专题06 函数与导数（第02期）-2017年高考数学（文）备考之百强校大题狂练系列 12页

‎2017届高考数学（文）大题狂练 专题06 函数与导数 ‎1.（本小题满分12分）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）试判断函数的零点个数；‎ ‎（Ⅱ）若函数在上为增函数，求整数的最大值.‎ ‎（可能要用的数据：；；）‎ ‎【答案】（Ⅰ）个；（Ⅱ）；‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）求其导数判断函数在上为增函数，，，则函数在上有唯一零点；（Ⅱ）函数单调递增等价于恒成立的最小值，利用导数求其最值.‎ 试题解析：（Ⅰ）在上为增函数，‎ 且，故在上为增函数，‎ 又，，则函数在上有唯一零点；‎ ‎（Ⅱ）在上恒成立，‎ 因显然成立在上恒成立，‎ ‎，的最小值，‎ 由（Ⅰ）可知：在上为增函数，故在上有唯一零点，‎ ‎，，‎ 则，，‎ 则在为减函数，在为增函数，故时，有最小值.‎ 令，则最小值有，‎ 因，则的最小值大约在之间，故整数的最大值为6.‎ 考点：函数零点个数的判定；利用导数研究函数的单调性.‎ ‎2. （本小题满分12分）已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）．‎ ‎（1）求的解析式及单调递减区间；‎ ‎（2）若存在，使函数成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1），减区间为和；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）令解出，得出的解析式，令解出的单调递减区间；（2）由（1）得，分离常数，存在使函数成立，使即可，对进行求导，利用导数判断函数的单调性得到其最小值.‎ 试题解析：（1）函数的定义域为，，‎ 又由题意有：，所以，故．‎ 此时，，由，解得或，‎ 所以函数的单调递减区间为和．‎ ‎（2）因为，‎ 由已知，若存在使函数成立，‎ 则只需满足当时，即可．‎ 又，‎ 则，‎ 若，则在上恒成立，‎ 所以在上单调递增，‎ ‎，‎ ‎∴，又∵，∴．‎ 若，则在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以在上的最小值是，‎ 又∵，而，所以一定满足条件，‎ 综上所述，的取值范围是．‎ 考点：（1）利用导数研究函数的最值；（2）利用导数研究函数的最值.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.‎ ‎3. （本小题满分12分）已知函数．‎ ‎（1）若是的极值点，求的极大值；‎ ‎（2）求的范围，使得恒成立．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）‎ ‎，列表可得：的极大值为；（2）原命题等价于当时， 恒成立，设，再利用导数工具求得当时，恒成立．‎ 试题解析：（1）（）,‎ ‎∵是的极值点，‎ ‎∴，解得，‎ 当时，，‎ 当变化时： ‎ 极大值 极小值 ‎∴的极大值为．‎ ‎（2）要使得恒成立，即时，恒成立，‎ 设，‎ 则．‎ ‎①当时，由得单调减区间为，由得单调增区间为，‎ ‎∴，得；‎ ‎②当时，由得单调减区间为，由得单调增区间为，，‎ 此时，不合题意；‎ ‎③当时，在上单调递增，此时，不合题意；‎ ‎④当时，由得单调减区间为，由得单调增区间为，‎ ‎，‎ 此时，不合题意．‎ 综上所述，时，恒成立．‎ 考点：1、函数的极值；2、函数与不等式. ‎ ‎【方法点晴】本题考查函数的极值、函数与不等式，涉及分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.‎ ‎4. （本小题满分12分） 已知函数.‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若且，.‎ ‎（i）求实数的最大值；‎ ‎（ii）证明不等式：.‎ ‎【答案】（1）；（2）（i）；（ii）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先求出导函数，再根据，由点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）（i）等价于 ，讨论时、当时两种情况，排除不合题意的的值，即可得实数的最大值，（ii）当时整理得，令，则，进而可证原不等式.‎ 试题解析：（1）由题意且，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴在点处的切线方程为即 ‎ ‎（2）（i）由题意知，‎ 设，‎ 则，‎ 设，‎ 则， ‎ ‎（1）当时，∵，∴，‎ ‎∴在上单调递增，又，‎ ‎∴时，，又，‎ ‎∴，不符合题意. ‎ ‎（2）当时，设，‎ ‎①若，即时，恒成立，‎ 即在恒成立，∴在上单调递减又，‎ ‎∴时，，，，‎ 时，，，，符合题意. ‎ ‎②若，即时，的对称轴，‎ ‎∴在上单调递增，‎ ‎∴时，，‎ ‎∴，‎ ‎∴在上单调递增，‎ ‎∴，‎ 而，∴，不符合题意，‎ 综上所述. ‎ ‎（ii）由（i）知时，，‎ 当时整理得， ‎ 令，则，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 即 考点：1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性、求函数最值以及不等式的证明.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、求函数最值以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.‎ ‎5. （本小题满分12分） 已知函数.‎ ‎（1）当时，求在区间上的最值；‎ ‎（2）讨论函数的单调性；‎ ‎（3）当时，有恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)，；(2)当时，在单调递增，当时，在单调递增，在上单调递减，当时，在单调递减；(3).‎ ‎【解析】‎ 试题解析：（1）当时，，∴，‎ ‎∵的定义域为，∴由，得.……………………2分 ‎∴在区间上的最值只可能在取到，‎ 而，，，……4分 ‎（2），，‎ ‎①当，即时，，∴在上单调递减；……5分 ‎②当时，，∴在上单调递增；…………………………6分 ‎③当时，由得，∴或（舍去）‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减；……………………8分 综上，当时，在单调递增；‎ 当时，在单调递增，在上单调递减.‎ 当时，在单调递减；‎ ‎（3）由（2）知，当时，，‎ 即原不等式等价于，…………………………12分 即，整理得，‎ ‎∴，………………13分 又∵，∴的取值范围为.……………………14分 考点：导数的运算以及导数在研究函数中的应用.‎ ‎6. （本小题满分12分） 设函数，.‎ ‎（1）求的单调区间和极值；‎ ‎（2）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点.‎ ‎【答案】（1）的单调递减区间是，单调增区间是，极小值 ‎；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）定义域为，，所以，的单调递减区间是，单调增区间是，在处取得极小值；（2）由（1）知，在区间上的最小值为因为存在零点，所以，从而.对分成两类，讨论函数的单调区间，由此证明在上仅有一个零点.‎ 试题解析：‎ ‎（1）函数的定义域为，由得 由解得 与在区间上的变化情况如下表：‎ 所以，的单调递减区间是，单调增区间是，‎ 在处取得极小值 ‎（2）由（1）知，在区间上的最小值为 因为存在零点，所以，从而，‎ 当时，在区间上单调递减，且，‎ 所以是在区间上的唯一零点，‎ 当时，在区间上单调递减，且，，‎ 所以在区间上仅有一个零点.‎ 综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点.‎ 考点：导数与单调性、极值与最值，零点.‎ ‎ ‎