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- 2021-06-30 发布
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2013届高考一轮复习导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题
一、选择题
1、已知对任意实数x,都有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且x>0时,f′(x)>0,g′(x)>0,则x<0时( )
A.f′(x)>0,g′(x)>0
B.f′(x)>0,g′(x)<0
C.f′(x)<0,g′(x)>0
D.f′(x)<0,g′(x)<0
2、若函数在上是增函数,则实数k的取值范围是( )
A. [-2,+ B. [2,+
C.] D. (-)
3、函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在(a,b)内的极小值点共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4、在区间[-1,1]上的最大值是( )
A.-2 B.0 C.2 D.4
5、设f′(x)是函数f(x)的导函数,将y=f(x)和y=f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( )
6、某公司生产某种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总营业收入R与年产量x的关系是R=R(x)=则总利润最大时,每年生产的产品单位数是( )
A.100 B.150 C.200 D.300
7、函数已知f(x)在x=-3时取得极值,则a等于( )
A.2 B.3 C.4 D.5
8、若函数有3个不同的零点,则实数a的取值范围是( )
A.(-2,2) B.
C. D.
9、函数f(x)=(x-3)e的单调递增区间是( )
A. B.(0,3)
C.(1,4) D.
二、填空题
10、已知函数y=ax与在上都是减函数,则函数的单调递减区间为 .
11、函数y=sin的最大值是 ,最小值是 .
12、要建造一个长方体形状的仓库,其内部的高为3 m,长和宽的和为20 m,则仓库容积的最大值为
.
三、解答题
13、已知函数f(x)R),其中a>0.
(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)若在区间上,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.
14、(2011安徽高考,理16)设其中a为正实数.
(1)当时,求f(x)的极值点;
(2)若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围.
15、已知函数f(x)=ln(1.
(1)当k=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)求f(x)的单调区间.
16、设a为实数,函数f(x)=eR.
(1)求f(x)的单调区间与极值;
(2)求证:当a>ln2-1且x>0时,e.
以下是答案
一、选择题
1、B
解析:由题意知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数.当x>0时,f(x),g(x)都单调递增,则当x<0时,f(x)单调递增,g(x)单调递减,即f′(x)>0,g′(x)<0.
2、A
解析:因为h′所以h′在上恒成立,即在
上恒成立.所以[-2,+.
3、A
解析:观察题中图象可知,f′(x)只有一处是先小于0,后大于0的.
4、C
解析:f′2),令f′(x)=0可得x=0或2(2舍去),当时,f′(x)>0,当时,f′(x)<0,所以当x=0时,f(x)取得最大值2.
5、D
解析:对于A,抛物线为函数f(x),直线为f′(x);对于B,上凸的曲线为函数f(x),下凹的曲线为f′(x);对于C,下面的曲线为函数f(x),上面的曲线f′(x).只有D不符合题设条件.
6、D
解析:由题意得,总成本函数为C=C(x)=20 000+100x,
所以总利润函数为P=P(x)=R(x)-C(x)
=
而P′(x)=
令P′(x)=0,得x=300,易知x=300时,P最大.
7、D
解析:因为所以f′.
由题意有f′(-3)=0,所以.由此解得a=5.
8、A
解析:由f′1)(x+1),
且当x<-1时,f′(x)>0.
当-11时,f′(x)>0.
所以当x=-1时函数f(x)有极大值,当x=1时函数f(x)有极小值.
要使函数f(x)有3个不同的零点,只需满足解之,得-22.
∴f(x)的单调递增区间为.
二、填空题
10、和
解析:根据题意a<0,b<0.
由得y′.
令y′<0,可得x>0或.
故所求减区间为和.
11、
解析:∵y′=2cos2x-1=0,∴.
而
端点
∴y的最大值是最小值是.
12、300
解析:设长为x m,则宽为(20-x) m,仓库的容积为V,
则V
V′=-6x+60,令V′=0,得x=10.
当00;当x>10时,V′<0.
∴x=10时
三、解答题
13、 解:(1)当a=1时3;f′(x)′(2)=6.所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-3=6(x-2),即y=6x-9.
(2)f′1).令f′(x)=0,解得x=0或.
以下分两种情况讨论:
①若则.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
当时,f(x)>0等价于即
解不等式组得-52,则.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
当时,f(x)>0等价于 即
解不等式组得或.
因此20,知在R上恒成立,因此由此并结合a>0,知.
15、 解:(1)当k=2时,f(x)=ln(1f′(x)=.
由于f(1)=ln2,f′
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-ln
即3x-2y+2ln2-3=0.
(2)f′
当k=0时,f′
所以,在区间(-1,0)上,f′(x)>0;在区间上,f′(x)<0,
故f(x)的单调递增区间是(-1,0),单调递减区间是.
当00;在区间上,f′(x)<0.
故f(x)的单调递增区间是(-1,0)和单调递减区间是.
当k=1时,f′
故f(x)的单调递增区间是.
当k>1时,f′得.
所以,在区间和上,f′(x)>0;
在区间上,f′(x)<0.
故f(x)的单调递增区间是和单调递减区间是.
16、 (1)解:由f(x)=eR知f′(x)=eR.
令f′(x)=0,得x=ln2.于是当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
故f(x)的单调递减区间是ln2),单调递增区间是(ln
f(x)在x=ln2处取得极小值,极小值为f(ln2)=eln2+2a=2(1-ln2+a).
(2)证明:设g(x)=eR.于是g′(x)=eR.
由(1)知当a>ln2-1时,g′(x)最小值为g′(ln2)=2(1-ln2+a)>0.
于是对任意R,都有g′(x)>0,所以g(x)在R内单调递增.
于是当a>ln2-1时,对任意都有g(x)>g(0).
而g(0)=0,从而对任意.
即e故e.