广东省六校联盟2020届高三上学期第一次联考数学（理）试题 22页

‎2020届六校联高三第一次联考试题 理科数学 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设，则的一个必要而不充分的条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由可得或 ，所以，是的充分不必要条件；或是的充要条件；由 得或，所以是的一个必要而不充分的条件，由得，或， 所以是充分不必要条件，故选C.‎ ‎【方法点睛】本题通过不等式的解集主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题.‎ ‎2.设复数z满足=i，则|z|=（ ）‎ A. 1 B. C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，，所以，故选A.‎ 考点：复数的运算与复数的模.‎ ‎3.某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较，其中正确的是（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势的是负相关；数据越集中在一条线附近，说明相关性越强，进而可得出结果.‎ ‎【详解】根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势的是负相关；数据越集中在一条线附近，说明相关性越强，‎ 由题中数据可知：(1)(3)为正相关，(2)(4)为负相关；故；；‎ 又(1)与(2)中散点图更接近于一条直线，故，，‎ 因此，.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查相关系数，根据散点图的特征进行判断即可，属于基础题型.‎ ‎4.已知函数，若是的导函数，则函数的图象大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：函数，则其导函数为.因为，即导函数为奇函数，，即在实数范围内恒有，所以在实数范围内恒为增函数，观察图像，只有选项A满足条件，故正确选项为A.‎ 考点：导函数以及函数的图象.‎ ‎【方法点睛】本题主要考察函数的性质与图像的关系，首先要求得函数的解析式，再求函数的基本性质，包括奇偶性，单调性，函数值的（正负），以及一些特殊的点，通过这些条件结合选项，进行排除，对于较复杂的函数，经常利用导函数的性质来判断函数的单调性，本题中整式利用导函数求得函数在原点附近的单调性.‎ ‎5.已知函数在处取得极值，若，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. 0 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令导函数当时为，列出方程求出值，利用导数求出的极值，判断极小值且为最小值．‎ ‎【详解】解：， 函数在处取得极值， ‎ ‎，解得， ， ∴当时，， ， 令得（舍去）， 由于递减，递增． 所以时，取极小值，也为最小值，且为−4． 故答案为：−4．‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数求单调区间和极值，以及求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间上的最大值与最小值是通过比较函数在内所有极值与端点函数 比较而得到的，是中档题．‎ ‎6.正方体ABCD﹣A1B1C1D1中E为棱BB1的中点（如图），用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：如图补全过的平面，将上半部分切去，所以左视图如C选项，故选C.‎ 考点：三视图 ‎7.已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 设 ，直线的斜率 ， ，两式相减得 ，即 ，即 ， ，解得： ，方程是，故选D.‎ ‎8.函数在区间上是减函数，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：∵，令，由得，依题意有在是减函数，∴，即，故选B．‎ 考点：同角三角函数的基本关系式及二次函数的单调性.‎ ‎9.某校高三年级有男生220人，学籍编号为1，2，…，220；女生380人，学籍编号为221，222，…，600.为了解学生学习的心理状态，按学籍编号采用系统抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行问卷调查(第一组采用简单随机抽样，抽到的号码为10)，再从这10名学生中随机抽取3人进行座谈，则这3人中既有男生又有女生的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解：由题意，得到抽到的10人中，有男生4人，女生6人，再从这10位学生中随机抽取3人座谈，可求出基本事件总数，然后求出3人中既有男生又有女生包含的基本事件个数，进而可求出3人中既有男生又有女生的概率．‎ ‎【详解】解：由题意，得到抽到的10人中，有男生4人，女生6人， 再从这10位学生中随机抽取3人座谈， 基本事件总数， 3人中既有男生又有女生包含的基本事件个数， 3人中既有男生又有女生的概率． 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．‎ ‎10.关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120名同学每人随机写下一个、都小于1的正实数对；再统计、两数能与1构成钝角三角形三边的数对的个数；最后再根据统计数估计的值，假如统计结果是，那么可以估计的值约为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意，、与1能构成钝角三角形，即，即点落在图中在第一象限正方形内的阴影区域，代入计算即可．‎ ‎【详解】解：依题意，‎ ‎、与1能构成钝角三角形，即，即点落在图中在第一象限正方形内的阴影区域， 所以， 当时，有， 得． 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率的应用问题，是基础题．‎ ‎11.已知数列满足，，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得：，两式相除，可得数列奇数项和偶数项均为等比数列，分奇数项和偶数项讨论，分别求出通项公式，进而可求.‎ ‎【详解】解：，故,‎ 两式相除得：，‎ 故数列的奇数项和偶数项均为公比为2的等比数列，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查利用数列的递推式求解数列的性质，重点考查了等比数列前公式的运用，考查了分组求和，是中档题.‎ ‎12.