宁夏银川市贺兰县景博中学2020届高三第五次模拟考试数学（理）试题 17页

景博高中2020届高三第五次模拟考试 理科数学 注意事项：‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.‎ ‎2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案 标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上 无效.‎ ‎3.回答笫Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.‎ ‎4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合，则 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2．若复数z与其共轭复数满足，则 （ ）‎ A． B． C．2 D． ‎ ‎3．若夹角为的向量与满足，则 （ ）‎ A. 1 B. 2 C. D. 4‎ ‎4．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：‎ 则下面结论中不正确的是 （ ）‎ A．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，种植收入减少 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 ‎5．已知直线和平面，则下列四个命题中正确的是 （ ）‎ A．若，，则 ‎ B．若，，则 C．若，，则 ‎ D．若，，则 ‎6．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长 六尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”如图是解 决此问题的一个程序框图，其中为松长，为竹长，则菱形框与矩形框处依次填 （ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7.已知函数在一个周期内的图象如图所示，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知函数，，则的大小关系为 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9.阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.是双曲线的左、右焦点， 过的直线与的左、右两支分别交于两点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为 （ ）‎ A． B． C．2 D． ‎ ‎11．若的展开式中二项式系数和为256．则二项式展开式中有理项系数之和为（ ）‎ A．85 B．84 C．57 D． 56‎ ‎12．若函数有且只有4个不同的零点．则实数m的取值范围是 （ ）‎ A． B C． D．‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13．已知实数x,y满足，则的最大值为_____________ ．‎ ‎14. 已知甲、乙、丙三位同学在某次考试中总成绩列前三名，有三位学生对其排名猜测如下：：甲第一名，乙第二名； ：丙第一名，甲第二名；：乙第一名，甲第三名．成绩公布后得知，三人都恰好猜对了一半，则第一名是_____________ ．‎ ‎15．等差数列的前n项和为，,则_____________ ．‎ ‎16．如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各 切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖 ‎ 的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的底面边长为 时，‎ 其容积最大．‎ 三、解答题：第17-21题每题12‎ 分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或演算步骤. ‎ ‎17. （本小题满分12分）在中，角，，所对的边分别是，，，已知，.‎ ‎(1)若，求的值；‎ ‎(2)的面积为，求的值.‎ ‎18．（本小题满分12分）美团外卖和百度外卖两家公司其“骑手”的日工资方案如下：美团外卖规定底薪70元，每单抽成1元；百度外卖规定底薪100元，每日前45单无抽成，超出45单的部分每单抽成6元，假设同一公司的“骑手”一日送餐单数相同，现从两家公司随机抽取一名“骑手”并记录其100天的送餐单数，得到如下条形图：‎ ‎----‎ ‎（1）求百度外卖公司的“骑手”一日工资y（单位：元）与送餐单数n的函数关系；‎ ‎（2）若将频率视为概率，回答下列问题：‎ ‎①记百度外卖的“骑手”日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；‎ ‎②小明拟到这两家公司中的一家应聘“骑手”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．‎ ‎19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，，,底面是梯形，，，，为棱上一点.‎ ‎（1）若点是的中点，证明：∥平面；‎ ‎（2）试确定的值使得二面角为60°.‎ ‎20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中,已知圆的方程为,圆的方程为,动圆与圆内切且与圆外切.‎ ‎（1）求动圆圆心的轨迹的方程；‎ ‎（2）已知与为平面内的两个定点，过点的直线与轨迹交于两点，求四边形面积的最大值.‎ ‎21．（本小题满分12分）已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.