高中数学选修2-3教学课件：1_1_2分类加法计数原理与分步乘法计数原理 31页

1.1.2 分类计数原理 与 分步计数原理 ( 二 ) 1 、分类加法计数原理 ：完成一件事，有 n 类办法，在第 1 类办法中有 m 1 种不同的方法 , 在第 2 类办法中有 m 2 种不同的方法 …… 在第 n 类办法中 有 m n 种不同的方法 . 那么　完成这件事共有 种不同的方法 . 2 、分步乘法计数原理 ： 完成一件事，需要分成 n 个步骤，做第 1 步有 m 1 种不同的方法 , 做第 2 步有 m 2 种不同的方法 …… ，做第 n 步有 m n 种不同的方法 . 那么完成这件事共有 种不同的方法 . 分类加法计数原理和分步乘法计数原理的 共同点： 不同点： 分类加法计数原理与分类有关， 分步乘法计数原理与分步有关。 回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题 分类计数原理 分步计数原理 完成一件事，共有 n 类办法，关键词“ 分类 ” 区别 1 完成一件事，共分 n 个步骤，关键词“ 分步 ” 区别 2 区别 3 每类办法都能独立地完成这件事情，它是独立的、一次的、且每次得到的是最后结果， 只须一种方法就可完成这件事 。 每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事， 只有各个步骤都完成了，才能完成这件事 。 各类办法是 互相独立 的。 各步之间是 互相 关联的。 即： 类类独立，步步关联 。 例 1. 五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？ 解：（ 1 ） 5 名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每个学生都有 4 种报名方法， 5 名学生都报了项目才能算完成这一事件故报名方法种数为 4×4×4×4×4= 种 . （ 2 ）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有 5 种故有 n =5× ５ × ５ × ５ = 种 . 例 2. 给程序模块命名，需要用 3 个字符，其中首个字符要求用字母 A~G 或 U~Z ，后两个要求用数字 1 ～ 9 ，问最多可以给多少个程序命名？ 分析： 要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第一步，选首字符；第二步，先中间字符；第三步，选末位字符。 解： 首字符共有 7+6 ＝ 13 种不同的选法， 答： 最多可以给 1053 个程序命名。 　 中间字符和末位字符各有 9 种不同的选法 　根据分步计数原理，最多可以有 13×9×9 ＝ 1053 种不同的选法 例 3. 核糖核酸（ RNA ）分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个 RNA 分子 是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称 为碱基的化学成分所占据，总共有４个不同的碱基，分别用 A ， C ， G ， U 表 示，在一个 RNA 分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位 置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类 RNA 分子由 100 个碱基组 成，那么能有多少种不同的 RNA 分子？ U U U A A A C C C G G G 分析 : 用 100 个位置表示由 100 个碱基组成的长链，每个位置都可以从 A 、 C 、 G 、 U 中任选一个来占据。 第 1 位 第 2 位 第 3 位 第 100 位 4 种 4 种 4 种 4 种 …… 解： 100 个碱基组成的长链共有 100 个位置，在每个位置中，从 A 、 C 、 G 、 U 中任选一个来填入，每个位置有 4 种填充方法。根据分步计数原理，共有 种不同的 RNA 分子 . 例 4. 电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与底等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态。因此计算机内部就采用了每一位只有 0 或 1 两种数字的计数法，即二进制，为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由８个二进制位构成，问 （ 1 ）一个字节（ 8 位）最多可以表示多少个不同的字符？ （ 2 ）计算机汉字国标码（ GB 码）包含了 6763 个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？ 第 1 位 第 2 位 第 3 位 第 8 位 2 种 2 种 2 种 2 种 …… 如 00000000 ， 10000000 ， 11111111. 开始 子模块 1 18 条执行路径 子模块 3 28 条执行路径 子模块 2 45 条执行路径 子模块 5 43 条执行路径 子模块 4 38 条执行路径 结束 A 例 5. 计算机编程人员在编写好程序以后要对程序进行测试。程序员需要知道到底有多少条执行路（即程序从开始到结束的线），以便知道需要提供多少个测试数据。一般的，一个程序模块又许多子模块组 成，它的一个具有许多执行路径的程序模块。问：这个程序模块有多少条执行路径？另外为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数，你能帮助程序员设计一个测试方式， 以减少测试次数吗？ 开始 子模块 1 18 条执行路径 子模块 3 28 条执行路径 子模块 2 45 条执行路径 子模块 5 43 条执行路径 子模块 4 38 条执行路径 结束 A 分析： 整个模块的任意一条路径都分两步完成 ：第 1 步是从开始执行到 A 点；第 2 步是从 A 点执行到结束。而第步可由子模块 1 或子模块 2 或子模块 3 来完成；第二步可由子模块 4 或子模块 5 来完成。因此，分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理。 开始 子模块 1 18 条执行路径 子模块 3 28 条执行路径 子模块 2 45 条执行路径 子模块 5 43 条执行路径 子模块 4 38 条执行路径 结束 A 再测试各个模块之间的信息交流是否正常，需要测试的次数为： 3*2=6 。 如果每个子模块都正常工作，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么整个程序模块就正常。 这样，测试整个 模块的次数就变为 172+6=178 （次） 2 ）在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块。这样，他可以先分别单独测试 5 个模块，以考察每个子模块的工作是否正常。总共需要的测试次数为： 18+45+28+38+43=172 。 例 6. 随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有３个不重复的英文字母和３个不重复的阿拉伯数字，并且３个字母必须合成一组出现，３个数字也必须合成一组出现，那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照 ? 3 . 如图 , 该电路 , 从 A 到 B 共有多少条不同的线路可通电？ A B 课堂练习 所以 , 根据分类原理 , 从 A 到 B 共有 N = 3 + 1 + 4 = 8 条不同的线路可通电。 在解题有时既要分类又要分步。 解 : 从总体上看由 A 到 B 的通电线路可分三类 , 第一类 , m 1 = 3 条 第二类 , m 2 = 1 条 第三类 , m 3 = 2×2 = 4, 条