2021高考数学一轮复习课后限时集训69不等式的证明文北师大版2 3页

课后限时集训69‎ 不等式的证明 建议用时：45分钟 ‎1．(1)已知a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1，证明＋＋≥9；‎ ‎(2)已知a，b，c均为正实数，且abc＝1，证明＋＋≤＋＋.‎ ‎[证明](1)因为a＋b＋c＝1，所以＋＋＝＋＋＝＋＋1＋＋＋1＋＋＋1＝＋＋＋＋＋＋3≥9，当a＝b＝c时等号成立．‎ ‎(2)因为＋＋＝≥×.‎ 又因为abc＝1，所以＝c，＝b，＝a，∴＋＋≥＋＋.‎ 当a＝b＝c时等号成立，即原不等式成立．‎ ‎2．已知函数f(x)＝|x＋m|(m≥1)．‎ ‎(1)当m＝2时，求不等式＞－1的解集；‎ ‎(2)设g(x)＝f，记p(x)＝f(x)＋g(x)，证明：p(x)≥3.‎ ‎[解](1)∵m＝2，∴f(x)＝|x＋2|，‎ ‎∴不等式＞－1，即为＞－1，‎ 即＞0，‎ 上述不等式同解于，即x＞0， ①‎ 或即－2＜x＜－， ②‎ 或即x≤－2， ③‎ 由①②③得不等式的解集为.‎ ‎(2)证明：∵g(x)＝f＝，‎ ‎∴p(x)＝|x＋m|＋，‎ ‎∵|x＋m|＋≥，‎ ‎∴p(x)≥，‎ - 3 -‎ ‎∵m≥1，∴p(x)≥2m＋，‎ ‎∵h(m)＝2m＋在区间[1，＋∞)上是增函数，‎ ‎∴h(m)≥3，‎ ‎∴p(x)≥3.‎ ‎3．已知函数f(x)＝|x＋1|.‎ ‎(1)求不等式f(x)＜|2x＋1|－1的解集M；‎ ‎(2)设a，b∈M，求证：f(ab)＞f(a)－f(－b)．‎ ‎[解](1)由题意，|x＋1|＜|2x＋1|－1，‎ ‎①当x≤－1时，‎ 不等式可化为－x－1＜－2x－2，解得x＜－1；‎ ‎②当－1＜x＜－时，‎ 不等式可化为x＋1＜－2x－2，‎ 此时不等式无解；‎ ‎③当x≥－时，‎ 不等式可化为x＋1＜2x，解得x＞1.‎ 综上，M＝{x|x＜－1或x＞1}．‎ ‎(2)证明：因为f(a)－f(－b)＝|a＋1|－|－b＋1|≤|a＋1－(－b＋1)|＝|a＋b|，‎ 所以要证f(ab)＞f(a)－f(－b)，‎ 只需证|ab＋1|＞|a＋b|，‎ 即证|ab＋1|2＞|a＋b|2，‎ 即证a2b2＋2ab＋1＞a2＋2ab＋b2，‎ 即证a2b2－a2－b2＋1＞0，‎ 即证(a2－1)(b2－1)＞0.‎ 因为a，b∈M，所以a2＞1，b2＞1，‎ 所以(a2－1)(b2－1)＞0成立，所以原不等式成立．‎ ‎4．(2019·全国卷Ⅲ)设x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1.‎ ‎(1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值；‎ ‎(2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥成立，证明：a≤－3或a≥－1.‎ ‎[解](1)因为[(x－1)＋(y＋1)＋(z＋1)]2‎ ‎＝(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＋2[(x－1)(y＋1)＋(y＋1)·(z＋1)＋(z＋1)(x－1)]‎ ‎≤3[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2]，‎ - 3 -‎ 所以由已知得(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2≥，‎ 当且仅当x＝，y＝－，z＝－时等号成立．‎ 所以(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值为.‎ ‎(2)证明：因为[(x－2)＋(y－1)＋(z－a)]2‎ ‎＝(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2＋2[(x－2)(y－1)＋(y－1)·(z－a)＋(z－a)(x－2)]‎ ‎≤3[(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2]，‎ 所以由已知得(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥，‎ 当且仅当x＝，y＝，z＝时等号成立．‎ 所以(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2的最小值为.‎ 由题设知≥，‎ 解得a≤－3或a≥－1.‎ - 3 -‎