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- 2021-06-30 发布
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遂宁市高中2021届第三学期教学水平监测
数学(文科)试题
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。总分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题,满分60分)
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上,非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
3.考试结束后,将答题卡收回。
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.过点且斜率不存在的直线方程为
A. B. C. D.
2.空间直角坐标系中两点坐标分别为则两点间距离为
A.2 B. C. D.6
3.若方程表示圆,则实数的取值范围为
A. B. C. D.
4.直线和直线平行,则实数 的值为
A.3 B. C. D.或
5.在棱长为1的正方体中,异面直线与所成的角为
A. B. C. D.
6.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列四个命题为假命题的是
A.若,则;
B.若,,,则
C.若,则.
D.若,,则
7.若实数满足不等式组,则的最小值为
A.0 B.1 C. D.9
8.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案,它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理,展现了一种相互转化,相对统一的形式美.按照太极图的构图方法,在平面直角坐标系中,圆O被函数的图象分割为两个对称的鱼形图案(如图),其中阴影部分小圆的周长均为,现从大圆内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为
A. B.
C. D.
9. 如图所示,是长方体,是的中点,直线 交平面于点,则下列结论正确的是
A.三点共线
B.不共面
C.不共面
D.共面
10.若直线与直线关于点对称,则直线一定过定点
A. B. C. D.
11.已知长方形的长为,宽为,沿对角线折起,形成四面体,则该四面体外接球的表面积为
A. B.
C. D.
12.坐标原点在动直线上的投影为点,若点,那么的取值范围为
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷(非选择题,满分90分)
注意事项:
1.请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答,不能答在此试卷上。
2.试卷中横线及框内注有“▲”的地方,是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。
13.直线与直线垂直,则实数的值为 ▲
14.如图,这是某校高一年级一名学生七次数学测试成绩(满分100分)的茎叶图. 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的方差是 ▲
15.两个男生一个女生并列站成一排,其中两男生相邻的概率为 ▲
16.已知点是直线上一动点,是圆
的两条切线,为切点,则弦长的最小值为 ▲
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
如图,在底面是矩形的四棱锥中,⊥平面,是的中点。
(1)求证:平面;
(2)求证:平面⊥平面.
▲
18.(本小题12分)
“有黑扫黑、无黑除恶、无恶治乱”,维护社会稳定和和平发展。扫黑除恶期间,大量违法分子主动投案,某市公安机关对某月连续7天主动投案的人员进行了统计,表示第天主动投案的人数,得到统计表格如下:
1
2
3
4
5
6
7
3
4
5
5
5
6
7
(1)若与具有线性相关关系,请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程;
(2)判定变量与之间是正相关还是负相关。(写出正确答案,不用说明理由)
(3)预测第八天的主动投案的人数(按四舍五入取到整数).
回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
参考公式:, .
▲
19.(本小题12分)
已知动点与两个定点的距离之比为;
(1)求动点的轨迹方程;
(2)过点所代表的曲线外一点作该曲线的两条切线,切点分别为,求的正弦值;
(3)若点所代表的曲线内有一点,求过点且倾斜角为的直线与此曲线所截得的弦长.
▲
20.(本小题12分)
每当《我心永恒》这首感人唯美的歌曲回荡在我们耳边时,便会想起电影《泰坦尼克号》中一暮暮感人画面,让我们明白了什么是人类的“真、善、美”。为了推动我市旅游发展和带动全市经济,更为了向外界传递遂宁人民的“真、善、美”。我市某地将按“泰坦尼克号”原型比例重新修建。为了了解该旅游开发在大众中的熟知度,随机从本市岁的人群中抽取了人,得到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示,现让他们回答问题“该旅游开发将在我市哪个地方建成?”,统计结果如下表所示:
组号
分组
回答正确的人数
回答正确的人数
占本组的频率
第组
第组
第组
第组
第组
(1)求出的值;
(2)从第组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取人,求第组每组抽取的人数;
(3)在(2)中抽取的人中随机抽取人,求所抽取的人中恰好没有年龄在段的概率。
▲
21.(本小题满分12分)
如图,已知直三棱柱中,,
,是的中点,是上一点,
且.
