高一数学教案第3讲：幂函数和指数函数 7页

辅导教案 学员姓名： 学科教师：‎ 年 级： 辅导科目： ‎ 授课日期 ‎××年××月××日 ‎ 时 间 A / B / C / D / E / F段 主 题 幂函数和指数函数 教学内容 ‎1、掌握幂函数和指函数的基本概念；‎ ‎2、能够熟练掌握幂函数和指函数的性质，并能灵活应用；‎ ‎3、理解幂指对形式的复合函数.‎ ‎（以提问的形式回顾）‎ ‎1、幂函数的图像和性质 ‎(1)定义：形如 的函数称为幂函数，其中为常数．‎ ‎(2)性质如下：‎ ‎（i）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；‎ ‎（ii）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；‎ ‎（iii）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．‎ ‎2、指数函数的图像和性质 图象 性质 定义域：‎ 值域： ‎ 过点，即时，‎ 在上是增函数 在上是减函数 1) ‎(且)的定义域为，值域为 2) ‎(且) 的单调性：‎ 时，在上为增函数。‎ 时，在上是减函数。‎ 3) 与的图象关于轴对称 结合图像检测一下学生预习的情况，是否对这两类函数性质掌握熟练。‎ ‎（采用教师引导，学生轮流回答的形式）‎ 例1. 已知幂函数的图像与x轴，y轴都无交点，且其图像关于y轴对称，则解析式是 ‎ 分析：要使得与x轴，y轴都无交点，则有，所以，而 图像关于y轴对称，所以，即或 .‎ 试一试：函数是幂函数，且在上是减函数，则实数______‎ 分析：，又上是减函数，故，则 例2. 如果函数在上的最大值是14，求的值。‎ 解：原函数化为,当时，因,得,从而,同理, 当时, ．所以所求的值为.‎ 试一试：函数在上的最大值比最小值大，则的值为 ‎ 解：当时，在上为增函数.‎ 当时，解得 当时，在上为减函数. 当时，，解得 综上所述，‎ 例3. 已知函数 ‎（1）求的定义域和值域；Ks5u ‎（2）讨论的奇偶性；‎ ‎（3）讨论的单调性.‎ 分析：（1）的定义域是R，‎ 令 ‎，解得 的值域为 ‎（2）‎ 是奇函数。‎ ‎（3）‎ 设是R上任意两个实数，且，则 ‎ ‎ 当时，，从而，，，即，为R上的增函数。‎ 当时，，从而，，，，即为R上的减函数。‎ 例4. 求下列函数的单调区间及值域:‎ ‎(1) ； 　　(2)求函数的递增区间．‎ 解：(1)由得时单调递增，而是单调减函数，所以原函数的递减区间是,递增区间是; 值域是.‎ ‎（2）设的定义域是，当时，单调递增，又 是单调增函数，所以原函数的递增区间是．‎ 试一试：求函数的单调区间及值域: ‎ 解：,所以值域是;单调减区间是,单调增区间.‎ ‎（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）‎ ‎1. 若函数 则不等式的解集为____________. [-3,1]‎ ‎2. 若函数的定义域为R，则的取值范围是 . [-1,0]‎ ‎3. 若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　 B　)‎ A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]‎ ‎4.设函数在内有定义，对于给定的正数， 定义函数: 取函数（＞１）．当时，函数在下列区间上单调递减的是 ( D )．‎ ‎ ‎ ‎5. 已知函数f(x)＝2x－.‎ ‎(1)若f(x)＝2，求x的值；(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．‎ 解：(1)当x<0时，f(x)＝0； 当x≥0时，f(x)＝2x－.‎ 由条件可知2x－＝2，即22x－2·2x－1＝0， 解得2x＝1±. ∵2x>0，∴x＝log2(1＋)．‎ ‎(2)当t∈[1,2]时，2t＋m≥0， 即m(22t－1)≥－(24t－1)．‎ ‎∵22t－1>0，∴m≥－(22t＋1)． ∵t∈[1,2]， ∴－(1＋22t)∈[－17，－5]，‎ 故m的取值范围是[－5，＋∞)．‎ 本节课主要知识点：幂函数的定义，图像和性质，指数函数的定义图像和性质。‎ ‎1. 设，幂函数的图象在的上方，则的取值范围是 ‎ 分析：结合幂函数的图像易知.‎ ‎2. 当时，函数的值总大于1，则实数的取值范围是（ ）.‎ A、 B、 C、 D、 ‎ 解：的值总大于1，，故选C。‎ ‎3. 已知函数.‎ ‎(1)若a＝－1，求的单调区间； (2)若有最大值3，求a的值．‎ ‎(3)若的值域是(0，＋∞)，求a的取值范围．‎ 解：(1)当a＝－1时，，令g(x)＝－x2－4x＋3，‎ 由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝t在R上单调递减，‎ 所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，‎ 即函数f(x)的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．‎ ‎(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此必有 ，解得a＝1.即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.‎ ‎(3)由指数函数的性质知，要使y＝h(x)的值域为(0，＋∞)．应使h(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，因此只能有a＝0.因为若a≠0，则h(x)为二次函数，其值域不可能为R.故a的取值范围是a＝0.‎ 一、对数的定义：‎ 一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：，其中叫做对数的底数，叫做真数。‎ ‎1）以10为底的对数称常用对数，记作；‎ ‎2）以无理数为底的对数称自然对数，，记作；‎ 练习：已知函数若，则 . ‎ 二、基本性质：‎ ‎1）真数N为正数（负数和零无对数）； 2）；‎ ‎3）； 4）对数恒等式：‎ 你能推导出这些性质吗？‎