数学理卷·2018届湖北省荆州市公安县车胤中学高二下学期期中考试（2017-04） 10页

车胤中学 2016-2017 学年度下学期高二（2015 级）期中考试 数学（理科）试卷 命题：覃启武 审题：邹祖斌 一、选择题（每小题 5 分，共计 50 分） 1．已知集合 , ,则“ ”是“ ”的 （ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知 F1，F2 是椭圆 的两个焦点，P 是该椭圆上的任意一点，则 的 最大值是( ) A. B. C. D. 3．设 z1, z2 是复数, 则下列命题中的假命题是 （ ） A．若 , 则 B．若 , 则 C．若 , 则 D．若 , 则 4．若点 的坐标为 是抛物线 的焦点，点 在抛物线上移动时，使 取得最小值的 的坐标为 （ ） A. B. C. D. 5．方程 表示的曲线是（ ） A. 一个圆和一条直线 B. 一个圆和一条射线 C. 一个圆 D. 一条直线 6．已知正四棱柱 中 , 则 与平面 所成角的正弦值等于 （ ） A． B． C． D． 7．已知 是双曲线 上不同的三点，且 关于原点对称，若直线 的斜率乘积 ，则该双曲线的离心率是（ ） A. 2 B. C. D. 8．过双曲线 的右焦点 作一条直线，当直线斜率为 1 时，直线与 双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为 3 时，直线与双曲线右支有两个不同的交点， 则双曲线离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 9．已知空间四边形 OABC 中 OA →＝a， OB →＝b， OC →＝c，点 M 在 OA 上，且 OM＝2MA，N 为 BC 的中 点，则 MN →等于( ) A. 1 2a－ 2 3b＋ 1 2c B．－ 2 3a＋ 1 2b＋ 1 2c C. 1 2a＋ 1 2b－ 1 2c D. 2 3a＋ 2 3b－ 1 2c 10．抛物线 的焦点为 ，准线为 ， ， 是抛物线上的两个动点，且满足 ，设线段 的中点 在 上的投影为 ，则 的最大值是（ ） A． B． C． D． 11．已知向量 ， ，则以 ， 为邻边的平行四边形的面积为( ) A． B． C．4 D．8 12．如图，已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，离心率为 2，以双曲线 的实轴为直径的圆记为圆 ，过点 作圆 的切线，切点为 ，则以 为焦点，过点 的椭圆 的离心率为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题 5 分，共计 20 分） 13．已知 a＝(2，－1，3)、b＝(－1,4，－2)、c＝(7,7，λ)，若向量 a、b、c 共面，则实 数λ＝_____ 14．双曲线 2 2 116 9 y x  的两条渐近线的方程为_____________. 15．定义“正对数”: 0,0 1,ln ln , 1, xx x x      现有四个命题: ①若 0, 0a b  ,则 ln ( ) lnba b a  ; ②若 0, 0a b  ,则 ln ( ) ln lnab a b    ③若 0, 0a b  ,则 ln ( ) ln lna a bb     ④若 0, 0a b  ,则 ln ( ) ln ln ln 2a b a b      其中的真命题有__________________.(写出所有真命题的编号) 16．已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的左焦点为 ,F C 与过原点的直线相交于 ,A B 两点, 连接 ,AF BF ,若 410, 6,cos ABF 5AB AF    ,则C 的离心率 e= ______. 三、解答题（第 17 题 10 分，其余每题 12 分，合计 70 分） 17．已知全集 U=R，非空集合  2 3 xA x x   ＜ 0 ，    2 2B x x a x a    ＜ 0 . （1）当 1 2a  时，求 UC B A ； （2）命题 :p x A ，命题 :q x B ，若 q 是 p 的必要条件，求实数 a 的取值范围. 18．已知命题 P：函数 y＝loga(1－2x)在定义域上单调递增；命题 Q：不等式(a－2)x2＋2(a －2)x－4<0 对任意实数 x 恒成立．若 P∨Q 是真命题，求实数 a 的取值范围． 19．已知椭圆 C 的两个焦点为 ，离心率 ． （1）求椭圆 C 的方程； （2）若直线 ： 与椭圆交于不同的两点 （ 不是左、右顶 点），且以 为直径的圆经过椭圆的右顶点 ．求证：直线 过定点，并求出定点的坐 标. 20．如图，四棱锥 中，底面 为平行四边形， ， ， 底面 ． （1）证明：平面 平面 ； （2）若二面角 的大小为 ， 求 与平面 所 成角的正弦值． 21．如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点. (I)求证: (II) 22．已知椭圆的中心在原点，焦点在 轴上，离心率为 ，过点 的直线 与椭 圆交于 两点. （1）若直线 的斜率为 1, 且 ，求椭圆的标准方程； （2）若（1）中椭圆的右顶点为 ，直线 的倾斜角为 ，问 为何值时， 取得最 大值，并求出这个最大值. 参考答案理科期中 2017 1．A 2．C 3．D 4．D 5．D 6．A 7．C 8．C 9．B 10．C． 11．B．12．D 13．9 14．【答案】 15．【答案】①③④ 16．【答案】 17．(1) ;(2) 或 试题解析：（１） ， 当 时， ﹒ 2 分 ， 4 分 （2）由若 是 的必要条件，即 ，可知 8 分 由 ， ，解得 或 ﹒ 12 分 考点：1.集合运算；2.必要条件；3.不等式解. 18．(－2,2] 【解析】解：命题 P：函数 y＝loga(1－2x)在定义域上单调递增， ∴00 ① …………………６分 设 M（x1,y1）、N（x２,y２） ， ………………８分 由已知， ， 且椭圆的右顶点为 ∴ ………………9 分 即 也即 整理得： 解得： 或 ，均满足① 当 时，直线 的方程为 ，过定点 ，舍去 当 时，直线 的方程为 ，过定点 ，故，直线 过定点， 且定点的坐标为 ． 20．（1）见解析；（2） . （1）∵ ，∴ ， 又∵ 底面 ， 底面 ，∴ 又∵ ，∴ 平面 . 而 平面 ，∴平面 平面 .（2）由（1）所证， 平面 ， 所以 即为二面角 的平面角，即 ， 而 ，所以 . 因为底面 为平行四边形， ， 分别以 为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， 所以 ， ， ， 设平面 的法向量为 ，则 ，即 ， 令 ，则 ∴ 与平面 所成角的正弦值为 . 21．（1）略，（2） 22．（1） （2） 最大值为 . 【解析】 试题分析：（1）由题可设出椭圆方程； ，先利用条件离心率为 ， 可推出 的关系。再结合过点 且 的直线与椭圆方程联立，并设出交点 的坐标，利用条件 ，可得 点坐标，再代入椭圆方程，可得。 （2）可先按倾斜角为 是否为直角，分别设过点 直线 方程并与（1）中的椭圆方程联 立，通过设出直线与椭圆的交点，再利用 ，建立关于 的关系式，观察可运用均值 不等式求出最大值。 试题解析：（1）设椭圆方程为： 由 得 ，又知 ，故 从而椭圆方程简化为： . 直线 ，设 由 消去 得： 故 ① 由 知： ② 由①②得 .易知 ,故 ,将其代入椭圆方程 得 因此，椭圆方程为： （2）当 时，直线 . 由 得 ， 故 当 时，设直线 ， 由 得 综上可知：当 时， 最大，最大值为 . 考点：（1）直线与椭圆的位置关系及方程思想。 （2）直线与椭圆的位置关系及函数思想和均值不等式的运用；