎,　　　　　4)　(2016·兰州模拟改编)已知D为△ABC的边AB的中点．M在DC上且满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积比为__________．‎ 答案：3∶5‎ 解析：由5＝＋3，得2＝2＋3－3，即2(－)＝3(－)，即2＝3，故＝，故△ABM与△ABC同底且高的比为3∶5，故S△ABM∶S△ABC＝3∶5.‎ 如图，△ABC中，在AC上取一点N，使AN＝AC；在AB上取一点M，使得AM＝AB；在BN的延长线上取点P，使得NP＝BN；在CM的延长线上取点Q，使得＝λ时，＝，试确定λ的值．‎ 解：∵ ＝－＝(－)＝(＋)＝，＝－＝＋λ，‎ 又＝，‎ ‎∴ ＋λ＝，即λ＝，‎ ‎∴ λ＝.‎ ‎1. (2016·扬州中学质检改编)下列各式不能化简为的是________．(填序号)‎ ‎① (＋)＋；② (＋)＋(＋)；③ ＋－；④ －＋.‎ 答案：③‎ 解析：对于①，(＋)＋＝(＋)＋＝＋＝；对于②，(＋)＋(＋)＝＋(＋＋)＝；对于③，＋－＝＋2；对于④，－＋＝＋＝.‎ ‎2. (2016·南通调研)如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝2，则x＝__________，y＝__________．‎ 答案：　 解析：由题意知＝＋，又＝2，所以＝＋＝＋(－)＝＋，所以x＝，y＝.‎ ‎3. (2016·福州质检改编)在△ABC中，＝2，＝a，＝b，＝c，则c＝__________．(用a，b表示)‎ 答案：－ 解析：如图所示，＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＝b－.‎ ‎4. (2016·清华附中模拟改编)如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段AB交于圆内一点D.若＝x＋y，则x＋y的取值范围是__________．‎ 答案：(－∞，－1)‎ 解析：由于A，B，D三点共线，设 ‎＝α，则＝＋＝＋α＝＋α(－)＝(1－α)＋α.由于O，C，D三点共线，且点D在圆内，点C在圆上，与方向相反，则存在λ＜－1，使得＝λ＝λ[(1－α)＋α]＝λ(1－α)＋λα＝x＋y，因此x＝λ(1－α)，y＝λα，所以x＋y＝λ＜－1.‎ ‎1. 已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：① ＝a－b；② ＝a＋b；③ ＝－a＋b；④ ＋＋＝0.‎ 其中正确的命题为________．(填序号)‎ 答案：②③④‎ 解析：＝a，＝b，＝＋＝－a－b，＝＋＝a＋b，＝(＋)＝(－a＋b)＝－a＋b，∴ ＋＋＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0.∴ 正确的命题为②③④.‎ ‎2. (2016·长春模拟)已知m，n满足|m|＝2，|n|＝3，|m－n|＝，则|m＋n|＝________．‎ 答案：3‎ 解析：由平行四边形的对角线与边的关系，得|m－n|与|m＋n|为以m，n为邻边的平行四边形的两条对角线的长，得|m－n|2＋|m＋n|2＝2|m|2＋2|n|2＝26.又|m－n|＝，故|m＋n|2＝26－17＝9，故|m＋n|＝3.‎ ‎3. 如图，半径为的扇形AOB的圆心角为120°，点C在弧AB上，且∠COB＝30°.若＝λ＋μ，求λ＋μ的值．‎ 解：如图，作CD∥OB，交OA于点D，作CE∥OA，交OB的延长线于点E，则＝＋.‎ 由题意知，∠COD＝90°，‎ ‎∴ 在△OCE中，∠OCE＝90°，∠COB＝30°.‎ ‎∵ ||＝，∴ ||＝||＝1，||＝2，‎ ‎∴ ＝＝，＝＝，即λ＝，μ＝，故λ＋μ＝.‎ ‎4. (2016·杭州一模改编)设P为锐角△ABC的外心(三角形外接圆的圆心)，＝k(＋)(k∈R)．若cos∠BAC＝，则k＝________．‎ 答案： 解析：取BC的中点D，连结PD，AD，则PD⊥BC，＋＝2.∵ ＝k(＋)(k∈R)，∴ ＝2k，∴ A，P，D三点共线，∴ AB＝AC，‎ ‎∴ cos∠BAC＝cos∠DPC＝＝＝，‎ ‎∴ AP＝AD，∴ 2k＝，解得k＝.‎ ‎1. 解决与平面向量的概念有关的命题真假的判定问题，其关键在于透彻理解平面向量的概念，还应注意零向量的特殊性，以及两个向量相等必须满足：①模相等；②方向相同．‎ ‎2. 