【数学】2020届一轮复习人教A版第四章第4节三角函数的图象与性质学案 18页

第4节　三角函数的图象与性质 最新考纲　1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性.‎ 知 识 梳 理 ‎1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 ‎(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).‎ ‎(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).‎ ‎2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)‎ 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R ‎{xx≠kπ＋}‎ 值域 ‎[－1，1]‎ ‎[－1，1]‎ R 周期性 ‎2π ‎2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 ‎[2kπ－π，2kπ]‎ 递减区间 ‎[2kπ，2kπ＋π]‎ 无 对称中心 ‎(kπ，0)‎ 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 ‎ [微点提醒]‎ ‎1.对称与周期 ‎(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.‎ ‎(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.‎ ‎2.要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆.‎ ‎3.对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数.‎ 基 础 自 测 ‎1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴.(　　)‎ ‎(2)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.(　　)‎ ‎(3)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　　)‎ ‎(4)y＝sin|x|是偶函数.(　　)‎ 解析　(1)余弦函数y＝cos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.‎ ‎(2)正切函数y＝tan x在每一个区间(k∈Z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.‎ ‎(3)当k>0时，ymax＝k＋1；当k<0时，ymax＝－k＋1.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2.(必修4P46A2，3改编)若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则(　　)‎ A.T＝π，A＝1 B.T＝2π，A＝1‎ C.T＝π，A＝2 D.T＝2π，A＝2‎ 解析　最小正周期T＝＝π，最大值A＝2－1＝1.故选A.‎ 答案　A ‎3.(必修4P47B2改编)函数y＝－tan的单调递减区间为________.‎ 解析　由－＋kπ＜2x－＜＋kπ(k∈Z)，‎ 得＋＜x＜＋(k∈Z)，‎ 所以y＝－tan的单调递减区间为(k∈Z).‎ 答案　(k∈Z)‎ ‎4.(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝sin的最小正周期为(　　)‎ A.4π B.2π C.π D. 解析　由题意T＝＝π.‎ 答案　C ‎5.(2017·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝sin＋cos的最大值为(　　)‎ A. B.1 C. D. 解析　cos ＝cos＝sin，则f(x)＝sin＋sin＝sin ‎，函数的最大值为.‎ 答案　A ‎6.(2018·江苏卷)已知函数y＝sin(2x＋φ) 的图象关于直线x＝对称，则φ的值是________.‎ 解析　由函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，得sin＝±1.所以＋φ＝＋kπ(k∈Z)，所以φ＝－＋kπ(k∈Z)，又－<φ<，所以φ＝－.‎ 答案　－ 考点一　三角函数的定义域、值域(最值)‎ ‎【例1】 (1)函数y＝lg(sin x)＋的定义域为________.‎ ‎(2)函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________.‎ 解析　(1)函数有意义，则即 解得 所以2kπ0，故－a＋<，‎ 因为f(x)＝cos在[－a，a]是减函数，‎ 所以解得00)在上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.‎ 解析　(1)由已知可得函数为y＝－sin，欲求函数的单调递减区间，只需求y＝sin的单调递增区间.‎ 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z).‎ 故所求函数的单调递减区间为(k∈Z).‎ ‎(2)法一　由于函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，为函数f(x)的周期，故＝，解得ω＝.‎ 法二　由题意，得f(x)max＝f＝sinω＝1.‎ 由已知并结合正弦函数图象可知，ω＝＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝＋6k(k∈Z).‎ 所以当k＝0时，ω＝.‎ 答案　(1)(k∈Z)　(2) 考点三　三角函数的周期性、奇偶性、对称性　多维探究 角度1　三角函数奇偶性、周期性 ‎【例3－1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　)‎ A.f(x)的最小正周期为π，最大值为3‎ B.f(x)的最小正周期为π，最大值为4‎ C.f(x)的最小正周期为2π，最大值为3‎ D.f(x)的最小正周期为2π，最大值为4‎ ‎(2)(2019·武汉调研)设函数f(x)＝sin－cos的图象关于y轴对称，则θ＝(　　)‎ A.－ B. C.－ D. 