2018-2019学年浙江省台州市联谊五校高一下学期期中考试数学试题（解析版） 15页

‎2018-2019学年浙江省台州市联谊五校高一下学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知等差数列，，则公差（ ）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用通项得到关于公差d的方程，解方程即得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查数列的通项的基本量的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎2．已知向量满足，，则 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用向量坐标运算的加法法则求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由题得.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量加法的坐标运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎3．在数列中，，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．以上都不对 ‎【答案】B ‎【解析】先通过列举找到数列的周期，再根据周期求解.‎ ‎【详解】‎ 由题得，‎ 所以数列的周期为3，‎ 又2019=3×673，‎ 所以.‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题主要考查数列的递推公式和数列的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎4．已知向量，若，则实数 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题得，解方程即得解.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量垂直的坐标表示，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎5．在中，若，则是（ ）‎ A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由tanAtanB＞1及A、B是三角形的内角知，A、B为锐角，所以即,所以角C也是锐角，故三角形是锐角三角形．选A．‎ ‎【考点】判断三角形的形状．‎ ‎6．在中，角所对的边分别为，下列结论不正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】对每一个选项逐一分析判断得解.‎ ‎【详解】‎ 选项A,是余弦定理，所以该选项正确；‎ 选项B,实际上是正弦定理的变形，所以该选项是正确的；‎ 选项C,由于,所以该选项正确；‎ 选项D,,不一定等于sinC,所以该选项是错误的.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查余弦定理和正弦定理实行边角互化，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎7．莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把120个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份面包是　　‎ A．2个 B．13个 C．24个 D．35个 ‎【答案】A ‎【解析】由题意可设五个人所分得的面包数为：，，a，，其中，然后由已知列式求得a，d的值，则答案可求．‎ ‎【详解】‎ 解：设五个人所分得的面包数为：，，a，，其中，‎ 则有，‎ ‎，得．‎ 又，‎ ‎，得．‎ 最小的一份为个，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题．‎ ‎8．已知数列满足，，是数列的前项和，则（ ）‎ A． B．‎ C．数列是等差数列 D．数列是等比数列 ‎【答案】B ‎【解析】分析：由，可知数列隔项成等比，再结合等比的有关性质即可作出判断.‎ 详解：数列满足，，‎ 当时，‎ 两式作商可得：，‎ ‎∴数列的奇数项，成等比，‎ 偶数项，成等比，‎ 对于A来说，，错误；‎ 对于B来说，‎ ‎，正确；‎ 对于C来说，数列是等比数列 ，错误；‎ 对于D来说，数列是等比数列，错误，‎ 故选：B 点睛：本题考查了由递推关系求通项，常用方法有：累加法，累乘法，构造等比数列法，取倒数法，取对数法等等，本题考查的是隔项成等比数列的方法，注意偶数项的首项与原数列首项的关系.‎ ‎9．平面向量满足，当取得最小值时，（ ）‎ A．0 B．2 C．3 D．6‎ ‎【答案】A ‎【解析】设；；，再利用坐标法和向量的数量积求解即可.‎ ‎【详解】‎ 根据题意设；；‎ 不妨设则，，‎ 当时上式取最小值此时，.‎ ‎，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查坐标法和平面向量数量积的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析 推理能力.‎ ‎10．设数列的前项和为，若存在实数，使得对于任意的，都有，则称数列为“数列”（ ）‎ A．若是等差数列，且首项，则数列是“数列”‎ B．若是等差数列，且公差，则数列是“数列”‎ C．若是等比数列，也是“数列”，则数列的公比满足 D．若是等比数列，且公比满足，则数列是“数列”‎ ‎【答案】D ‎【解析】求出等差数列的前项和公式，取即可判断错误；举例首项不为0判断错误；举 例说明错误；求出等比数列的前项和，由绝对值不等式证明正确.‎ ‎【详解】‎ 对于，若是等差数列，且首项，当时，，当时，‎ ‎，则不是“数列”，故错误；‎ 对于，若是等差数列，且公差，，当时，当时，，‎ 则不是“数列”，故错误；‎ 对于，若是等比数列，且是“数列”，则的公比或，故错误;‎ 对于，若是等比数列，且公比，，则是“数列”，故正确；‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题是新定义题，考查了等差数列和等比数列的应用，对题意的理解是解答此题的关键，属 中档题.‎ 二、填空题 ‎11．已知向量满足.若，则 _______； ______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】先根据求出m的值，再求得解.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以（1）×m4=0,所以m=4.‎ 所以.‎ 故答案为：(1). (2). ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量平行的坐标表示和向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎12．已知数列的前项和，,则_________；__________．‎ ‎【答案】1 ‎ ‎【解析】令n=1即得的值，再求出数列的通项，即得的值.‎ ‎【详解】‎ 令n=1即得.‎ 由题得，适合n=1.‎ 所以是一个以1为首项，以2为公差的等差数列.‎ ‎.‎ 故答案为：(1). 1 (2). ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查项和公式，考查等差数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎13．在中，边所对的角分别为，若，，则______；_______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】先根据求出A的值，再根据求出B的值即得C的值.‎ ‎【详解】‎ 由题得,‎ 所以.‎ 因为，所以,‎ 所以C=.‎ 故答案为： (1). (2). ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查余弦定理解三角形和三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎14．已知数列满足，若为单调递增的等差数列，其前项和为，则__________；若为单调递减的等比数列，其前项和为，则__________.‎ ‎【答案】370 6 ‎ ‎【解析】（1）为单调递增的等差数列，则公差．由数列满足，，可得，，可得，为一元二次方程的两个实数根，且，解得再利用通项公式与求和公式即可得出．②设等比数列的公比为，根据已知可得，是一元二次方的两个实数根，又为单调递减的等比数列，可得，．再利用通项公式与求和公式即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎①为单调递增的等差数列，则公差．‎ 数列满足，，‎ ‎，，‎ 则，为一元二次方程的两个实数根，且，‎ 解得，，‎ 可得，，解得．‎ ‎．‎ ‎②设等比数列的公比为，数列满足，，‎ ‎，是一元二次方程的两个实数根，‎ 又为单调递减的等比数列，，．‎ ‎，解得．‎ ‎，解得．‎ ‎，解得．‎ 故答案为：(1). 370 (2). 6‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算 能力，属于中档题．‎ ‎15．已知向量，其中、均为非零向量，则的取值范围为 _________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用向量三角形不等式即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 的取值范围是，；‎ 故答案为：，．‎ ‎【点睛】‎ 熟练掌握向量三角形不等式是解题的关键．‎ ‎16．若锐角的面积为，则边上的中线为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直接利用三角形的面积公式求出A的值，进一步利用余弦定理求出结果．‎ ‎【详解】‎ 解：锐角的面积为，，，‎ 则：，‎ 解得：，‎ 所以：，‎ 所以：，‎ 解得：．‎ 在中，‎ 利用余弦定理：，‎ 在中，‎ 利用余弦定理：‎ 得：，‎ 解得：‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．‎ ‎17．在同一个平面内，向量的模分别为与的夹角为，且与的夹角为，若，则_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】以为轴，建立直角坐标系，则，由的模为与与的夹角为，且知， ，可得 ，，由可得 ，，故答案为.‎ ‎【 方法点睛】本题主要考查向量的坐标运算及两角和的余弦公式、同角三角函数之间的关系，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答，这种方法在求范围与最值问题时用起来更方便．‎ 三、解答题 ‎18．已知为单位向量，. ‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求与的夹角的余弦值；‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）利用向量的模的公式求；（2）利用向量的夹角公式求与的夹角的余弦值.‎ ‎【详解】‎ 由题得；‎ 由题得与的夹角的余弦值为 故答案为：（1）；（2）.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量的模和数量积的计算，考查向量夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎19．如图，在圆内接中，角所对的边分别为，满足.‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）若点是劣弧上一点，，求线段长.‎ ‎【答案】（1）；（2）1.‎ ‎【解析】（1）利用正弦定理化简即得B的值；（2）先利用余弦定理求出AC的长，再利用三角公式求出,再利用正弦定理求出AD的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），‎ ‎，‎ 因为 ‎，因为,‎ ‎.‎ ‎（2）在中，由余弦定理可得,‎ 由可得,‎ ‎，‎ 在中，由正弦定理可得.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎20．已知公差不为零的等差数列的前9项和，且成等比数列．‎ ‎（1）若数列满足，求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据已知条件求出，再利用累加法求数列 的通项公式；（2）利用错位相减法求数列的前项和．‎ ‎【详解】‎ ‎(1) 由得，,化简得．‎ 由成等比数列，得，‎ 化简得，‎ 因为 ，所以 ，‎ 所以 ， ‎ 因此数列的通项公式 ，‎ ‎,‎ ‎，‎ 的通项公式为；‎ ‎（2）由题意，‎ ‎,‎ ‎，‎ ‎ .‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列通项的求法，考查累加法求数列的通项，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎21．在中，角，，所对的边为，，，.‎ ‎（1）若，，求的面积；‎ ‎（2）若，求的面积的最大值.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】分析：(1)利用余弦定理求出，进而得到，再利用求值即可；（2）由可得，转求二次函数的最值即可.‎ 详解：（1）∵，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵.‎ 又，∴.‎ ‎∴ ‎ ‎ .‎ ‎∴（当且仅当时取等号）.‎ 所以面积的最大值为 点睛：点睛：解三角形的基本策略 一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.‎ ‎22．已知数列的各项均不为零，其前项和为，设，数列的前项和为．‎ ‎（1）比较与的大小；‎ ‎（2）证明：．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】（1）先求出，再求出，再证明；（2）利用放缩法证明 ‎【详解】‎ ‎（1）由得：，‎ 两式相减得：，‎ ‎， ‎ 又，∴， ‎ ‎∴‎ ‎，‎ 即：； ‎ ‎（2）由（1）知：，，‎ 因此当时，，‎ 则.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查项和公式求数列的通项，考查不等式的放缩和数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