在进行向量线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线，相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．‎ ‎3. 平行向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数．利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点．‎ ‎[备课札记]‎ 第2课时　平面向量的基本定理及 ‎ 坐标表示(对应学生用书(文)、(理)75～76页)‎ ‎① 了解平面向量的基本定理及其意义.② 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；理解用坐标表示的平面向量共线的条件．‎ ‎[来源:学科网]‎ ‎　　能正确用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算，以及熟练掌握用坐标表示的平面向量共线的条件．‎ ‎1. (必修4P79练习1改编)已知平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则向量a－b＝____________．‎ 答案：(－1，2)‎ 解析：a－b＝－＝(－1，2)．‎ ‎2. (必修4P79练习9改编)已知M(3，－2)，N(－5，2)，且＝，则P点的坐标为____________．‎ 答案：(－1，0)‎ 解析：设P(x，y)，则＝(x－3，y＋2)，而＝(－8，4)＝(－4，2)，∴解得 ‎3. (2016·新课标Ⅱ)已知向量a＝(m，4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝__________．‎ 答案：－6‎ 解析：因为a∥b，所以－‎2m－4×3＝0，解得m＝－6.‎ ‎4. (必修4P79练习4改编)已知ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________．‎ 答案：(1，5)‎ 解析：设D(x，y)，则由＝，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即解得 ‎5. 设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.‎ 答案：　－ 解析：由题意，设e1＋e2＝ma＋nb.‎ 因为a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(‎2m＋n)e2.‎ 由平面向量基本定理，得所以 ‎1. 平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使得a＝λ1e1＋λ2e2．我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这个平面内所有向量的一组基底．‎ 如果作为基底的两个基向量互相垂直，则称其为正交基底，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．‎ ‎2. 平面向量的直角坐标运算 ‎(1) 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.‎ ‎(2) 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．a∥bx1y2－x2y1＝0.‎ ‎[备课札记]‎ ‎,　　　　　　　　　1　平面向量的坐标表示与坐标运算)‎ ‎,　　　　　1)　已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝‎3c，＝－2b.‎ ‎(1) 求‎3a＋b－‎3c；‎ ‎(2) 求满足a＝mb＋nc的实数m，n；‎ ‎(3) 求M，N的坐标及向量的坐标．‎ 解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．‎ ‎(1) ‎3a＋b－‎3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．‎ ‎(2) ∵ mb＋nc＝(－‎6m＋n，－‎3m＋8n)＝(5，－5)，‎ ‎∴ 解得 ‎(3) 设O为坐标原点，∵ ＝－＝‎3c，‎ ‎∴ ＝‎3c＋＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)，‎ ‎∴ M的坐标为(0，20)．