解析　(1)易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝3＋1＝cos 2x＋，则f(x)的最小正周期为π，当2x＝2kπ，即x＝kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，最大值为4.‎ ‎(2)f(x)＝sin－cos＝2sin，‎ 由题意可得f(0)＝2sin＝±2，即sin＝±1，∴θ－＝＋kπ(k∈Z)，‎ ‎∴θ＝＋kπ(k∈Z).‎ ‎∵|θ|<，∴k＝－1时，θ＝－.‎ 答案　(1)B　(2)A 规律方法　1.若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则 ‎(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；‎ ‎(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z).‎ ‎2.函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期T＝，y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝.‎ ‎【训练3】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝的最小正周期为(　　)‎ A. B. C.π D.2π ‎(2)(2019·商丘质检)函数f(x)＝3sin，φ∈(0，π)满足f(|x|)＝f(x)，则φ的值为________.‎ 解析　(1)f(x)的定义域为.‎ f(x)＝＝sin x·cos x＝sin 2x，‎ ‎∴f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)由题意知f(x)为偶函数，关于y轴对称，‎ ‎∴f(0)＝3sin＝±3，‎ ‎∴φ－＝kπ＋(k∈Z)，‎ 又0<φ<π，∴φ＝.‎ 答案　(1)C　(2) 角度2　三角函数图象的对称性 ‎【例3－2】 (1)已知函数f(x)＝asin x＋cos x(a为常数，x∈R)的图象关于直线x＝对称，则函数g(x)＝sin x＋acos x的图象(　　)‎ A.关于点对称 B.关于点对称 C.关于直线x＝对称 D.关于直线x＝对称 ‎(2)(2016·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为(　　)‎ A.11 B.9 C.7 D.5‎ 解析　(1)因为函数f(x)＝asin x＋cos x(a为常数，x∈R)的图象关于直线x＝对称，‎ 所以f(0)＝f，所以1＝a＋，a＝，‎ 所以g(x)＝sin x＋cos x＝sin，‎ 函数g(x)的对称轴方程为x＋＝kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)，当k＝0时，对称轴为直线x＝，所以g(x)＝sin x＋acos x的图象关于直线x＝对称.‎ ‎(2)因为x＝－为f(x)的零点，x＝为f(x)的图象的对称轴，所以－＝＋，即＝T＝·(k∈Z)，所以ω＝2k＋1(k∈Z).‎ 又因为f(x)在上单调，所以－＝≤＝，即ω≤12，ω＝11验证不成立(此时求得f(x)＝sin在上单调递增，在上单调递减)，ω＝9时满足条件.由此得ω的最大值为9.‎ 答案　(1)C　(2)B 规律方法　1.对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可.‎ ‎2.对于可化为f(x)＝Acos(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可.‎ ‎【训练4】 (2017·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是(　　)‎ A.f(x)的一个周期为－2π B.y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 C.f(x＋π)的一个零点为x＝ D.f(x)在单调递减 解析　A项，因为f(x)的周期为2kπ(k∈Z且k≠0)，所以f(x)的一个周期为－2π，A项正确.‎ B项，因为f(x)图象的对称轴为直线x＝kπ－(k∈Z)，当k＝3时，直线x＝是其对称轴，B项正确.‎ C项，f(x＋π)＝cos，将x＝代入得到f＝cos＝0，所以x＝是f(x＋π)的一个零点，C项正确.‎ D项，因为f(x)＝cos的递减区间为 (k∈Z)，递增区间为 (k∈Z)，所以是减区间，是增区间，D项错误.‎ 答案　D ‎[思维升华]‎ ‎1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式.‎ ‎2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t(或y＝cos t)的性质.‎ ‎3.数形结合是本讲的重要数学思想.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.‎ ‎2.求三角函数的单调区间时，当单调区间有无穷多个时，别忘了注明k∈Z.‎ 基础巩固题组 ‎(建议用时：40分钟)‎ 一、选择题 ‎1.函数y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为(　　)‎ A. B. C.π D.2π 解析　∵y＝2＝2sin，‎ ‎∴T＝＝π.‎ 答案　C ‎2.(2018·石家庄检测)若是函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx图象的一个对称中心，则ω的一个取值是(　　)‎ A.2 B.4 C.6 D.8‎ 解析　因为f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin，由题意，知f＝sin＝0，所以＋＝kπ(k∈Z)，即ω＝8k－2(k∈Z)，当k＝1时，ω＝6.‎ 答案　C ‎3.已知函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间上的最小值是－2，则ω的最小值等于(　　)‎ A. B. C.2 D.3‎ 解析　∵ω>0，－≤x≤，∴－≤ωx≤.‎ 由已知条件知－≤－，∴ω≥.‎ 答案　B ‎4.(2019·湖南十四校联考)已知函数f(x)＝2sin ωx－cos ωx(ω>0)，若f(x)的两个零点x1，x2满足|x1－x2|min＝2，则f(1)的值为(　　)‎ A. B.－ C.2 D.