2019-2020学年江西省新余市高二上学期期末数学（文）试题（解析版） 17页

‎2019-2020学年江西省新余市高二上学期期末数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知i为虚数单位,则复数在复平面内所对应的点位于( )‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ 在复平面内对应的点为，在第二象限，‎ 故选: B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复数代数形式的除法运算，复数的几何意义，属于容易题.‎ ‎2．若，则下列不等关系正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：，．故A正确．‎ ‎【考点】不等式的性质．‎ ‎3．等差数列的前n项和为,若,则的值为( )‎ A．14 B．28 C．42 D．56‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据等差数列的性质可得，利用前n项和的公式的变形，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ ‎,即，‎ ‎，‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的前n项和，属于容易题.‎ ‎4．下列说法:①越小,X与Y有关联的可信度越小;②若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r的值越接近于1;③“若,则类比推出,“若,则;④命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是使用了“三段论”,推理形式错误.其中说法正确的有( )个 A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为越大,X与Y有关联的可信度越大，可判断①；两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r的绝对值越接近于1，可判断②；虚数不能比较大小可判断③；大前提“有些有理数是无限循环小数”不是全称命题，故可判断④.‎ ‎【详解】‎ ‎①中因为越大,X与Y有关联的可信度越大，所以越小,X与Y有关联的可信度越小,正确；‎ ‎②中因为若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r的绝对值越接近于1，故错误；‎ ‎③中因为虚数不能比较大小，可知错误；‎ ‎④中因为大前提的形式：“有些有理数是无限循环小数”，不是全称命题，故推理形式错误判断正确.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了独立性检验，线性回归，类比推理，三段论推理，属于中档题.‎ ‎5．是的内角，，则一定 A．都大于 B．都不大于 C．都小于 D．有一个不小于 ‎【答案】D ‎【解析】假设都小于，利用反证法分析证明得解.‎ ‎【详解】‎ 假设都小于，则,‎ 所以,‎ 所以.‎ 这与矛盾，‎ 所以假设不成立，所以有一个不小于.‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查反证法证明，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.属于基础题.‎ ‎6．执行如图所示的程序框图,输出s的值为( )‎ ‎ ‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据程序框图，模拟程序运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.‎ ‎【详解】‎ 第一次执行循环体后，,‎ 第二次执行循环体后，，‎ 第n次执行循环体后, ,‎ 因为输出，‎ 所以 ‎，‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了程序框图，解题时模拟程序运行过程即可，属于中档题.‎ ‎7．已知实数x,y满足,则的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】画出可行域，根据目标函数的截距，利用数形结合，即可求出z的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 作出可行域如下：‎ 由得，‎ 平移直线，‎ 由平移可知当直线，经过点时，‎ 直线的截距最小，此时取得最大值，‎ 由，解得，即，‎ 此时，‎ 可知当直线，经过点时，‎ 直线的截距最大，此时取得最小值，‎ 由，得，即，‎ 代入得，‎ 故，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，属于中档题．‎ ‎8．某汽车的使用年数与所支出的维修费用的统计数据如表：‎ ‎ 使用年数（单位：年）‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ 5‎ ‎ 维修总费用（单位：万元）‎ ‎ 0.5‎ ‎1.2‎ ‎ 2.2‎ ‎ 3.3‎ ‎ 4.5‎ 根据上表可得关于的线性回归方程=，若该汽车维修总费用超过10万元就不再维修，直接报废，据此模型预测该汽车最多可使用（　　）‎ A．11年 B．10年 C．9年 D．8年 ‎【答案】A ‎【解析】计算，求出回归系数，写出回归直线的方程，据此模型预测该汽车最多可使用的年限.‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据表中的数据，可得，‎ 代入回归直线的方程，即，解得，‎ 所以回归直线的方程为，‎ 令，解得，‎ 据此模型预测该汽车最多可使用11年，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了线性回归直线的特征，及其回归直线方程的应用问题，其中解答中根回归直线的方程的特征，求得回归直线方程是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎9．