‎ 又＝－＝－2b，‎ ‎∴ ＝－2b＋＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，‎ ‎∴ N的坐标为(9，2)，‎ ‎∴ ＝(9－0，2－20)＝(9，－18)．‎ 变式训练 如图，已知点A(1，0)，B(0，2)，C(－1，－2)，求以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．‎ 解：如图所示，以A，B，C为顶点的平行四边形可以有三种情况：① ABCD；② ADBC；③ ABDC.设D的坐标为(x，y)，‎ ‎① 若是ABCD，则由＝，得 ‎(0，2)－(1，0)＝(－1，－2)－(x，y)，‎ 即(－1，2)＝(－1－x，－2－y)，‎ ‎∴ ∴ x＝0，y＝－4.‎ ‎∴ D点的坐标为(0，－4)(如图中所示的D1)．‎ ‎② 若是ADBC，则由＝，得 ‎(0，2)－(－1，－2)＝(x，y)－(1，0)，‎ 即(1，4)＝(x－1，y)，‎ 解得x＝2，y＝4.‎ ‎∴ D点的坐标为(2，4)(如图中所示的D2)．‎ ‎③ 若是ABDC，则由＝，得 ‎(0，2)－(1，0)＝(x，y)－(－1，－2)，‎ 即(－1，2)＝(x＋1，y＋2)．‎ 解得x＝－2，y＝0.‎ ‎∴ D点的坐标为(－2，0)(如图中所示的D3)．‎ ‎∴ 以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为(0，－4)或(2，4)或(－2，0)．‎ ‎,　　　　　　　　　2　向量共线充要条件的坐标表示及应用)‎ ‎,　　　　　2)　已知向量＝(3，－4)，＝(5，－3)，＝(4－m，m＋2)．‎ ‎(1) 若D，求证：对任意实数m，都有∥；‎ ‎(2) 若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足什么条件？‎ ‎(1) 证明：由题意，＝－＝(2，1)，＝－＝.‎ 因为2－1·(m－4)＝0，所以∥，证毕．‎ ‎(2) 解：＝－＝(2，1)，＝－＝(1－m，m＋6)．‎ 若点A，B，C能构成三角形，则A，B，C三点不共线．‎ 当A，B，C三点共线时，＝λ，即(2，1)＝λ(1－m，m＋6)，得解得m＝－.‎ ‎∴ 当m≠－时，点A，B，C能构成三角形．‎ 变式训练 ‎(2016·襄樊一模改编)已知＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k的取值集合为__________．‎ 答案：{1}‎ 解析：若点A，B，C不能构成三角形，则向量与共线．‎ 因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)．所以1×(k＋1)－2k＝0，解得k＝1.‎ ‎,　　　　　　　　　3　平面向量基本定理及应用)‎ ‎,　　　　　3)　(2016·北京模拟)如图所示，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于F，设＝a，＝b，＝xa＋yb，则x，y分别为__________．‎ 答案：， 解析：令＝λ，由题，可知＝＋＝＋λ＝＋λ＝(1－λ)a＋λb；同理，令＝μ，则＝＋＝＋μ＝＋μ＝μa＋(1－μ)b.‎ 因为a，b不共线，所以由平面向量基本定理得解得所以＝a＋b.故x＝，y＝.‎ ‎(2016·合肥模拟)在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC 的中点．若＝λ＋μ，求λ＋μ的值．‎ 解：(解法1)由＝λ＋μ，得＝λ·(＋)＋μ·(＋)，得＋＋＝0，得＋＋＝0，得＋＝0.‎ 又∵ ，不共线，‎ ‎∴ 由平面向量基本定理得 解得∴ λ＋μ＝.‎ ‎(解法2)(回路法)连结MN并延长交AB的延长线于T，‎ 由已知易得AB＝AT，∴ ＝＝λ＋μ，‎ ‎∵ T，M，N三点共线，∴ λ＋μ＝.‎ ‎1. (2016·苏锡常镇模拟)已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)．若‎3a－2b＋c＝0，则c＝__________．‎ 答案：(－23，－12)‎ 解析：‎3a－2b＋c＝(23＋x，12＋y)＝0，故x＝－23，y＝－12，则c＝(－23，－12)．‎ ‎2. P＝{a|a＝(－1，1)＋m(1，2)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1，－2)＋n(2，3)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q＝________．