－2‎ 解析　依题意可得函数的最小正周期为＝2|x1－x2|min＝2×2＝4，即ω＝，所以f(1)＝2sin －cos ＝2.‎ 答案　C ‎5.若f(x)为偶函数，且在上满足：对任意x10，则f(x)可以为(　　)‎ A.f(x)＝cos B.f(x)＝|sin(π＋x)|‎ C.f(x)＝－tan x D.f(x)＝1－2cos22x 解析　∵f(x)＝cos＝－sin x为奇函数，∴排除A；f(x)＝－tan x为奇函数，∴排除C；f(x)＝1－2cos22x＝－cos 4x为偶函数，且单调增区间为(k∈Z)，排除D；f(x)＝|sin(π＋x)|＝|sin x|为偶函数，且在上单调递增.‎ 答案　B 二、填空题 ‎6.(2019·烟台检测)若函数f(x)＝cos(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________.‎ 解析　因为f(x)为奇函数，所以φ－＝＋kπ(k∈Z)，φ＝＋kπ，k∈Z.又因为0<φ<π，故φ＝.‎ 答案　 ‎7.函数y＝cos的单调递减区间为________.‎ 解析　由y＝cos＝cos，‎ 得2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，‎ 解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，‎ 所以函数的单调递减区间为(k∈Z).‎ 答案　(k∈Z)‎ ‎8.(2018·北京卷)设函数f(x)＝cos(ω>0).若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________.‎ 解析　由于对任意的实数都有f(x)≤f成立，故当x＝时，函数f(x)有最大值，故f＝1，－＝2kπ(k∈Z)，∴ω＝8k＋(k∈Z).又ω>0，∴ωmin＝.‎ 答案　 三、解答题 ‎9.(2018·北京卷)已知函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值.‎ 解　(1)f(x)＝－cos 2x＋sin 2x ‎＝sin＋.‎ 所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝sin＋.‎ 由题意知－≤x≤m，‎ 所以－≤2x－≤2m－.‎ 要使得f(x)在上的最大值为，‎ 即sin在上的最大值为1.‎ 所以2m－≥，即m≥.‎ 故实数m的最小值为.‎ ‎10.(2019·合肥质检)已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)的最小正周期为π.‎ ‎(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；‎ ‎(2)讨论函数f(x)在上的单调性.‎ 解　(1)∵f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin，且T＝π，‎ ‎∴ω＝2，于是f(x)＝sin.‎ 令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z).‎ 即函数f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z).‎ ‎(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 得函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).‎ 注意到x∈，所以令k＝0，‎ 得函数f(x)在上的单调递增区间为；‎ 同理，其单调递减区间为.‎ 能力提升题组 ‎(建议用时：20分钟)‎ ‎11.若对于任意x∈R都有f(x)＋2f(－x)＝3cos x－sin x，则函数f(2x)图象的对称中心为(　　)‎ A.(k∈Z) B.(k∈Z)‎ C.(k∈Z) D.(k∈Z)‎ 解析　因为f(x)＋2f(－x)＝3cos x－sin x，‎ 所以f(－x)＋2f(x)＝3cos x＋sin x.‎ 解得f(x)＝cos x＋sin x＝sin，‎ 所以f(2x)＝sin.‎ 令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z).‎ 所以f(2x)图象的对称中心为(k∈Z).‎ 答案　D ‎12.(2017·天津卷)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则(　　)‎ A.ω＝，φ＝ B.ω＝，φ＝－ C.ω＝，φ＝－ D.ω＝，φ＝ 解析　∵f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，‎ ‎∴f(x)的最小正周期为4＝3π，‎ ‎∴ω＝＝，‎ ‎∴f(x)＝2sin.‎ ‎∴2sin＝2，得φ＝2kπ＋(k∈Z)，‎ 又|φ|<π，∴取k＝0，得φ＝.‎ 答案　A ‎13.已知x0＝是函数f(x)＝sin(2x＋φ)的一个极大值点，则f(x)的单调递减区间是________.‎ 解析　因为x0＝是函数f(x)＝sin(2x＋φ)的一个极大值点，‎ 所以sin＝1，解得φ＝2kπ－(k∈Z).‎ 不妨取φ＝－，此时f(x)＝sin，‎ 令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 得f(x)的单调递减区间是(k∈Z).‎ 答案　(k∈Z)‎ ‎14.已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x＋.‎ ‎(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的值；‎ ‎(2)若方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2，求cos(x1－x2)的值.‎ 解　(1)f(x)＝cos xsin x－(2cos2x－1)‎ ‎＝sin 2x－cos 2x＝sin.‎ 当2x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝π＋kπ(k∈Z)时，函数f(x)取最大值，且最大值为1.‎ ‎(2)由(1)知，函数f(x)图象的对称轴为x＝π＋kπ(k∈Z)，‎ ‎∴当x∈(0，π)时，对称轴为x＝π.‎ 又方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2.‎ ‎∴x1＋x2＝π，则x1＝π－x2，‎ ‎∴cos(x1－x2)＝cos＝sin，‎ 又f(x2)＝sin＝，‎ 故cos(x1－x2)＝.‎