‎ ‎（1）求实数的取值范围； ‎ ‎（2）设两个极值点分别为，证明：.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（为参数）．‎ ‎（1）求直线和曲线的普通方程；‎ ‎（2）直线与轴交于点，与曲线交于，两点，求．‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲[来源:学§科§网]‎ 函数，其最小值为.‎ （1） 求的值；‎ ‎（2）正实数满足，求证：.‎ 第五次模拟理科试题答案：‎ 一、选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1-5 DABCB 6-10 CDACA 11-12 AB 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13. 22 14. 丙 15. 16. ‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17．解：（Ⅰ）由，‎ 则，且 ，‎ 由正弦定理，‎ 因为，所以，所以，‎ ‎（Ⅱ），∴，‎ ‎，‎ ‎∴，，‎ ‎∴.‎ ‎18.（12分）‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵百度外卖规定底薪100元，每日前45单无抽成，超出45单的部分每单抽成6元，‎ ‎∴当送餐单数n≤45，n∈N*时，百度外卖公司的“骑手”一日工资y=100，‎ 当送餐单数n＞45，n∈N*时，百度外卖公司的“骑手”一日工资y=100+（n﹣45）×6=6n﹣170，n∈N*，‎ ‎∴百度外卖公司的“骑手”一日工资y（单位：元）与送餐单数n的函数关系为：‎ ‎（Ⅱ）①记百度外卖的“骑手”日工资为X（单位：元），由条形图得X的可能取值为100，106，118，130，‎ P（X=100）==0.2，‎ P（X=106）==0.3，‎ P（X=118）==0.4，‎ P（X=130）==0.1，‎ ‎∴X的分布列为：‎ X ‎100‎ ‎106‎ ‎118‎ ‎130‎ P ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.1‎ E（X）=100×0.2+106×0.3+118×0.4+130×0.1=112（元）．‎ ‎②美团外卖“骑手”日平均送餐单数为：42×0.2+44×0.4+46×0.2+48×0.1+50×0.1=45所以美团外卖“骑手”日平均工资为：70+45×1=115（元）‎ 由①知，百度外卖“骑手”日平均工资为112元．故推荐小明去美团外卖应聘．‎ ‎19.(Ⅰ)证明：取PD的中点M，连接AM，M，‎ ‎ ，‎ ‎ M∥CD，…………………………1分 又AB∥CD，∥AB，QM＝AB，‎ 则四边形ABQM是平行四边形.∥AM.……………3分 又平面PAD，BQ平面PAD，∥平面PAD.……4分 ‎(另解：作CD中点证面面平行）‎ ‎（Ⅱ）解：由题意可得DA，DC，DP两两垂直，以D为原点，DA，DC，DP所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则P(0，1，1)，C(0，2，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0).……………… 5分[来源:Zxxk.Com]‎ 令 ‎…………………………… 7分[来源:学科网]‎ 又易证BC⊥平面PBD，‎ 设平面QBD的法向量为 令………………………9分 ‎，‎ ‎ 解得……………………………………………………………11分 Q在棱PC上，………………………………12分 ‎20.（12分）（1）轨迹方程为.............................................4分 ‎（2）方法一：设的方程为，联立，‎ 消去得，设点，‎ 有………………6分 所以令，………………8分 有，由函数，‎ ‎ ‎ 故函数，在上单调递增…………………10分 故，故 当且仅当即时等号成立，[来源:学科网ZXXK]‎ 四边形面积的最大值为.………………………………12分 方法二：设的方程为，联立，‎ 消去得，设点，‎ 有………………………6分 有，‎ 点到直线的距离为，点到直线的距离为，从而四边形的面积 ‎………………………8分 令，有，函数，‎ ‎ ‎ 故函数，在上单调递增……………………10分 有，故当且仅当即时等号成立，四边形面积的最大值为.…………………12分 方法三：①当的斜率不存在时，‎ 此时，四边形的面积为…………………………6分 ②当的斜率存在时，设为：， 则 ‎ …………………………8分 ‎……10分 四边形的面积 令 则 ‎ ‎ ,‎ 综上，四边形面积的最大值为.………………12分 21. 法一:‎ 解：f '(x)=1+lnx-ax-1=lnx-ax=g(x) , g '(x)=-a ‎①当a≤0时，g(x)在（0，+）上单调递增，g(x)至多有一个零点，即f(x)至多一个极值点；‎ ‎②当a>0时，g '(x)=0可得x=；g '(x)>0可得0‎ 故g(x)在x=处取得极大值也为最大值g()=ln（）-1‎ ‎ 当a>时，g(x)无零点，f(x)无极值；a=时，g(x)有一个零点，f(x)无极值；当00,g(1)<0,g()<0,故g（x）在（1，）（，）上有零点即f(x)有两个极值点，故a(0,)‎ 法二:‎ 可见，若令过原点且切于函数图象的直线斜率为，只需.‎ 令切点，∴，又，∴，解得，于是，∴.‎ ‎22. （1）的普通方程为，的普通方程为；（2）．‎ ‎（1），‎ 化为，即的普通方程为，‎ 消去，得的普通方程为．········5分 ‎（2）在中，令得，‎ ‎∵，∴倾斜角，‎ ‎∴的参数方程可设为，即，‎ 代入得，，∴方程有两解，‎ ‎，，∴，同号，‎ ‎．········10分 ‎23.解：（1），………………….3分[来源:学科网]‎ 当且仅当取等，所以的最小值………………….5分 ‎（2）根据柯西不等式， .‎ ‎………………….10分