已知函数在上的最大值为，最小值为，则（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把已知函数变形，可得 ‎，令，结合，可得关于中心对称，则在上关于中心对称，从而求得的值．‎ ‎【详解】解：∵ 令， 而， ∴， 则关于中心对称，则在上关于中心对称． ∴． 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查函数在闭区间上的最值，考查函数奇偶性性质的应用，考查数学转化思想方法，属中档题．‎ 二、填空题：‎ ‎13.值为______．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由是偶函数可得，再用微积分基本定理求定积分即可.‎ ‎【详解】解：因为是偶函数，‎ ‎，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查定积分的计算，关键是利用被积函数是偶函数来解决问题，是基础题.‎ ‎14.已知、都是等差数列，若，，则______．‎ ‎【答案】21.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列的性质可知，代入即可求解 ‎【详解】解：∵、都是等差数列， 若，， 又∵， ， 故答案为：21.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题 ‎15.抛物线的焦点为F，其准线与双曲线相交于两点，若△为等边三角形，则＝ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:抛物线的准线方程为,设两点的纵坐标为,由双曲线方程可知,焦点到准线的距离为.由等边三角形的特征可知,即,可得.故答案应填.‎ 考点：1.抛物线的标准方程与几何性质；2.双曲线的标准方程与几何性质.‎ ‎【思路点晴】本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质,双曲性的标准方程与几何性质.本题的关键是找出关于的方程.将抛物线的准线与双曲线结合,又转化为直线与双曲线的位置关系的问题. (对于直线与双曲线(圆锥曲线)的位置关系.常用到设而不求的数学思想方法,即假设直线与双曲线(圆锥曲线)的交点坐标,利用韦达定理,弦长公式来构造等式).再运用数形结合,利用等边三角形的牲征得出关于的方程.‎ ‎16.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年）一书中，用如图 所示的三角形，解释二项和的乘方规律.在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士•帕斯卡的著作（1655年)介绍了这个三角形，近年来，国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”，如图.17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”，如图.在杨辉三角中，相邻两行满足关系式：，其 中是行数，.请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：这是一个考查类比推理的题目，解题的关键是仔细观察图中给出的莱布尼茨三角形，并从三解数阵中，找出行与行之间数的关系，探究规律并其表示出来．‎ 详解：类比观察得，将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数，‎ 而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数，所以类比式子，有 ‎．‎ 故答案为．‎ 点睛：这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：‎ ‎17.已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量＝(cos B，cos C)，＝(2a＋c，b)，且⊥．‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)若b＝，求a＋c的范围．‎ ‎【答案】（1）（2）(，2]．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，求出cosB的值，即可确定出B的度数；‎ ‎（2）由b及cosB的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出a+c的最大值，最后利用三角形两边之和大于第三边求出a+c的范围即可．‎ ‎【详解】(1)∵＝(cos B，cos C)，＝(2a＋c，b)，且⊥．‎ ‎∴(2a＋c)cos B＋bcos C＝0，∴cos B(2sin A＋sin C)＋sin Bcos C＝0，‎ ‎∴2cos Bsin A＋cos Bsin C＋sin Bcos C＝0．即2cos Bsin A＝－sin(B＋C)＝－sin A．‎ ‎∵A∈(0，π)，∴sin A≠0，∴cos B＝－．∵0＜B＜π，∴B＝．‎ ‎(2)由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accosπ＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2-＝ (a＋c)2，‎ 当且仅当a＝c时取等号．∴(a＋c)2≤4，故a＋c≤2．‎ 又a＋c>b＝，∴a＋c∈(，2]．即a＋c的取值范围是(，2]．‎ ‎【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键．‎ ‎18.某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择；‎ 方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率为.第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束.若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，获得奖金1000元；若未中奖，则所获奖金为0元.‎ 方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为，每次中奖均可获奖金400元.‎ ‎（1）求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金（元）的分布列；‎ ‎（2）某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，试比较哪个方案更划算？‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）选甲方案 ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(1)由题意可知 的取值可以是 ，结合题意求解相应的概率即可求得分布列；‎ ‎(2)利用(1)中的结论结合题意求解相应的数学期望，选择期望值更大的数值即可确定选择的方案.