‎ 答案：{(－13，－23)}‎ 解析：P中，a＝(－1＋m，1＋‎2m)，Q中，b＝(1＋2n，－2＋3n)．‎ 则得 此时a＝b＝(－13，－23)．‎ ‎3. (2016·襄樊月考改编)在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，且c>b>a，若向量m＝(a－b，1)和n＝(b－c，1)平行，且sin B＝，则当△ABC的面积为时，b＝________．‎ 答案：2‎ 解析：由向量m＝(a－b，1)和n＝(b－c，1)平行知a＋c＝2b　①，‎ 由acsin B＝ac＝　②，‎ 由c>b>a知B为锐角，则cos B＝，‎ 即＝　③，‎ 由①②③可得b＝2.‎ ‎4. (2016·宿迁期中)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，角A的平分线与AB边上的中线交于点O.若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的值为__________．‎ 答案： 解析：∵ AO为△ABC的角平分线，∴ 存在实数λ(λ≠0)使＝λ，即＝λ＋λ，‎ ‎∴ 　①.‎ 若AB边上的中线与AB交于点D，则＝2x＋y.‎ ‎∵ C，O，D三点共线，∴ 2x＋y＝1　②.‎ 由①②得x＝，y＝，∴ x＋y＝.‎ ‎1. 已知向量a＝，b＝(x，1)，其中x>0，若(a－2b)∥(‎2a＋b)，则x的值为__________．‎ 答案：4 ‎ 解析：a－2b＝，‎2a＋b＝(16＋x，x＋1)，‎ 由已知(a－2b)∥(‎2a＋b)，显然‎2a＋b≠0，‎ 故有＝λ(16＋x，x＋1)，λ∈R，‎ ‎∴ x＝4(x>0)．‎ ‎2. 若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标．现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为___________．‎ 解析：∵ a在基底p，q下的坐标为(－2，2)，‎ 即a＝－2p＋2q＝(2，4)．‎ 令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，‎ ‎∴ 即 ‎∴ a在基底m，n下的坐标为(0，2)．‎ ‎3. (2016·朝阳一模改编)在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，＝λ＋μ，则λ＋μ的值为________．‎ 答案： 解析：∵ M为边BC上任意一点，‎ ‎∴ 可设＝x＋y(x＋y＝1)．‎ ‎∵ N为AM中点，∴ ＝＝x＋y＝λ＋μ.∴ λ＋μ＝(x＋y)＝.‎ ‎4. (2016·常州期末)如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足＝m＋n(m，n均为正实数)，则＋的最小值为________．‎ 答案： 解析：(解法1)设＝a，＝b，则＝－a＋b；‎ 设＝λ，则＝＋＝a＋λb.‎ 因为＝ma＋nb，所以有 1－λ＝m，λ＝n，‎ 消去λ得m＋n＝1，‎ ＋＝＝1＋＋＋≥＋2＝.‎ ‎(解法2)以A为原点，AB为x轴，AD 为y轴建系，则A(0，0)，B(4，0)，C(1，4)，‎ 设＝λ＝(－3λ，4λ)，则＝＋＝(4－3λ，4λ)．‎ 因为＝m＋n＝(‎4m，4n), 所以有 4－3λ＝‎4m，4λ＝4n，消去λ得m＋n＝1(下同解法1)．‎ ‎1. 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．‎ ‎2. 利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标．‎ ‎3. 向量共线问题中，一般是根据其中的一些关系求解参数值，如果向量是用坐标表示的，就可以使用两个向量共线的充要条件的坐标表示列出方程，根据方程求解其中的参数值．‎ ‎[备课札记]‎ ‎[来源:学&科&网]‎ 第3课时　平面向量的数量积及平面向量的 ‎ 应用举例(对应学生用书(文)、(理)77～79页)[来源:学科网]‎ ‎① 理解平面向量数量积的含义.② 掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；能利用数量积表示两个向量夹角的余弦，会用数量积判断两个非零向量是否垂直．