2019届二轮坐标系与参数方程专题卷 10页

极坐标与参数方程是高考必考内容，极坐标部分重点考查极坐标与直角坐标的互化，同时考查直线与圆的位置关系；参数方程部分多考查直线与圆的参数方程及应用．高考中通常以解答题形式考查参数方程和极坐标的综合问题．‎ ‎1．圆的极坐标方程 若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.‎ 几个特殊位置的圆的极坐标方程：‎ ‎(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；‎ ‎(2)当圆心位于M(a，0)，半径为a：ρ＝2acos θ；‎ ‎(3)当圆心位于M，半径为a：ρ＝2asin θ.‎ ‎2．直线的极坐标方程 若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴与此直线所成的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．‎ 几个特殊位置的直线的极坐标方程：‎ ‎(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；‎ ‎(2)直线过点M(a，0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；‎ ‎(3)直线过M且平行于极轴：ρsin θ＝b.‎ ‎3．极坐标与直角坐标的互化方法 点M 直角坐标(x，y)‎ 极坐标(ρ，θ)‎ 互化公式 ‎[典例]　(1)在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝(ρ∈R)距离的最大值．‎ ‎(2)在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝.(ρ≥0，0≤θ<2π)‎ ‎①求圆O和直线l的直角坐标方程；‎ ‎②当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．‎ ‎[自主解答]　(1)因为ρ＝8sin θ，所以x2＋y2＝8y，即x2＋(y－4)2＝16，又直线θ＝(ρ∈R)，所以y＝x，圆心(0，4)到直线y＝x的距离为2，又圆的半径为4，故所求最大值为6.‎ ‎(2)①圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，故圆O的直角坐标方程为：x2＋y2－x－y＝0，‎ 直线l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，‎ 则直线l的直角坐标方程为：x－y＋1＝0.‎ ‎②由①知圆O与直线l的直角坐标方程，将两方程联立得解得即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0，1)，将(0，1)转化为极坐标为，即为所求．‎ ‎(1)此类问题求解时一般先将极坐标方程化为直角坐标方程，在直角坐标系中求解．‎ ‎(2)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．‎ ‎[变式训练]‎ ‎　已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρ·sin－4＝0，求圆C的半径．‎ 解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.‎ 圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρ－4＝0，化简得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.‎ 则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，‎ 即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圆C的半径为.‎ 几种常见曲线的参数方程 ‎(1)圆 以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是其中α是参数．‎ 当圆心在(0，0)时，方程为其中α是参数．‎ ‎(2)椭圆 椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是其中φ是参数．‎ 椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是其中φ是参数．‎ ‎(3)直线 经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是其中t是参数．‎ 在解答参数方程的有关问题时常用的方法 ‎(1)将参数方程化为普通方程，再利用相关知识解决，注意消参后x，y的取值范围．‎ ‎(2)观察参数方程有什么几何意义，利用参数的几何意义解题．‎ ‎[典例]　已知椭圆C：＋＝1，直线l：(t为参数)‎ ‎(1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；‎ ‎(2)设A(1，0)，若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等，求点P的坐标．‎ ‎[自主解答]　(1)令x＝2cos θ，y＝sin θ，则椭圆的参数方程为：(θ为参数)‎ 将直线的参数方程化为普通方程l：x－y＋9＝0.‎ ‎(2)设P(2cos θ，sin θ)，‎ 则|AP|＝＝2－cos θ，P到直线l的距离d＝＝.‎ 由|AP|＝d得3sin θ－4cos θ＝5，又sin2θ＋cos2θ＝1，得sin θ＝，cos θ＝－.故P.‎ ‎(1)参数方程化为普通方程的关键是消参数，要根据参数的特点进行．‎ ‎(2)利用参数方程解决问题，关键是选准参数，理解参数的几何意义．‎ ‎[变式训练]‎ ‎　已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数)‎ ‎(1)求直线l和圆C的普通方程；‎ ‎(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)直线l的普通方程为2x－y－‎2a＝0，‎ 圆C的普通方程为x2＋y2＝16.‎ ‎(2)因为直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4，‎ 解得－2≤a≤2.‎ 故a的取值范围是[－2，2 ].‎ ‎[典例]　在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．以原点为极点 ‎，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎(1)写出⊙C的直角坐标方程；‎ ‎(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．‎ ‎[自主解答]　(1)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，‎ 从而有x2＋y2＝2y，所以x2＋(y－)2＝3.‎ ‎(2)设P，又C(0，)，‎ 则|PC|＝ ＝，‎ 故当t＝0时，|PC|取得最小值，‎ 此时，点P的直角坐标为(3，0)．‎ 对于同时含有极坐标方程和参数方程的题目，可先同时将它们转化为直角坐标方程求解，这样思路会更加清晰．