‎ 试题解析：（1）， ，‎ ‎.‎ 所以某员工选择方案甲进行抽奖所获金（元）的分布列为：‎ ‎500‎ ‎1000‎ ‎（2）由（1）可知，选择方案甲进行抽奖所获得奖金的均值，‎ 若选择方案乙进行抽奖中奖次数，则，‎ 抽奖所获奖金的均值，故选择方案甲较划算.‎ 点睛：离散型随机变量的分布列指出了随机变量X的取值范围以及取各值的概率；要理解两种特殊的概率分布——两点分布与超几何分布；并善于灵活运用两性质：一是pi≥0(i＝1,2，…)；二是p1＋p2＋…＋pn＝1检验分布列的正误．‎ ‎19.如下图，在四棱锥中，面，，，，，，，为的中点．‎ ‎（1）求证：面；‎ ‎（2）线段上是否存在一点，满足？若存在，试求出二面角的余弦值；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）存在点，满足,二面角余弦值为．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）要证平面，只要在平面内找到一条直线与平行即可，取的中点,构造平行四边形即可证明；（2）以分别为轴建立空间直角坐标系，写出点的坐标，假设上存在一点使，利用空间向量知识可得到在上存在点满足条件，平面的一个法向量为，再求出平面的法向量，即可求二面角的余弦值．‎ 试题解析：（1）取的中点，连和，过点作，垂足为 ‎∵，，∴，又 ‎∴四边形为平行四边形，‎ ‎∴，在直角三角形中，‎ ‎∴，而分别为的中点，‎ ‎∴且，又 ‎∴且，四边形为平行四边形，‎ ‎∴‎ 平面，平面，∴平面．‎ ‎（2）由题意可得，两两互相垂直，如图，以分别为轴建立空间直角坐标系，‎ 则，假设上存在一点使，设坐标为，‎ 则，由，得，‎ 又平面的一个法向量为 设平面的法向量为 又，，‎ 由，得，即 不妨设，有 则 又由法向量方向知，该二面角为锐二面角，‎ 故二面角的余弦值为．‎ 考点：1.直线与平面平行的判定与性质；2.空间向量的应用．‎ ‎20.已知动圆经过点，并且与圆相切.‎ ‎（1）求点P的轨迹C的方程； ‎ ‎（2）设 为轨迹C内的一个动点，过点且斜率为的直线交轨迹C于A,B两点，当k为何值时？ 是与m无关的定值，并求出该值定值.‎ ‎【答案】（1）（2）7.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可得点P的轨迹C是以M、N为焦点的椭圆，求出半长轴及半焦距的长度，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），G（m，0）（﹣2＜m＜2），直线l：y＝k（x﹣m），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得A，B的横坐标与纵坐标的和与积，再由ω＝|GA|2+|GB|2是与m无关的定值求得k，进一步得到该定值．‎ ‎【详解】解：（1）由题设得：|PM|+|PN|＝4，‎ ‎∴点P的轨迹C是以M、N为焦点的椭圆，‎ ‎∵2a＝4，2c＝2，∴，‎ ‎∴椭圆方程为；‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），G（m，0）（﹣2＜m＜2），直线l：y＝k（x﹣m），‎ 由，得（3+4k2）x2﹣8k2mx+4k2m2﹣12＝0，‎ ‎，‎ ‎∴．‎ ‎．‎ ‎∴‎ ‎．‎ ‎∵ω＝|GA|2+|GB|2的值与m无关，∴4k2﹣3＝0，‎ 解得．此时ω＝|GA|2+|GB|2＝7．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法与待定系数法，是中档题．‎ ‎21.设函数，曲线过点，且在点处的切线方程为.‎ ‎（1）求值；‎ ‎（2）证明：当时，；‎ ‎（3）若当时，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据导数几何意义得，再结合 联立方程组，解得的值；‎ ‎（2）即证明差函数的最小值非负，先求差函数的导数，为研究导函数符号，需对导函数再次求导，得导函数最小值为零，因此差函数单调递增，也即差函数最小值为，（3）令函数，因为，所以.先求差函数导数，再求导函数的导数得 ，所以分进行讨论：当时，满足题意；当时，能找到一个减区间，使得不满足题意.‎ ‎【详解】（1）由题意可知，定义域为 ‎，‎ ‎，‎ ‎． ‎ ‎（2），‎ 设，，‎ 由，在上单调递增，‎ ‎∴，在上单调递增，．‎ ‎∴． ‎ ‎（3）设,，，‎ 由（2）中知，，‎ ‎∴， ‎ 当即时，，‎ 所以 在单调递增，，成立．‎ ‎②当即时， ‎ ‎，令，得，‎ 当时，单调递减，则，‎ 所以在上单调递减，所以，不成立．‎ 综上，．‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数的综合应用问题，利用导数研究函数的单调性从而得到函数的最值即可证明不等式，对于恒成立问题，一般采用变量分离的方式将参数与函数的最值比较，属于难题.‎ ‎（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎[选修4―4：坐标系与参数方程]‎ ‎22. 选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中,曲线（t为参数,且）,其中,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 ‎（Ⅰ）求与交点的直角坐标；‎ ‎（Ⅱ）若与相交于点A,与相交于点B,求最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）4.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为．联立解得或所以与交点的直角坐标为和．‎ ‎（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，其中．因此得到极坐标为 ‎，的极坐标为．所以，当时，取得最大值，最大值为．‎ 考点：1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值．‎ ‎[选修4―5：不等式选讲]‎ ‎23.已知函数的最小值为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若、、均正实数，且满足，求证：.‎ ‎【答案】（1）3；‎ ‎（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）讨论的取值，去掉函数的绝对值，求出的最小值； （2）根据，利用基本不等式求出的最小值，即可证明结论成立．‎ ‎【详解】（1）当时，；‎ 当时，；‎ 当时，．‎ 综上，的最小值.‎ ‎（2）证明：因为、、均为正实数，且满足，‎ 所以，‎ 当且仅当时，取“＝”，‎ 所以，‎ 即 ‎【点睛】本题考查了求含绝对值函数的最小值问题，也考查了基本不等式的应用问题，是综合性题目，难度较大．‎ ‎ ‎ ‎ ‎