‎ ‎① 平面向量的数量积及其几何意义，数量积的性质及运算律，数量积的坐标表示.② 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题．‎ ‎1. (必修4P87例4改编)已知向量a＝(1，2)，b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x＝____________．‎ 答案：9‎ 解析：由a⊥(a－b)知，a2＝a·b，即5＝x－4，则x＝9.‎ ‎2. (2016·北京卷)已知向量a＝(1，)，b＝(，1)，则a与b夹角的大小为__________．‎ 答案： 解析：设a与b夹角为θ，由已知，a·b＝2，|a|＝|b|＝2，cos θ＝，因为θ∈[0，π]，所以θ＝.‎ ‎3. 已知|a|＝|b|＝|a－2b|＝1，则|a＋2b|＝________．‎ 答案：3‎ 解析：由|a|＝|b|＝|a－2b|＝1，得a2－‎4a·b＋4b2＝1，‎ ‎∴ ‎4a·b＝4，∴ |a＋2b|2＝a2＋‎4a·b＋4b2＝5＋4＝9，‎ ‎∴ |a＋2b|＝3.‎ ‎4. (必修4P81习题第3(1)题改编)已知两个单位向量e1，e2的夹角为.若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________．‎ 答案：－6‎ 解析：b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e－2e1·e2－8e.因为e1，e2为单位向量，〈e1，e2〉＝，所以b1·b2＝3－2×－8＝3－1－8＝－6.‎ ‎5. (必修4P84习题第4题改编)已知D是△ABC所在平面内一点，且满足(－)·(－)＝0，则△ABC的形状是__________．‎ 答案：等腰三角形 解析： (－)·(－)＝(－)·＝0，所以 ·＝·，所以acos B＝bcos A，利用余弦定理化简得a2＝b2，即a＝b，所以△ABC是等腰三角形．‎ ‎1. 向量数量积的定义 ‎(1) 向量a与b的夹角 ‎(2) 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos_θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，并规定零向量与任一向量的数量积为0.‎ ‎2. 向量数量积的性质 设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ是a与b的夹角，则 ‎(1) e·a＝a·e.‎ ‎(2) a⊥b a·b＝0．‎ ‎(3) 当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；‎ 当a与b反向时，a·b＝－|a|·|b|；‎ 特殊的，a·a＝|a|2或|a|＝.‎ ‎(4) cos θ＝.‎ ‎(5) |a·b|≤|a|·|b|.‎ ‎3. 向量数量积的运算律 ‎(1) 交换律：a·b＝b·a.‎ ‎(2) 分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.‎ ‎(3) 数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．‎ ‎4. 平面向量数量积的坐标表示 ‎(1) 若非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.故a⊥bx1x2＋y1y2＝0.‎ ‎(2) 设a＝(x，y)，则|a|＝．‎ ‎(3) 若向量a＝(x1，y1)与向量b＝(x2，y2)的夹角为θ，则有cos θ＝＝.‎ ‎[备课札记]‎ ‎,　　　　　　　　　1　平面向量的数量积运算)‎ ‎,　　　　　1)　(1) (2016·南京二模)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝3，CD＝2，＝2.若·＝－3，则·＝__________；‎ ‎(2) (2016·南通期末)已知边长为6的正三角形ABC，＝，＝，AD与BE交于点P，则·的值为__________．‎ 答案：(1) 　(2) 解析：(1) 因为·＝·(－＋)＝－2－·＝－3，所以·＝.‎ ‎(2) 以D点为坐标原点，直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，则B(－3，0)，C(3，0)，A(0，3)，E(1，2)，P，则·的值为.