已知数列,若,,则( )‎ A．2017 B．2018 C．2019 D．2020‎ ‎【答案】C ‎【解析】由递推关系式得，可利用等比数列通项公式求解.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ ‎,‎ 即数列是以1为首项，为公比的等比数列，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了递推关系式，等比数列，属于中档题.‎ ‎10．若·+<0,则△ABC必定是(　　)‎ ‎(A)锐角三角形 (B)钝角三角形 ‎(C)直角三角形 (D)等腰直角三角形 ‎【答案】B ‎【解析】·+=·(+)‎ ‎=·<0,‎ 即||||cos A<0,‎ ‎∴cos A<0,‎ ‎∴A为钝角,‎ ‎∴△ABC是钝角三角形.故选B.‎ ‎11．正数a,b满足,若不等式对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用基本不等式求得的最小值，把问题转化为恒成立的类型，求解的最大值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ ‎，且a,b为正数，‎ ‎，‎ 当且仅当，即时，，‎ 若不等式对任意实数x恒成立，‎ 则对任意实数x恒成立，‎ 即对任意实数x恒成立，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了恒成立问题，基本不等式求最值，二次函数求最值，属于中档题.‎ ‎12．如图,已知OPQ是半径为2,圆心角为75°的扇形,点A,B,C分别是半径OP,OQ及扇形弧上的三个动点(不同于O,P,Q三点),则周长的最小值是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先根据对称性将边BC,边AC转移,再根据三角形三边在一直线上时周长最小的思路即可解.答.‎ ‎【详解】‎ 作点C关于线段OQ, OP的对称点C1，C2. 连接CC1，CC2,‎ 如图：‎ 则，‎ 又，‎ 而 ‎，‎ ‎，‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查数形结合，余弦定理的运用，解题关键是:三边转成一线时三角形周长最小，属于难题.‎ 二、填空题 ‎13．甲、乙、丙三人将独立参加某项体育达标测试.根据平时训练的经验，甲、乙、丙三人能达标 的概率分别为、、，则三人中有人达标但没有全部达标的概率为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：因三人中有一人或两人达标，其概率为,故应填.‎ ‎【考点】独立事件和对立事件的概率公式及运用．‎ ‎14．记，当时，观察下列等式： ‎ ‎……可以推测，_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由题意可知：，，所以，所以.‎ ‎【考点】归纳推理.‎ ‎15．2019年10月1日,我国举行盛大的建国70周年阅兵,能被邀到现场观礼是无比的荣耀.假设如图,在坡度为15°的观礼台上,某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上,在该列的第一排和最后一排的距离为米,则旗杆的高度为______.‎ ‎【答案】30米 ‎【解析】求得∠AEC、∠ACE和∠EAC,利用正弦定理求得AC,在RtABC中利用，求得A B的长.‎ ‎【详解】‎ 如图：‎ 由题意可知，，‎ ‎,‎ 由正弦定理可知,‎ ‎,‎ 在中,‎ ‎(米),‎ 所以旗杆的高度为30米.‎ 故答案为: 30米.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了解三角形的实际应用问题， 此类问题的解决方法是建立数学模型，把实际问题转化成数学问题，属于中档题.‎ ‎16．设关于x的不等式的解集为,则关于x的不等式的解集为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可知2且,利用标根法即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ 不等式ax+b> 0的解集为{x|x< 2},‎ ‎2是方程ax+b=0的解，且a<0,‎ ‎,‎ 由标根法得或，‎ 所以不等式的解集为，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查高次不等式的解法，着重考查标根法的应用，求得是解决问题的关键，属于中档题.‎ ‎17．如图所示,在中,点D为BC边上一点,且,E为AC的中点,,,.‎ ‎(1)求AD的长;‎ ‎(2)求的面积.‎ ‎【答案】(1)2;(2).‎ ‎【解析】(1)由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB,进而利用两角和的正弦公式可求,利用正弦定理即可求得AD的值(2)由(1)可求AC=2AE=3，由余弦定理可求DC的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)在中,‎ ‎,,‎ ‎,‎ 由正弦定理知,得.‎ ‎(2)由(1)知,依题意得,在中,由余弦定理得,‎ 即,‎ ‎,解得(负值合去),‎ ‎,‎ 从而.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了同角三角函数基本关系式,两角和的正弦公式，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，数形结合思想，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎18．已知是首项为19，公差为-2的等差数列，为的前项和.‎ ‎（1）求通项及；‎ ‎（2）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的通项公式及其前项和.