2017-2018学年湖南省长郡中学高二12月月考(第二次模块检测）数学（理）试题（解析版） 15页

湖南省长郡中学2017-2018学年高二12月月考(第二次模块检测）数学（理）试题 一、单选题 ‎1．复数，则在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】=-2-i,则=-2+i对应的点为 在第二象限 故选B ‎2．角 的终边在第一象限，则“”是“ ”的 （ ）‎ A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】∵角α，β的终边在第一象限， ∴当α=+2π，β=满足α＞β，但sinα=sinβ，则sinα＞sinβ不成立，即充分性不成立， 若当α=，β=+2π，满足sinα＞sinβ，但α＞β不成立，即必要性不成立， 故“α＞β”是“sinα＞sinβ”的既不必要也不充分条件， 故选D ‎3．在区间上随机地取一个数，则事件“”发生的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据三角函数的图像和特殊角的三角函数值，得到 ，根据几何概型判断，概率为： ‎ 故答案选C。‎ ‎4．已知向量，且与 互相垂直，则的值是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】则=， = 由与 互相垂直得 解得 故选D ‎5．2个男生和4个女生排成一排，其中男生既不相邻也不排两端的不同排法有( )‎ A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 ‎【答案】A ‎【解析】4名女生站成一排有种排法，2个男生既不相邻也不排在两端，采用插空法，放在4名女生的3个空中（不含两端）有种排法，根据分步计数原理，不同排法种数有种，选A.‎ ‎6．已知则以为邻边的平行四边形的面积为( )‎ A．　　　　　B．　　　　C．4　　　　　　D．8‎ ‎【答案】A ‎【解析】依题意可得在上的投影为，则以为邻边的平行四边形边上的高为，所以平行四边形的面积，故选A ‎7．已知点是抛物线的焦点， 是抛物线上两点， ，则中点的横坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵F是抛物线y2=4x的焦点∴F（1，0），准线方程x=-1， 设M（x1，y1），N（x2，y2）∴|MF|+|NF|=x1+1+x2+1=6， 解得x1+x2=4，∴线段MN的中点横坐标为2， 故选B ‎8．如图所示，在正方体中， ，直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】连接BD交AC于O，连接OB1，过O作OM⊥BC于M，连接B1M，B1A，B1C．‎ ‎ ∵B1A=B1C，O是AC的中点，∴OB1⊥AC， ∵B1E平行OB，∴四边形ODEB1是平行四边形， ∴OB1∥DE， ∴DE⊥AC， ∴直线AC与直线DE所成的角为α=90°， ∵OM⊥BC，OM⊥BB1， ∴OM⊥平面BCC1B1， ∴∠OB1M为直线DE与平面BCC1B1所成的角β， ∴cos（α-β）=sinβ=，∵正方体的棱长AB=2，∴OM=1，OB=BD=∴OB1=‎ ‎∴sinβ= ‎ 点睛：本题考查了空间角的计算,通过证明线线垂直找到异面直线所成的角为，通过证明线面垂直找到线与面所成的角是关键.‎ ‎9．由不等式组确定的平面区域为，由不等式组确定的平面区域为，在内随机的取一点，则点落在区域内的概率为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析： 区域为曲边图形， 区域为矩形，‎ 根据几何概型的定义，，故 应选.‎ 考点：1、几何概型；2、平面区域；‎ 视频 ‎10．设曲线（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在曲线上某点处的切线，使得，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由，得，因为，所以，由，得，又，所以，要使过曲线上任意一点的切线，总存在过曲线上一点处的切线，使得，则，解得，故选D．‎ 考点：利用导数研究曲线在某点的切线方程．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究过曲线在某点的切线方程，其中解答中涉及到函数的求导数的公式、两条直线的位置关系的判定与应用，解答此类问题的关键在于把问题转化为集合之间的关系，列出不等式组求解，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用．‎ ‎11．双曲线的左右焦点为,是双曲线上一点，满足,直线与圆相切，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意，由于=2c，则三角形为等腰三角形,又因为直线与圆相切，设且点为D,那么可知，结合等腰三角形的性质可知，,那么可知2a+2c=4b,两边平方，可知 ‎，故选D.