高中数学选修2-2课时提升作业(十八) 2_2_2 10页

温馨提示：‎ ‎ 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。‎ 课时提升作业(十八)‎ 反　证　法 一、选择题(每小题3分，共18分)‎ ‎1.(2014·合肥高二检测)用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是(　　)‎ A.有两个内角是钝角 B.有三个内角是钝角 C.至少有两个内角是钝角 D.没有一个内角是钝角 ‎【解析】选C.“最多有一个”的反设是“至少有两个”.‎ ‎2.实数a，b，c满足a+2b+c=2，则(　　)‎ A.a，b，c都是正数 B.a，b，c都大于1‎ C.a，b，c都小于2‎ D.a，b，c中至少有一个不小于 ‎【解析】选D.假设a，b，c均小于，则a+2b+c<+1+=2，与已知矛盾，故假设不成立，所以a，b，c中至少有一个不小于.‎ ‎3.(2014·唐山高二检测)(1)已知：p3+q3=2，求证：p+q≤2.用反证法证明时，‎ 可假设p+q≥2.‎ ‎(2)已知：a，b∈R，|a|+|b|<1，求证：方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1，以下结论正确的是(　　)‎ A.(1)与(2)的假设都错误 B.(1)与(2)的假设都正确 C.(1)的假设正确，(2)的假设错误 D.(1)的假设错误，(2)的假设正确 ‎【解析】选D.(1)错，应假设为p+q>2.(2)假设正确.故选D.‎ ‎4.(2014·杭州高二检测)设a，b，c大于0，则3个数：a+，b+，c+的值(　　)‎ A.都大于2‎ B.至少有一个不大于2‎ C.都小于2‎ D.至少有一个不小于2‎ ‎【解题指南】因为三个数的和不小于6，可以判断三个数至少有一个不小于2，所以可假设这三个数都小于2来推出矛盾.‎ ‎【解析】选D.假设a+，b+，c+都小于2，‎ 即a+<2，b+<2，c+<2，‎ 所以++<6，‎ 又a>0，b>0，c>0，‎ 所以++‎ ‎=++≥2+2+2=6.‎ 这与假设矛盾，所以假设不成立.‎ ‎【变式训练】已知x1>0，且x1≠1，且xn+1=(n=1，2，3…).试证：数列{xn}对任意正整数n都满足xnxn+1.当此题用反证法否定结论时，应为(　　)‎ A.对任意的正整数n，都有xn=xn+1‎ B.存在正整数n，使得xn=xn+1‎ C.存在正整数n，使xn≥xn-1且xn≥xn+1‎ D.存在正整数n，使得(xn-xn-1)(xn-xn+1)≥0‎ ‎【解析】选B.对于数列中的连续两项来说，要么不相等，要么相等.‎ ‎5.设a，b，c是正数，P=a+b-c，Q=b+c-a，R=c+a-b，则“PQR>‎0”‎是“P，Q，R同时大于零”的(　　)‎ A.充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【解析】选C.必要性显然，充分性：若PQR>0，则P，Q，R同时大于零或其中两个为负，不妨设P<0，Q<0，R>0，因为P<0，Q<0，即a+b0矛盾，所以P，Q，R同时大于零，故选C.‎ ‎6.若△ABC能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是(　　)‎ A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 ‎【解析】选B.分△ABC的直线只能过一个顶点且与对边相交，如直线AD(点D在BC上)，则∠ADB+∠ADC=π，若∠ADB为钝角，则∠ADC为锐角.而∠ADC>∠BAD，∠ADC>∠ABD，△ABD与△ACD不可能相似，与已知不符，只有当∠ADB=∠ADC=∠‎ BAC=时，才符合题意.‎ 二、填空题(每小题4分，共12分)‎ ‎7.(2014·南昌高二检测)命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是____________________________.‎ ‎【解析】“至少有一个”的否定是“没有一个”.‎ 答案：没有一个是三角形或四边形或五边形 ‎8.(2014·石家庄高二检测)设a，b是两个实数，给出下列条件：①a+b=1；②a+b=2；③a+b>2；④a2+b2>2.‎ 其中能推出“a，b中至少有一个大于‎1”‎的条件是__________(填序号).‎ ‎【解题指南】可采用特殊值法或反证法逐一验证.‎ ‎【解析】若a=，b=，则a+b=1，但a<1，b<1，故①不能推出.若a=b=1，则a+b=2，故②不能推出.‎ 若a=-2，b=1，则a2+b2>2，故④不能推出.‎ 对于③，即a+b>2，则a，b中至少有一个大于1.‎ 反证法：假设a≤1且b≤1，则a+b≤2与a+b>2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.‎ 答案：③‎ ‎9.用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：‎ ‎①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A=∠B=90°不成立；‎ ‎②所以一个三角形中不能有两个直角；‎ ‎③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°.‎ 正确顺序的序号排列为________.‎ ‎【解析】由反证法证明的步骤知，先反设即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.‎ 答案：③①②‎ 三、解答题(每小题10分，共20分)‎ ‎10.(2013·南阳高二检测)已知a，b，c，d∈R，且a+b=c+d=1，ac+bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数.‎ ‎【解题指南】反证法来证明正难则反的运用，先否定结论，假设a，b，c，d都是非负数，然后推出矛盾来得到证明.‎ ‎【证明】假设a，b，c，d都是非负数，‎ 因为a+b=c+d=1，‎ 所以(a+b)(c+d)=1.