2018-2019学年江西省赣州教育发展联盟高二上学期12月联考数学（理）试题 Word版 9页

‎2018-2019学年第一学期赣州教育发展联盟十二月联考 高二数学（理）试卷 命题人：宁师中学 李继江 杨军 审题人：宁师中学 廖天生 一、选择题（每个题目只有一个正确选项，每题5分，共60分）‎ ‎1.数列的一个通项公式为（ ）‎ ‎ ‎ ‎2.已知直线经过点，，且斜率为4，则a的值为（ ）‎ A． B． C. D．4‎ ‎3.命题“若，则且”的逆否命题是（ ）‎ A.若或，则 B．若，则或 ‎ C．若且，则 D．若，则且 ‎ ‎4.设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）‎ A.若，，则 B．若，，则 ‎ C. 若，，则 D．若，，则 ‎ ‎5.某汽车的使用年数与所支出的维修费用的统计数据如表：‎ ‎ 使用年数（单位：年）‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ 5‎ ‎ 维修总费用（单位：万元）‎ ‎ 0.5‎ ‎1.2‎ ‎ 2.2‎ ‎ 3.3‎ ‎ 4.5‎ 根据上表可得关于的线性回归方程=，若该汽车维修总费用超过10万元就不再维修，直接报废，据此模型预测该汽车最多可使用（　　）‎ A．11年 B． 10年 C．9年 D．8年 ‎ ‎6.已知向量，，且，则的值为（ ）‎ A．－14 B．10 C．12 D．14‎ ‎7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ）‎ A.斛 B.斛 C.斛 D.斛 ‎8.在正方体中，为线段的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.已知实数a、b满足， 则使的概率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10.已知，且，则的最小值为（ ）‎ A. 12 B.10 C.9 D.8‎ ‎11.已知数列的前项和为，且满足，则下列说法正确的是（ ）‎ A.数列的前项和为 B. 数列的通项公式为 C.数列为递增数列 D. 数列为递增数列 ‎12.已知异面直线，所成的角为，直线与，均垂直，且垂足分别为，，若动点在直线上运动，动点在直线上运动，，则线段的中点的轨迹所围成的平面区域的面积是( )‎ A.9 B.18 C.36 D.72‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13.若实数满足则的最大值是 ．‎ ‎14.点在圆的外部，则的取值范围为　　 ．‎ ‎15.给出下列命题：‎ ‎①已知集合，则“”是“”的充分不必要条件；‎ ‎②“”是“”的必要不充分条件；‎ ‎③“函数的最小正周期为”是“”的充要条件；‎ ‎④“平面向量与的夹角是钝角”的充要条件的“”.‎ 其中正确命题的序号是 ．（把所有正确命题的序号都写上）‎ ‎16.在中，为中点，则的取值范围为_______。‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17（10分）.如图，在四棱锥P - ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥DC，，AD⊥CD，E为棱PD上一点，且.‎ ‎（1）求证：CD⊥AE；‎ ‎（2）求证：面.‎ ‎18.（12分）已知△ABC的周长为，且 ‎ ‎（1）求边AB的长；‎ ‎（2）若△ABC的面积为，求角C的度数.‎ ‎19．（12分）一网站营销部为统计某市网友2017年12月12日在某网店的网购情况，随机抽查了该市60名网友在该网店的网购金额情况，如下表：‎ 网购金额(单位：千元)‎ 频数 频率 网购金额(单位：千元)‎ 频数 频率 ‎[0,0.5)‎ ‎3‎ ‎0.05‎ ‎[1.5,2)‎ ‎15‎ ‎0.25‎ ‎[0.5,1)‎ ‎[2,2.5)‎ ‎18‎ ‎0.30‎ ‎[1,1.5)‎ ‎9‎ ‎0.15‎ ‎[2.5,3]‎ 若将当日网购金额不小于2千元的网友称为“网购达人”，网购金额小于2千元的网友称为“网购探者”，已知“网购达人”与“网购探者”人数的比例为2:3.‎ ‎（1）确定，，，的值，并补全频率分布直方图；‎ ‎（2）①.试根据频率分布直方图估算这60名网友当日在该网店网购金额的平均数和中位数；‎ ‎②.若平均数和中位数至少有一个不低于2千元，则该网店当日评为“皇冠店”，试判断该网店当日能否被评为“皇冠店”.‎ ‎20．（12分）如图，在多面体中，是正方形，，，，点为棱的中点.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若平面，求二面角的余弦值.‎ ‎21.（12分）已知是等比数列的前项和，其中，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的最大项和最小项。‎ ‎22.（12分）已知圆，直线.‎ ‎（1）求直线所过定点的坐标；‎ ‎（2）求直线被圆所截得的弦长最短时的值及最短弦长.‎ ‎（3）在（2）的前提下，若为直线上的动点，且圆上存在两个不同的点到点的距离为1，求点的横坐标的取值范围．‎ ‎2018-2019学年第一学期赣州教育发展联盟十二月联考 高二数学（理）试卷答案 一、 选择题 ‎ ‎ ‎13.1 14. 15.①② 16.‎ ‎17.（1）证明：底面且底面 ‎ 又且 平面,平面 ‎ 分 （2） 连接、交于，连接。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎,又面 面 分 18. 解：设角对应边为 （1） 又，，即。 分 （2） ‎ 分 ‎ …………11分 又 分 ‎19、(1)由题意，得，化简，得，‎ 解得，.‎ ‎∴，. …………4分 补全的频率分布直方图如图所示：‎ ‎ 分 ‎(2)①设这60名网友的网购金额的平均数为.‎ 则(千元)‎ 又∵，.‎ ‎∴这60名网友的网购金额的中位数为(千元)， …………10分 ‎②∵平均数，中位数，‎ ‎∴根据估算判断，该网店当日不能被评为“皇冠店”. 分 ‎20、解：（1）证明：连接交于，连接。‎ ‎ 为正方形是的中点 ‎ 又是的中点在中，‎ 又且四边形是平行四边形 平面平面 分 ‎（2）以为空间坐标系原点，分别为轴，建立空间直角坐标 ‎ …………6分 设平面的一个法向量为 令 …………8分 同理求得平面的一个法向量 ‎ …………11分 ‎ 由观察知二面角的平面角为锐角 二面角的余弦值为。 分 ‎21、解（1）‎ 当时，解得，又 ‎ …………3分 当 时，，又，， 分 ‎（少一种情况扣3分）‎ ‎（2）由（1）和知， …………7分 当为正奇数时，‎ 又 所以在正奇数集上单调递减，∴，且 …………9分 ‎（利用指数函数说明单调性亦可）‎ 当为正偶数集时，‎ 又 所以在正偶数集上单调递增，∴，且 …………11分 综上：； 分 ‎（注：没说明单调性扣3分）‎ ‎22.解（1）将直线的方程整理为：‎ ‎ 令解得定点 分 ‎（2）当时，直线被圆所截得的弦长最短。‎ ‎ ，解得 圆心到直线的距离为 最短弦长为：。 分 ‎（3）由（2）知点在直线上，故设。依题以点为圆心，1为半径的圆与圆C相交。‎ 当圆与圆相内切时，‎ ‎，解得 …………9分 当圆与圆相外切时，‎ 解得 …………11分 由题意得 分