‎ ‎【答案】（1）,;（2）.‎ ‎【解析】【详解】‎ ‎（1）因为是首项为，公差的等差数列 所以 ‎．‎ ‎（2）由题意，所以 ‎=‎ ‎【考点】1．等差数列；2．等比数列；3．数列求和．‎ ‎19．在中,a､b､c分别是角A､B､C的对边,且.‎ ‎(1)求角B的大小;‎ ‎(2)若,,求的周长.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】(1)利用余弦定理及变形化简，可得角B的大小（2）利用余弦定理求解的值，即可求解的周长.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由余弦定理,得,,‎ 将上式代入,‎ 整理得,‎ ‎,‎ 角B为的内角,‎ ‎..‎ ‎(2)将,,,‎ 代入,‎ 即,‎ ‎,‎ ‎,‎ 的周长为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了余弦定理的应用，三角形的周长，属于中档题.‎ ‎20．为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动．现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；‎ ‎（3）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”．请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？‎ 优秀 非优秀 合计 男生 ‎40‎ 女生 ‎50‎ 合计 ‎100‎ 参考公式及数据：  ‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）（2）74 （3）见解析，没有的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”．‎ ‎【解析】（1）根据各小矩形面积之和为1，即可解方程求出的值；‎ ‎（2）由频率分布直方图可知，平均成绩为各小矩形的面积与各底边中点值的乘积之和，即可求出；‎ ‎（3）根据题意填写列联表，计算的观测值，对照临界值即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题可得 ‎ 解得．‎ ‎（2）平均成绩为：‎ ‎（3）由（2）知，在抽取的名学生中，比赛成绩优秀的有人，由此可得完整的列联表：‎ 优秀 非优秀 合计 男生 女生 合计 ‎∵的观测值， ‎ ‎∴没有的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查频率分布直方图和独立性检验的应用问题，意在考查学生的数据处理能力，属于基础题．‎ ‎21．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整后平均每人每年创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高．‎ ‎（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？‎ ‎（2）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？‎ ‎【答案】（1）最多调整500名；（2），‎ ‎【解析】（1）根据题意可列出，进而解不等式求得 的范围，确定问题的答案．‎ ‎（2）根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，进而根据题意建立不等式，根据均值不等式求得求的范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设调整出名员工，则由题意，得，即，又，所以．‎ 即最多调整500名员工从事第三产业．‎ ‎（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，‎ 从事原来产业的员工的年总利润为万元，‎ 则，所以，‎ 所以，即在时恒成立．‎ 因为，当且仅当，即时等号成立，所以，‎ 又，所以．所以的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用．考查了学生综合运用所学知识，解决实际问题的能力．‎ ‎22．已知数列是各项均为正数的等差数列，其中，且成等比数列；数列的前项和为，满足.‎ ‎（1）求数列、的通项公式；‎ ‎（2）如果，设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立，若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1），；（2）存在；．‎ ‎【解析】【详解】试题分析：（1）数列是等差数列，用公差表示出来后，由已知求得，可得通项公式，数列是已知和与项的关系，可由求得，再写出当时，两式相减后可得的递推式 ‎，从而知是等比数列，由此可得通项公式；（2）数列是由等差数列与等比数列相乘所得，其前项和用错位相减法求得，由（2）得出，作差，会发现当时都有，因此结论是肯定的．‎ 试题解析：（1）设数列的公差为，依条件有，即，‎ 解得（舍）或，，由得，‎ 当时，，解得，当时，，‎ ‎，数列是首项为，公比为的等比数列，故；‎ ‎（2）由（1）知：，‎ ‎①，‎ ‎②，‎ ‎① —②得 又，，当时，，‎ 当时，，，故所求的正整数存在，其最小值为2．‎ ‎【考点】等差数列与等比数列的通项公式，已知，求通项公式，错位相减法求和．‎ ‎【名师点睛】‎ ‎1．一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减．‎ ‎2．用错位相减法求和的注意事项 ‎（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；‎ ‎（2）在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．‎