‎ 又(a+b)(c+d)=ac+bd+ad+bc≥ac+bd，‎ 所以ac+bd≤1，‎ 这与已知ac+bd>1矛盾，‎ 所以a，b，c，d中至少有一个是负数.‎ ‎【拓展提升】适用反证法证明的题型 适用反证法证明的题型有：(1)一些基本命题、基本定理.(2)易导出与已知矛盾的命题.(3)“否定性”命题.(4)“唯一性”命题.(5)“必然性”命题.(6)“至多”“至少”类命题.(7)“必然性”命题.(8)涉及“无限”结论的命题等.‎ ‎11.求证过一点只有一条直线与已知平面垂直.‎ ‎【解题指南】文字叙述题的证明应先写出已知，求证，本题证明时应分两种情况，即点P在平面α内和点P在平面α外.‎ ‎【证明】已知：平面α和一点P.‎ 求证：过点P与平面α垂直的直线只有一条.‎ 证明：如图所示，不论点P在α内或α外，设PA⊥α，垂足为A(或P).‎ 假设过点P还有另一条直线PB⊥α，‎ 设PA，PB确定的平面为β，且α∩β=a，‎ 于是在平面β内过点P有两条直线PA，PB垂直于a，这与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，所以假设不成立，原命题成立.‎ 一、选择题(每小题4分，共16分)‎ ‎1.(2014·济宁高二检测)用反证法证明命题“+是无理数”时，假设正确的是(　　)‎ A.假设是有理数 B.假设是有理数 C.假设或是有理数 D.假设+是有理数 ‎【解析】选D.假设结论的反面成立，+不是无理数，则+是有理数.‎ ‎2.(2014·潍坊高二检测)否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是(　　)‎ A.有一个解 B.有两个解 C.至少有三个解 D.至少有两个解 ‎【解析】选C.在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n+1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”.‎ ‎3.已知直线a，b为异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为 ‎(　　)‎ A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 ‎【解析】选C.假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线.‎ ‎4.已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an=an+2，bn=bn+1(a，b是常数，且a>b)，那么两个数列中序号与相应项的数值相同的项的个数是(　　)‎ A.0 B.1‎ C.2 D.无穷多个 ‎【解题指南】假设存在两个数列中序号与相应项的数值相同的项，推理得出矛盾.‎ ‎【解析】选A.假设存在两个数列中序号与相应项的数值相同的项，则有an+2=bn+1，得到(a-b)n=-1，这样的n是不存在的，故假设不成立.‎ 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎5.(2014·郑州高二检测)若下列两个方程x2+(a-1)x+a2=0，x2+2ax‎-2a=0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是__________.‎ ‎【解析】假设两个一元二次方程均无实根，则有 即 解得{a|-20.由基本不等式，得 ‎≥>=.‎ 同理，>，>.‎ 将这三个不等式两边分别相加，得 ‎++>++，‎ 即>，这是不成立的，‎ 故(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不能都大于.‎ ‎8.(2014·温州高二检测)设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn=an+bn.证明数列{cn}不是等比数列.‎ ‎【解题指南】假设数列{cn}是等比数列，利用{an}，{bn}是公比不相等的等比数列的条件推出矛盾，即知假设不成立.‎ ‎【证明】假设数列{cn}是等比数列，则 ‎(an+bn)2=(an-1+bn-1)(an+1+bn+1).　①‎ 因为{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p，q，所以=an-1an+1，=bn-1bn+1.‎ 代入①并整理，得 ‎2anbn=an+1bn-1+an-1bn+1‎ ‎=anbn，‎ 即2=+　②.‎ 当p，q异号时，+<0，与②相矛盾；‎ 当p，q同号时，由于p≠q，‎ 所以+>2，与②相矛盾.‎ 故数列{cn}不是等比数列.‎ ‎【拓展延伸】适用反证法证明的题型 适用反证法证明的题型有：(1)一些基本命题、基本定理.(2)易导出与已知矛盾的命题.(3)“否定性”命题.(4)“唯一性”命题.(5)“必然性”命题.(6)“至多”“至少”类命题.(7)涉及“无限”结论的命题等.‎ ‎【变式训练】已知f(x)=x2+px+q.‎ 求证：(1)f(1)+f(3)-‎2f(2)=2.‎ ‎(2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.‎ ‎【解题提示】至少有一个不小于的反面是都小于.‎ ‎【证明】(1)f(1)+f(3)-‎2f(2)‎ ‎=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2.‎ ‎(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，‎ 则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2，‎ 而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥f(1)+f(3)-‎2f(2)‎ ‎=(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)=2，‎ 这与|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2相矛盾，‎ 从而假设不成立，原命题成立.‎ 关闭Word文档返回原板块