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- 2021-06-30 发布
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数学(文科)试卷
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合P={x││x+1│≤2},Q={x│x<a },则集合PQ≠ 的充要条件是
(A).a≤-3 (B).a≤1 (C).a>-3 (D).a>1
2.函数的最小正周期是
(A) (B) (C) (D)
3.设双曲线的半焦距为c,直线过(,0),(0,)两点。已知原点到直线的距离为,则双曲线的离心率为
(A)2 (B) (C) (D)
4.甲、乙两棉农,统计连续五年的面积产量(千克∕亩)如下表:
棉农甲
68
72
70
69
71
棉农乙
69
71
68
68
69
则平均产量较高与产量较稳定的分别是
(A).棉农甲,棉农甲 (B).棉农甲,棉农乙
(C).棉农乙,棉农甲 (D).棉农乙,棉农乙
5.定义运算,则符合条件(为虚数单位)的复数为
2m
1m
2m
(A) (B) (C) (D)
6.某个容器的底部为圆柱,顶部为圆锥,其正视图
如右图所示,则这个容器的容积为
(A). (B). (C). (D).
7 .已知m,l是异面直线,给出下列命题:
①一定存在平面α过直线l且与直线m平行.②一定存在平面α与直线l、m都垂直. ③一定存在平面α过直线l且与直线m垂直.④一定存在平面α与直线l、m的距离相等.
其中,正确的命题个数有
(A). 1 (B). 2 (C). 3 (D). 4个
8. 设函数f(x)定义在实数集R上,它的图像关于直线x=1对称,且当x≥1时,
f(x)=3x-1,则有
(A). f()<f()<f() (B). f()<f()<f()
(C).f()<f()<f() (D). f()<f()<f()
二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分.把答案填在横线上.
9.某校高一、高二、高三三个年级的学生数分别为1500人、1200人和1000人,现采用按年级分层抽样法了解学生的视力状况,已知在高一年级抽查了75人,则这次调查三个年级共抽查了_______人.
10.已知向量a,向量b,若a⊥b,则实数x的值为 .
11.如图,函数f(x)的图像是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f(f(0))=________;函数f(x)在x=3处的导数f′(3) =________.
13题图
12.已知圆与抛物线 的准线相切。则p=__________.
13. 如图所示,这是计算的值的一个程序 框图,其中判断框内
应填入的条件是 .
14.如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D. 现测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30米,并在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB= 米..
15. 给出下列四个结论:
①“k=1” 是“函数y=cos2 k x-sin2 k x的最小正周期为π”的充要条件.
②函数y=sin(2 x-)沿向量a=(,0)平移后所得图象的函数表达式是:y=cos2 x.
③函数y=lg(a x2-2 a x+1)的定义域是R,则实数a的取值范围是(0,1).
④单位向量a、b的夹角是60°,则向量2a-b的模是.
其中正确结论的序号是 .(填写你认为正确的所有结论序号)
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12分) 已知函数.
(1)将f(x)写成的形式,并求其图象对称中心的横坐标;
(2)如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac,且边b所对的角为x,试求x的范围及此时函数f(x)的值域.
17.(本小题满分12分)设函数的图像与直线相切于点.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)讨论函数的单调性.
18.(本小题满分12分)如图,在直三棱柱中,,,为的中点,D在A1B1上且.
A
M
B
D
A1
C
C1
B1
(I)求证:平面⊥平面;
(II)求二面角的余弦值.
19. (本小题满分13分)为了研究某高校大学新生学生的视力情况,随机地抽查了该校100名进校学生的视力情况,得到频率分布直方图如图.已知前4组的频数从左到右依次是等比数列的前四项,后6组的频数从左到右依次是等差数列的前六项.
视力
4..3 4.4
4..5
4.6
4.7
4.8
4..9
5.0
5.1
5.2
0.1
0.3
(Ⅰ)求等比数列的通项公式;(Ⅱ)求等差数列的通项公式;(Ⅲ)若规定视力低于5.0的学生属于近视学生,试估计该校新生的近视率的大小.
20.(本小题满分13分)已知三点P(5,2)、(-6,0)、(6,0).
(Ⅰ)求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设点P、、关于直线y=x的对称点分别为、、,求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程.
21.(本小题满分13分)已知函数.
(1)若函数
(2)
参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
A
B
C
A
B
B
二、填空题:
9. 185 10. 1 11. 2,1 12. 2 13. 14. 15 15. ④
三、解答题:
16.(1)解:
f(x)=+(1+)=++=sin(+)+.
由sin(+)=0,即+=kπ(k∈Z),得x=(k∈Z),即对称中心的横坐标为,(k∈Z). 6分
(2)由已知b2=ac,得
cosx=≥.
∴≤cosx<1,0<x≤. 9分
∴<+≤.
∵>,
∴sin<sin(+)≤1.
b>0),其半焦距c=6
∴,b2=a2-c2=9.
所以所求椭圆的标准方程为 6分
(2)点P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)关于直线y=x的对称点分别为点P,(2,5)、F1,(0,-6)、F2,(0,6). 9分
设所求双曲线的标准方程为 由题意知,半焦距c1=6
,b12=c12-a12=36-20=16. 12分
所以所求双曲线的标准方程为 13分
21.解: (1)………………………2分
即 ………4分
∴是 (也可写成闭区间)…………6分
(2) ……………………8分
不等式组所确定的平面区域如图所示。…………………………………10分
O
Q
·
P
设
13分