‎ 考点：双曲线的性质 点评：根据直线与圆相切，以及等腰三角形的性质，来得到a,b,c,的关系式，进而得到双曲线的离心率，属于基础题。‎ ‎12．已知实数， ， ， 满足，其中是自然对数的底数，则的最小值为（ ）‎ A. 8 B. 10 C. 12 D. 18‎ ‎【答案】A ‎【解析】点 看作曲线 上点P；点 看作直线 上点Q；则为 ,由 ，所以，选A.‎ 点睛：(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.‎ ‎(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.‎ 二、填空题 ‎13． __________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由定积分的几何意义知所求为四分之一个以（1，0）为圆心、1为半径的圆的面积为 故答案为 ‎14．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为__________．（用数字作答）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况， 故不同的选派方案种数为C12•C34+C22•C24=2×4+1×6=14；‎ 法二：从4男2女中选4人共有C46种选法，4名都是男生的选法有C44种， 故至少有1名女生的选派方案种数为C46-C44=15-1=14．‎ 故答案为14‎ 点睛：本题考查简单的排列组合，建议如果分类讨论太复杂的题目最好用间接法即排除法，以避免直接的分类不全情况出现．‎ ‎15．若直线与曲线相切，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】即求曲线过原点切线的斜率，设切点为，斜率，切线方程为，将原点坐标代入化简得，故.‎ ‎16．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10…，第个三角形数为，记第个边形数为（），以下列出了部分边形数中第个数的表达式：‎ 三角形数： ，正方形数： ，五边形数： ，六边形数： ，…由此推测__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】原已知式子可化为：N(n,3)= = ，；‎ ‎ = ；‎ ‎ ‎ N(n,6)= ‎ ‎…‎ 由归纳推理可得N(n,k)= ，‎ 故，‎ 故答案为：176‎ 三、解答题 ‎17．已知命题，命题方程表示焦点在轴上的双曲线.‎ ‎（1）命题为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若命题“”为真，命题“”为假，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】‎ 试题分析：这类问题首先求得命题为真时的的范围，再根据含有逻辑连接词的命题的真假判断命题的真假，从而得的范围．‎ 试题解析：由得，即，由得，即．‎ ‎（1）命题为真，；‎ ‎（2）由题意命题一真一假，因此有或，所以或．‎ 考点：复合命题的真假．‎ ‎18．已知函数.‎ ‎（1）若函数在处有极值，求的值；‎ ‎（2）若对于任意的在上单调递增，求的最小值.‎ ‎【答案】（1） （2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由 ，根据题意设有解得 或，进行检验舍去得所求b值；（2）由题意知对任意的都成立，所以对任意的都成立，因为，所以在上为单调增函数或为常数函数，①当为常数函数时， ；②当为增函数时， ，即对任意都成立，求二次函数最大值即得解.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由 ，‎ 于是，根据题意设有，‎ 解得 或，‎ 当时，所以函数 ‎，所以函数有极值点；‎ 当时，所以函数，所以无极值点，‎ 所以 .‎ ‎（2）由题意知对任意的都成立，‎ 所以对任意的都成立，‎ 因为，所以在上为单调增函数或为常数函数，‎ ‎①当为常数函数时， ；‎ ‎②当为增函数时， ，‎ 即对任意都成立，‎ 又，所以时， ，所以，‎ 所以的最小值为.‎ ‎19．某工厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量与尺寸之间满足关系式为大于的常数），现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：‎ 对数据作了处理，相关统计量的值如下表：‎ ‎（1）根据所给数据，求关于的回归方程（提示：由已知， 是的线性关系）；‎ ‎（2）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品，现从抽取的6件合格产品再任选3件，求恰好取得两件优等品的概率；‎ ‎（附：对于一组数据，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘法估计值分别为 ）‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）对y=axb（a，b＞0）两边取对数得lny=blnx+lna，令vi=lnxi，ui=lnyi得u=bv+lna，由最小二乘法求得系数及，即可求得y关于x的回归方程； （Ⅱ）由，解得， ，即优等品有3件.