‎ 变式训练 ‎(2016·南通、扬州、泰州、淮安二模)如图，已知△ABC的边BC的垂直平分线交AC于点P，交BC于点Q.若||＝3，||＝5，则(＋)·(－)的值为__________．‎ 答案：－16‎ 解析：由＝－，·＝0，则(＋)·(－)＝(2－)·＝2·＝(＋)·(－)＝ 2－ 2＝9－25＝－16.‎ ‎,　　　　　　　　　2　平面向量的平行与垂直问题)‎ ‎,　　　　　2)　(2016·泰州期末)在△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，向量m＝(cos A，sin B)，n＝(cos B，sin A)．‎ ‎(1) 若acos A＝bcos B，求证：m∥n；‎ ‎(2) 若m⊥n，a＞b，求tan 的值．‎ ‎(1) 证明：因为acos A＝bcos B，‎ 所以sin Acos A＝sin Bcos B，所以m∥n.‎ ‎(2) 解：因为m⊥n，所以cos Acos B＋sin Asin B＝0，即cos(A－B)＝0.‎ 因为a>b，所以A>B.‎ 又A，B∈(0，π)，所以A－B∈(0，π)，则A－B＝，所以tan ＝tan ＝1.‎ 变式训练 ‎(2016·南通密卷)平面直角坐标系xOy中，已知向量＝(6，1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，且∥.‎ ‎(1) 求x与y之间的关系式；‎ ‎(2) 若⊥，求四边形ABCD的面积．‎ 解：(1) 由题意得＝＋＋＝(x＋4，y－2)，＝(x，y), ‎ 因为∥，所以(x＋4)y－(y－2)x＝0，‎ 即x＋2y＝0.‎ ‎(2) 由题意＝＋＝(x＋6，y＋1)，＝＋＝(x－2，y－3)，‎ 因为⊥，‎ 所以(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0，‎ 即x2＋y2＋4x－2y－15＝0，‎ 联立 解得或 当时，＝(8，0)，＝(0，－4)，‎ S四边形ABCD＝|AC||BD|＝16；‎ 当时，＝(0，4)，＝(－8，0)，S四边形ABCD＝|AC||BD|＝16.‎ 所以四边形ABCD的面积为16.‎ ‎,　　　　　　　　　3　平面向量的模与夹角问题)‎ ‎,　　　　　3)　(1) (2016·无锡期末)已知平面向量α，β满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则α的模的取值范围是____________；‎ ‎(2) (2016·苏北四市期末)已知||＝||＝，且·＝1.若点C满足|＋|＝1，则||的取值范围是____________．‎ 答案：(1) 　(2) [－1，＋1]‎ 解析：(1) 设△ABC中，a＝|β|＝1，A＝60°，|α|＝c，由正弦定理得＝，则＝c，即c＝sin C．又00；‎ ‎② 若z是复数z的共轭复数，则D(z)＝D(z)恒成立；‎ ‎③ 若D(z1)＝D(z2)(z1，z2∈C)，则z1＝z2.‎ 其中，真命题是________．(填序号)‎ 答案：②‎ 解析：若z＝0，则D(z)＝0，所以①错误；因为D(z)＝D(a－bi)＝|a|＋|－b|＝|a|＋|b|＝D(z)，所以②正确；设z1＝1＋i，z2＝1－i，则有D(z1)＝D(z2)，但z1≠z2，所以③错误．‎ ‎4. (2016·南通期末)若复数z＝a＋2i(i为虚数单位，a∈R)满足|z|＝3，则a的值为________．‎ 答案：答案：± 解析：|z|＝＝3，则a＝±.‎ ‎5. (2016·汕头模拟)已知集合A＝{1，2z2，zi}，B＝{2，4}，i为虚数单位．若A∩B＝{2}，则纯虚数z为________．‎ 答案：－2i 解析：∵ A＝{1，2z2，zi}，B＝{2，4}，且A∩B＝{2}．‎ ‎∴ 2z2＝2或zi＝2，解得z＝±1(舍去)，或z＝－2i(此时2z2＝－8≠4)．则纯虚数z为－2i.‎ ‎1. 处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．复数问题的实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的方法，其依据是复数相等的充要条件和复数的模的运算及性质．‎ ‎2. 复数的代数形式的运算主要有加法、减法、乘法、除法，除法实际上是分母实数化的过程．‎ ‎3. 根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论．‎ ‎[备课札记]‎