(1)证明:平面;
(2)求三棱锥的体积.
▲
22.(本小题12分)
已知过定点且与直线垂直的直线与轴、轴分别交于点,点满足.
(1)若以原点为圆心的圆与有唯一公共点,求圆的轨迹方程;
(2)求能覆盖的最小圆的面积;
(3)在(1)的条件下,点在直线上,圆上总存在两个不同的点使得为坐标原点),求的取值范围。
▲
遂宁市高中2021届第三学期教学水平监测
数学(文科)试题参考答案及评分意见
一、选择题(5×12=60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
A
B
C
D
A
D
A
C
D
A
二、填空题(每小题5分,共4小题,共20分)
13、 14、或 15、 16、
三、解答题
17.(本小题10分)
(1)连接BD交AC于点G,连接EG,
因为E为PD的中点,G为BD的中点,所以 ……3分
又因为, ,所以 ……5分
(2)
……8分
……10分
18.(本小题12分)
(1)根据表中的数据,可得,, ……2分
则,
, ……4分
又由 ……5分
故所求回归直线方程为 ………………6分
(2)正相关 ………………9分
(3)当时,根据方程得,
故预测第八天有7人 ………………12分
19.(本小题12分)
(1)解:设,由题意有: ………………2分
化简得: ………………4分
(2)因为点到圆心的距离,令圆心为
所以在中, ………………6分
则 ………………8分
(3)过点倾斜角为的直线方程为 ………………9分
该直线恰好过圆心,所以与曲线截得的弦长恰好为圆的直径,
即弦长 ………………12分
20.(本小题12分)
(1)第组的人数为:人,第组的频率为:
………………1分
………………2分
………………3分
故 ………………4分
(2)抽样比为:人
第组抽取的人数为:人;第组抽取的人数为:人;
第组抽取的人数为:人 ………………8分
(3)记中2人为A1,A2,中3人为B1,B2,B3,中1人为C,则在抽取的人中随机抽取人的所有事件为A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A1C,A2B1,A2B2,A2B3,A2C,B1B2,B1B3,B1C,B2B3,B2C,B3C共15个,其中不含A1,A2的有6个
所抽取的人中恰好没有年龄段在的概率: ………………12分
21.(本小题12分)
(1)由题意知,等腰直角三角形中,
中线,且
而直三棱柱中,底面,
从而知,
一方面,在中,因为,,则
由,可得,从而可知,又
则得,由此可得,即有…3分
另一方面,由,,,得平面
又平面,则知 ………………5分
综上,,且,又,
故平面. ………………6分
(2)如图,D为AC中点,连接ED,则ED∥AB且ED=AB=1
∵三棱柱为直三棱柱 ∴AA1⊥底面ABCA1A⊥AB
又AB⊥AC ∴AB⊥面AA1C1C 从而ED⊥面A1C1C
………………8分
∵A1F=2FE
∴
……………12分
22.(本小题12分)
(1)因为,所以在线段的垂直平分线上,即在直线上,
故 ………………1分
以原点为圆心的圆与有唯一公共点,
此时圆的半径 ………………3分
故:圆的方程为 ………………4分
(2)由于三角形ABC为钝角三角形且AB为最长边,故能覆盖三角形ABC的最小圆是以AB为直径的圆……………………(不需证明,写出该结论给2分)………….6分
由于点,所以………………………………………..7分
故该圆的半径为
所以能覆盖该三角形的最小圆面积………………………………………….8分
(3)(O为坐标原点),则有OP与MN互相垂直平分,
所以圆心到直线MN的距离小于1.即又
………………10分
又,代入(1)得
所以实数的取值范围为 ………………12分