‎ 记“恰好取得两件优等品”为事件,从件合格品中选出3件的方法数为，‎ 从件合格品取3件恰好2件为优等品的取法有种，即可得恰好取得两件优等品的概率；‎ 试题解析：‎ ‎（1）对，两边取自然对数得，‎ 令，得，‎ ‎， ，‎ 得，故所求回归方程为.‎ ‎（2）由，解得， ，即优等品有3件.‎ 记“恰好取得两件优等品”为事件,从件合格品中选出3件的方法数为，‎ 从件合格品取3件恰好2件为优等品的取法有种，则.‎ ‎20．如图，在三棱锥中， 底面分别是的中点， 在，且.‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；‎ 若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；(2)存在.‎ ‎【解析】试题分析：（1）通过证明AF与平面SBC内的两条相交直线垂直即可； （2）建立空间直角坐标系，由，所以，求得平面的法向量为，平面的法向量为，由二面角的大小为，得，化简得，又，求得即.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由，‎ 是的中点，得，‎ 因为底面，所以，‎ 在中， ，所以，‎ 因此，又因为，‎ 所以，‎ 则，即，因为底面，‎ 所以，又,‎ 又，所以平面.‎ ‎(2)假设满足条件的点，存在，‎ 并设，以为坐标原点，分别以为轴建立空间之间坐标系，‎ 则，‎ 由，所以，所以，‎ 设平面的法向量为，‎ 则 ，取，得，‎ 即，设平面的法向量为，‎ 则 ，取，得，‎ 即，‎ 由二面角的大小为，得，‎ 化简得，又，求得，于是满足条件的点存在，且.‎ 点睛：本题考查空间几何图形中线面关系的平行或垂直的证明，考查空间想象能力，利用空间向量法求解空间角，注意计算的准确性.‎ ‎21．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知点在椭圆上，点是椭圆上不同的两个动点，且满足 ‎，试问直线的斜率是否为定值？请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）定值，理由见解析．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设椭圆的方程为则 椭圆的方程为；（2）当时，‎ 的斜率之和为，设直线的斜率为，则的斜率为，的直线方程为 ‎，由整理得 ‎，同理的直线方程为 ‎，可得 以直线的斜率为定值．‎ 试题解析：（1）设椭圆的方程为，‎ 则，由，得，‎ ‎∴椭圆的方程为；‎ ‎（2）当时，的斜率之和为，设直线的斜率为，则的斜率为，的直线方程为，‎ 由整理得，‎ ‎，‎ 同理的直线方程为，‎ 可得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 所以直线的斜率为定值．‎ 考点：1、椭圆及其性质；2、直线与椭圆.‎ ‎22．函数．‎ ‎（1）求函数的最大值；‎ ‎（2）对于任意，且，是否存在实数，使恒 成立，若存在求出的范围，若不存在，说明理由； ‎ ‎（3）若正项数列满足，且数列的前项和为，试判断与 的大小，并加以证明．‎ ‎【答案】（1）；（2）；(3) ．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）求出函数的定义域、导数，由导数的符号可知函数的单调性，根据单调性即可得到函数的最大值；（2）恒成立，只需，可设，又，则只需在 上为单调递减函数，从而有在上恒成立，分量参数后化为函数的最值，利用导数求解最值即可；（3）由，得，知数列为等差数列，得，比较与大小，只需比较与的大小，由（1）知，，即，分别令，可得个不等式，累加可知结论．‎ 试题解析：(1) ,‎ 则， ‎ 所以函数单调递减，函数单调递增． ‎ 从而 ‎ ‎（2）若恒成立，‎ 则， ‎ 设函数，又，‎ 则只需函数在上为单调递减函数，‎ 即在上恒成立，‎ 则， ‎ 记，则，从而在上单调递减，在单调递增，‎ 故， ‎ 则存在，使得不等式恒成立． ‎ ‎（3）由．‎ 即，由，得，‎ 因为，由（1）知时，，‎ 故， ‎ 即 ‎ 考点：利用导数求解闭区间上的函数的最值；利用导数研究函数的单调性；数列的求和与不等式的证明．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了饿导数研究函数的最值、利用导数研究函数的单调性及数列的求和与不等式的证明等问题，体现了数列与函数的综合，着重考查了学生分析和解决问题的能力，试题有一定的难度，属于难题，本题的三问的解答中充分体现了转化与化归的数学思想方法及数列的求和方法的应用，同时地三问也可用数学归纳法证明，递推构成中用第一问的结论．‎