‎ ‎[变式训练]‎ 已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：(t是参数)‎ ‎(1)若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|＝，试求实数m的值；‎ ‎(2)设M(x，y)为曲线C上任意一点，求x＋y的取值范围．‎ 解：(1)曲线C的极坐标方程是ρ＝4cos θ化为直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4，‎ 直线l的直角坐标方程为y＝x－m，‎ ‎∴圆心到直线l的距离(弦心距)d＝＝，‎ 圆心(2，0)到直线y＝x－m的距离为：＝⇒|m－2|＝1，∴m＝1或m＝3.‎ ‎(2)曲线C的方程可化为(x－2)2＋y2＝4，其参数方程为(θ为参数)‎ ‎∵M(x，y)为曲线C上任意一点，x＋y＝2＋2sin，‎ ‎∴x＋y的取值范围是[2－2，2＋2]．‎ ‎1．在极坐标系中，设圆C经过点P，圆心是直线ρsin＝与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．‎ 解：因为圆心为直线ρsin＝与极轴的交点，所以令θ＝0，得ρ＝1，即圆心是(1，0)，‎ 又圆C经过点P，‎ ‎∴圆的半径r＝＝1，∴圆过原点，‎ ‎∴圆C的极坐标方程是ρ＝2cos θ.‎ ‎2．⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ.‎ ‎(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．‎ 解：(1)设x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，所以x2＋y2＝4x.即x2＋y2－4x＝0为⊙O1的直角坐标方程．‎ 同理x2＋y2＋4y＝0为⊙O2的直角坐标方程．‎ ‎(2)由 两式相减得x＋y＝0，即为经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．‎ ‎3．已知直线l的参数方程是(t是参数)，圆C的极坐标方程为ρ＝2cos.‎ ‎(1)求圆心C的直角坐标；‎ ‎(2)由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．‎ 解：(1)因为ρ＝cos θ－sin θ，所以ρ2＝ρcos θ－ρsin θ，所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2－x＋y＝0，即＋＝1，‎ 所以圆心直角坐标为.‎ ‎(2)直线l上的点向圆C引切线长是 ＝＝≥2，‎ ‎∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是2.‎ ‎4．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与曲线C：(y－2)2－x2＝1交于A，B两点．‎ ‎(1)求|AB|的长；‎ ‎(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．‎ 解：(1)直线l的参数方程化为标准型(t为参数)，‎ 代入曲线C方程得t2＋4t－10＝0.‎ 设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－4，t1t2＝－10，所以|AB|＝|t1－t2|＝2.‎ ‎(2)由极坐标与直角坐标互化公式得P直角坐标(－2，2)，‎ 所以点P在直线l上，中点M对应参数为＝－2，‎ 由参数t几何意义，所以点P到线段AB中点M的距离|PM|＝2.‎ ‎5．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(θ为参数)，直线l经过点P(2，2)，倾斜角α＝.‎ ‎(1)写出圆的标准方程和直线l的参数方程；‎ ‎(2)设l与圆C相交于A、B两点，求|PA|·|PB|的值．‎ 解：(1)圆的标准方程为x2＋y2＝16.‎ 直线l的参数方程为即(t为参数)‎ ‎(2)把直线的方程代入x2＋y2＝16，‎ 得＋＝16，‎ 即t2＋2(＋1)t－8＝0，所以t1t2＝－8，‎ 所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝8.‎ ‎6．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ＝4cos θ.‎ ‎(1)直线l的参数方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)求直线l与曲线C交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π)．‎ 解：(1)将直线l：(t为参数)消去参数t，化为普通方程x－y－2＝0，‎ 将代入x－y－2＝0得 ρcos θ－ρsin θ－2＝0.‎ ‎(2)法一：C的普通方程为x2＋y2－4x＝0.‎ 由解得或 所以l与C交点的极坐标分别为，.‎ 法二：由 得：sin＝0，‎ 又因为ρ≥0，0≤θ<2π，‎ 所以或 所以l与C交点的极坐标分别为，.‎ ‎7．在极坐标系中，已知圆C的圆心C(，)，半径r＝.‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)若α∈，直线l的参数方程为(t为参数)，直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．‎ 解：(1)由C得，C直角坐标为(1，1)，‎ 所以圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝3，‎ 由得圆C的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ－1＝0.‎ ‎(2)将代入C的直角坐标方程(x－1)2＋(y－1)2＝3，‎ 得t2＋2(cos α＋sin α)t－1＝0，则Δ>0，‎ 设A，B对应参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－2(cos α＋sin α)，t1t2＝－1，‎ ‎|AB|＝|t1－t2|＝＝，‎ 因为α∈，‎ 所以sin 2α∈[0，1]，所以8＋4sin 2α∈[8，12]，‎ 所以|AB|的取值范围为[2，2]．‎ ‎8．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋4sin θ.‎ ‎(1)求直线l和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与曲线C公共点的极坐标．‎ 解：(1)由y＝5＋t得t＝y－5，‎ 将其代入x＝2＋t中得：x－2y＋8＝0，‎ ‎∴直线l的直角坐标方程为x－2y＋8＝0.‎ 由ρ＝2cos θ＋4sin θ，得ρ2＝2ρcos θ＋4ρsin θ，‎ ‎∴x2＋y2＝2x＋4y，即x2＋y2－2x－4y＝0，‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－4y＝0.‎ ‎(2)由得 ‎∴直线l与曲线C的公共点为(0，4)，‎ ‎∵θ∈(0，π)，‎ ‎∴直线l与曲线C公共点的极坐标为.‎